浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章特殊三角形

第2章特殊三角形2.1圖形的軸對(duì)稱(chēng)欣賞下列圖片，你有什么發(fā)現(xiàn)動(dòng)

如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠相互重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。1.下列圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？你是怎樣判別的？合作學(xué)習(xí)對(duì)于以上各軸對(duì)稱(chēng)圖形，你能找出對(duì)稱(chēng)軸嗎？有哪些方法？用對(duì)折的方法判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形2.如圖，AD平分∠BAC，AB=AC。（1）四邊形ABDC是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果你認(rèn)為是，請(qǐng)說(shuō)出它的對(duì)稱(chēng)軸。與點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是哪一個(gè)點(diǎn)？（2）連結(jié)BC，交AD于點(diǎn)E。把四邊形ABDC沿AD對(duì)折，BE與CE能重合嗎？∠AEB與∠AEC呢？由此你得到什么結(jié)論？軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)軸垂直平分連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線段。EABCD合作學(xué)習(xí)

軸對(duì)稱(chēng)圖形中沿對(duì)稱(chēng)軸對(duì)折后能重合的兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。例分別畫(huà)出下列軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸：解：（1）如圖2-8，作線段AB的垂直平分線l,直線l就是所求的對(duì)稱(chēng)軸。l（2）如圖2-9，作線段CD的垂直平分線m,直線m就是所求的對(duì)稱(chēng)軸。AB圖2-8圖2-9m圖2-9mFE想一想如圖2-9，怎樣找出點(diǎn)E和點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？過(guò)點(diǎn)E作EM⊥直線m，交直線m于點(diǎn)M，延長(zhǎng)EM到點(diǎn)N，使MN=EM,點(diǎn)N即點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。M

NG同理可找到點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G。

如圖，已知△ABC和直線m.以直線m為對(duì)稱(chēng)軸，求作以A,B,C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’,B’,C’為頂點(diǎn)的△A’B’C’

。mABCA’C’B’作法:1.作AP⊥直線m于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AP至點(diǎn)A',使AP'=AP,則點(diǎn)A'就是點(diǎn)A關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

3.依次連結(jié)A'B',B'C',C'A'.

則△A'B’C'就是所求作的三角形。

2.類(lèi)似地,作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'.P例1

如圖，已知△ABC和直線m.以直線m為對(duì)稱(chēng)軸，求作以A,B,C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’,B’,C’為頂點(diǎn)的△A’B’C’。mABCA’C’B’P例1沿直線m折疊，那么△A’B’C’就和△ABC重合，這時(shí)我們稱(chēng)△A’B’C’和△ABC關(guān)于直線m成軸對(duì)稱(chēng)。由一個(gè)圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形，并使這兩個(gè)圖形沿某一條直線折疊后能夠互相重合，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。課內(nèi)練習(xí)1.線段、角是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是軸對(duì)稱(chēng)圖形，請(qǐng)分別說(shuō)出它們的對(duì)稱(chēng)軸。2.如圖的京劇臉譜是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形。（1）畫(huà)出這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸。（2）A,B是這個(gè)圖形上的兩個(gè)點(diǎn)，分別作出它們的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。請(qǐng)用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)把下列圖形進(jìn)行歸類(lèi)，并幫它們找到家。一般等腰三角形等腰梯形正方形一般長(zhǎng)方形等邊三角形一般三角形圓一般梯形一般平行四邊形一條對(duì)稱(chēng)軸一般等腰三角形等腰梯形兩條對(duì)稱(chēng)軸長(zhǎng)方形三條對(duì)稱(chēng)軸等邊三角形四條對(duì)稱(chēng)軸正方形無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸圓歸類(lèi)2.在26個(gè)英文字母中，有幾個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形？1.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這幾個(gè)數(shù)字中，哪幾個(gè)是軸對(duì)稱(chēng)圖形？0383.你能說(shuō)出漢字中哪些是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？中田K

古羅馬有一位將軍，他每天都要從營(yíng)地A出發(fā)，到河邊給馬飲水，再到河岸同側(cè)的指揮所B處開(kāi)會(huì)。他經(jīng)常想一個(gè)問(wèn)題：應(yīng)該沿怎樣的路線行走才能使路程最短？請(qǐng)你幫他想一想，并畫(huà)出最短的路線。B′PBA原題模型BAa變式如圖,已知點(diǎn)A是銳角∠MON內(nèi)的一點(diǎn),試分別在OM,ON上確定點(diǎn)B，點(diǎn)C，使△ABC的周長(zhǎng)最小，寫(xiě)出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你所確定的點(diǎn)(要求畫(huà)出草圖,保留作圖痕跡).MONAA′A〞BC——對(duì)稱(chēng)軸有兩條第2章特殊三角形2.2等腰三角形1.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長(zhǎng)，可以構(gòu)成三角形的是（）課前熱身A.2,2,5B.3,3,5C.1,2,1D.4,9,4B已知線段a=4厘米，b=6厘米（如圖），用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a。ab畫(huà)一畫(huà)觀察這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)有什么特點(diǎn)？335CBAACB有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。

腰腰底邊底角底角頂角等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。若AB=AC,則在等腰三角形ABC中：說(shuō)一說(shuō)幾何語(yǔ)言：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。1、如圖,點(diǎn)D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在圖中找到幾個(gè)等腰三角形？說(shuō)出每個(gè)等腰三角形的腰、底邊和頂角。等腰三角形腰底邊頂角△ABC△ABDAB和ACBC∠AAD和BDAB∠ADB找一找:如圖，五角星中有

個(gè)等腰三角形。認(rèn)一認(rèn)10例1求證：等腰三角形兩腰上的中線相等。補(bǔ)充：求證：等腰三角形兩腰上的高相等。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，一邊長(zhǎng)為5，那么它的周長(zhǎng)是______；（2）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，一邊長(zhǎng)為7，那么它的周長(zhǎng)是______；（4）等腰三角形的腰長(zhǎng)是3，則底邊長(zhǎng)a的取值范圍是______；11或13170<a<6（3）等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為9，那么它的腰長(zhǎng)是________；4或2.5（5）等腰三角形的底邊長(zhǎng)是3，則腰長(zhǎng)a的取值范圍是______。a＞1.5做一做

在等腰三角形ABC的紙片上，AD是頂角平分線，然后沿著AD所在的直線把△ABC對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你得出等腰三角形具有什么特征？１．等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；2．頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸。合作學(xué)習(xí)ABCD等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性：等邊三角形:(正三角形)三條邊都相等的三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。等邊三角形有幾條對(duì)稱(chēng)軸？幾何語(yǔ)言：∵AB=BC=AC,∴△ABC是等邊三角形。EBPDCA

在△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AD=AE。AP是△ABC的角平分線。點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于AP對(duì)稱(chēng)嗎？DE與BC有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的判斷。例2合作學(xué)習(xí)PBFECA●●你能作出點(diǎn)E，點(diǎn)F和點(diǎn)Q關(guān)于AP對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)嗎？問(wèn)2：若AE≠AF，那么點(diǎn)E，點(diǎn)F關(guān)于AP對(duì)稱(chēng)嗎？●Q已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成15cm和6cm兩部分，求等腰三角形的底邊長(zhǎng)。ADCB

3.在平面內(nèi),分別用3根、5根、6根火柴棒首尾順次相接，能搭成什么形狀的三角形？通過(guò)嘗試，完成下面的表格。7根火柴棒呢？8根呢？9根呢?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？火柴棒356789示意圖形狀●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●等邊三角形等腰三角形等邊三角形等邊三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性質(zhì)定理(1)有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.ACB腰腰底邊頂角底角底角等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.對(duì)稱(chēng)軸是頂角平分線所在的直線.舊知回顧找出其中能夠重合的線段和角，填入下表：ABCD重合的線段重合的角AB=ACBD=CDAD=AD∠B=∠C∠ADB=∠ADC∠BAD=∠CAD

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎?探究新知等腰三角形的兩個(gè)底角相等.已知：在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=C.想一想：1.如何證明兩個(gè)角相等？議一議：2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？ABCD已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠1=∠2.AB=AC(已知)，∠1=∠2(已作)，AD=AD(公共邊)，∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).方法一：作頂角的角平分線在△BAD和△CAD中，12ABCD作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共邊)，∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中，方法二：作底邊上的中線證明：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.等腰三角形的性質(zhì)1：

等腰三角形的兩個(gè)底角相等.在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）.

CAB探究歸納例1求等邊三角形ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).分析：利用“等邊對(duì)等角”分別得∠A=∠B，∠B=∠C，因此∠A=∠B=∠C=60°.例題探究推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°.例2求證：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的兩條角平分線.求證：BD=CE.證明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）.∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠CBD=∠ABC,∠BCE=∠ACB（角平分線的定義），∴∠CBD=∠BCE.又∵BC=CB（公共邊），∴△BCE≌△CBD（ASA）.∴BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACD=100°,則∠A=__________度.1.等腰三角形的一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為

______________________________.

70°,

40°

或

55°,

55°20課堂練習(xí)3.如圖，AD，BE是等邊三角形ABC的兩條角平分線，AD，BE相交于點(diǎn)O.求∠AOB的度數(shù).解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∵AD，BE是等邊三角形ABC的角平分線，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=120°.2.3等腰三角形的性質(zhì)定理（2）有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形.2、什么叫做等腰三角形？1、什么叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形？答：把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后,直線兩側(cè)的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形.也就是說(shuō)等腰三角形有兩邊相等.舊知回顧(1)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.(2)頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸.3、等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性:4、等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

簡(jiǎn)單的說(shuō)在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角.5、三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角相等，都等于60°.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們先在紙上畫(huà)一個(gè)等腰三角形，再將剛才所畫(huà)的等腰三角形對(duì)折，使兩腰AB，AC重疊在一起，折痕為AD，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？DABC探究新知

如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分線.在圖中找出所有相等的線段和相等的角.由此你發(fā)現(xiàn)了等腰三角形還有哪些性質(zhì)？ABDC請(qǐng)大家盡可能多地說(shuō)出結(jié)論！等腰三角形的性質(zhì)定理2

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高線互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)等腰三角形三線合一.等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊.探究歸納ABCD（1）如果AD是等腰三角形頂角的平分線，那么AD也是

、

.（2）如果AD是等腰三角形底邊上的中線，那么AD也是

、

.（3）如果AD是等腰三角形底邊上的高線，那么AD也是

、

.底邊上的高線底邊上的中線頂角的平分線底邊上的高線底邊上的中線頂角的平分線用文字語(yǔ)言表示為：在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠____=∠____，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中線，∴∠____=∠____，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分線，∴____⊥____，____=____.CAB12D用符號(hào)語(yǔ)言表示為：12BDCDADBC12ADBCBDCDE例3.已知：如圖AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求證：AD⊥BC.證明：延長(zhǎng)AD，交BC于點(diǎn)E.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，AD=AD.又∵∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴AE⊥BC,即AD⊥BC.例題探究例4.已知線段a,h,用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC=a,BC邊上的高為h.ha作法:1.作線段BC=a.2.作BC的中垂線m,交BC于點(diǎn)D.3.在直線m上截取DA=h,連結(jié)AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.aBChAD課堂練習(xí)判斷：1、等腰三角形的頂角一定是銳角.2、等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、

鈍角.3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直于底邊.4、等腰三角形的角平分線、高線和中線的總數(shù)一共能畫(huà)出9條.5、等腰三角形底邊上的中線一定垂直于底邊.（×）（×）（√）（×）（√）2.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點(diǎn)D，E為AD上的一點(diǎn)，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G.求證：EF=EG.等腰三角形的性質(zhì)文字?jǐn)⑹鰩缀握Z(yǔ)言等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角)∵AB=AC，∴∠B=∠C.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高線互相重合.（簡(jiǎn)稱(chēng)等腰三角形三線合一）∵AB=AC，∠1=∠2，

∴AD⊥BC，BD=CD.推論：等邊三角形各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60度.課堂小結(jié)第2章特殊三角形2.4等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的性質(zhì):復(fù)習(xí)回顧:2、等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角)1、等腰三角形的兩腰相等.3、等腰三角形三線合一.頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高.等腰三角形的判定方法：1、有兩邊相等的三角形是等腰三角形。(定義)兩個(gè)角相等的三角形會(huì)是等腰三角形嗎？如圖，在ΔABC中，∠B=∠C，判斷AB和AC是否相等，并說(shuō)明理由。ACBD合作學(xué)習(xí):在ΔABD和ΔACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴ΔABD≌ΔACD(AAS)，∴AB=AC.證明：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.“在同一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊。”2、如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．等腰三角形的判定方法：“在同一個(gè)三角形中,等邊對(duì)等角?！北嬉槐妫?、有兩邊相等的三角形是等腰三角形。性質(zhì)判定在同一個(gè)三角形中,等角對(duì)等邊

問(wèn)：如圖,下列推理正確嗎?ABCD21∵∠1=∠2，

∴

BD=DC.（等角對(duì)等邊）∵∠1=∠2，

∴

DC=BC.ABCD21（等角對(duì)等邊）錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中。1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,判斷△ABC是什么三角形,為什么?答：等腰三角形。理由：∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形.2、已知：如圖，∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,計(jì)算∠1和∠2的度數(shù)，并說(shuō)明圖中有哪些是等腰三角形。ABCD36°1236°°72答：∠1=72°，∠2=36°.△ABC，△ABD，△BDC是等腰三角形。練一練1.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，∠1=∠2。說(shuō)明△ABC的等腰三角形的理由. 變1.已知:如圖,DE∥BC,∠1=∠2.求證:BD=CE.ABCDE12證明:∵∠1=∠2（已知），∴AD=AE（在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）.∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C.∴AB=AC（在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊），∴AB－AD=AE－AC，即BD=CE.例：一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)容是測(cè)量河寬，如圖，即測(cè)量A,B之間的距離.同學(xué)們想出了許多方法,其中小聰?shù)姆椒ㄊ牵簭狞c(diǎn)Ａ出發(fā),沿著與直線AB成60°角AC的方向前進(jìn)至點(diǎn)C，在C處測(cè)得∠C＝30°.量出AC的長(zhǎng)，它就是河寬（即A,B之間的距離）．這個(gè)方法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．說(shuō)明線段相等的方法:1、說(shuō)明線段所在的兩個(gè)三角形全等。2、說(shuō)明同一個(gè)三角形中線段所對(duì)的兩個(gè)角相等。正確.理由：∵∠DAC=∠C+∠ABC（三角形外角和的性質(zhì)），∴∠ABC=∠DAC-∠ACB=60°-30°=30°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC（在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）.即AC的長(zhǎng)就是河寬.想一想：還有其它測(cè)量河寬的方法嗎？∠C=30°，∠DAC=60°，（1）一個(gè)三角形還滿(mǎn)足什么條件時(shí)會(huì)成為等邊三角形？①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．探索發(fā)現(xiàn)②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.點(diǎn)撥：有一個(gè)角是60°，在等腰三角形中有兩種情況：(1)這個(gè)角是底角；(2)這個(gè)角是頂角．三條邊都相等的三角形是等邊三角形．證明：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B，∴BC=AC(在同一個(gè)三角形中，

等角對(duì)等邊)．又∵∠A=∠C，∴BC=AB(在同一個(gè)三角形中，

等角對(duì)等邊)．∴AB=BC=CA，即△ABC是等邊三角形．CBA證明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一個(gè)三角形

中，等角對(duì)等邊).∴∠A=60°(三角形的內(nèi)角和定理)，∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).已知:如圖,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求證:△ABC是等邊三角形．第一種情況：有一個(gè)底角是60°；ACB60°證明:∵AB=AC，∠A=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊)

∴∠A=∠B=∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形)．第二種情況：頂角是60°；已知:如圖,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．求證:△ABC是等邊三角形．ACB60°等邊三角形的判定定理：①有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形．②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.第2章特殊三角形2.5逆命題和逆定理如圖2-26，有甲、乙兩個(gè)三角形.甲三角形的內(nèi)角分別為10°,20°,150°；乙三角形的內(nèi)角分別為80°,25°,75°.你能把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎?畫(huà)一畫(huà),并標(biāo)出各角的度數(shù).

下列句子是命題的是（）A.畫(huà)∠AOB=45°B.小于直角的角是銳角嗎？C.連結(jié)CDD.同位角相等一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題.D知識(shí)回顧命題的結(jié)構(gòu)：命題由條件和結(jié)論兩部分組成.命題有真有假，正確的命題是真命題，錯(cuò)誤的命題是假命題.填表：a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝ba2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2兩直線平行同位角相等⑵同位角相等，兩直線平行同位角相等兩直線平行⑴兩直線平行，同位角相等結(jié)論條件命題

觀察表中的命題，命題⑴與命題⑵有什么關(guān)系？命題⑶與命題⑷呢？a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝ba2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2兩直線平行同位角相等⑵同位角相等，兩直線平行同位角相等兩直線平行⑴兩直線平行，同位角相等結(jié)論條件命題

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。每個(gè)命題都有它的逆命題，但每個(gè)真命題的逆命題不一定是真命題，同樣，每個(gè)假命題的逆命題也不一定是假命題。同位角相等，兩直線平行.(2)同位角相等.相等的角是同位角.(3)磁懸浮列車(chē)是一種高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具。說(shuō)出下列命題的逆命題，并判定踏是真命題還是假命題：高速行駛時(shí)不接觸地面的交通工具是磁懸浮列車(chē)。(1)兩直線平行，同位角相等.真命題真命題假命題假命題真命題假命題判斷下列說(shuō)法是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由（1）假命題沒(méi)有逆命題；（2）真命題沒(méi)有逆命題；（3）每個(gè)命題都有逆命題；（4）真命題的逆命題是真命題.請(qǐng)舉例說(shuō)明一個(gè)原命題是真命題，逆命題也是真命題；有沒(méi)有原命題是真命題，而逆命題是假命題的例子？√×××⑴任意作一條線段，并畫(huà)出它的中垂線⑵線段的中垂線（垂直平分線）有什么性質(zhì)？AB線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等ODCP⑶請(qǐng)說(shuō)出它的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題.例1、按要求作答：APB已知：如圖，ＡＢ是一條線段，Ｐ是一點(diǎn)，且ＰＡ＝ＰＢ求證：點(diǎn)Ｐ在線段ＡＢ的垂直平分線上.作PC⊥AB于點(diǎn)O.OC證明:∵PA=PB，PO⊥AB，∴OA=OB（等腰三角形三線合一）.∴PC是AB的垂直平分線.∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.解:這個(gè)定理的逆命題是:到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段ＡＢ上，結(jié)論顯然成立；⑴當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上時(shí)，ABPPPPPP∴綜上所述，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

如果一個(gè)定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理.(這是一個(gè)真命題)請(qǐng)說(shuō)出三對(duì)互逆定理.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：下列說(shuō)法哪些正確，哪些不正確？（1）每個(gè)定理都有逆定理。（2）每個(gè)命題都有逆命題。（3）假命題沒(méi)有逆命題。（4）真命題的逆命題是真命題?！獭痢痢帘嬉槐胬?、說(shuō)出命題“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的逆命題，判斷這個(gè)命題的真假，并說(shuō)明理由。解：逆命題是“如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等”.說(shuō)明一個(gè)命題是真命題需經(jīng)過(guò)證明，而說(shuō)明一個(gè)命題是假命題只需舉一個(gè)反例。1.寫(xiě)出下列各命題的逆命題，并判斷逆命題的真假：（1）同位角相等；（2）如果|a|=|b|，那么a=b；（3）等邊三角形的三個(gè)角都是60°.逆命題：相等的角是同位角.假命題

逆命題：如果a=b，那么|a|=|b|.

真命題

逆命題：三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形

真命題做一做做一做寫(xiě)出定理“等腰三角形底邊上的高線和中線互相重合”的逆命題，并證明這個(gè)逆命題是真命題。1、原命題、逆命題、互逆命題的概念.2、原定理、逆定理、互逆定理的概念.3、線段中垂線定理的逆定理.小結(jié)第2章特殊三角形2.6直角三角形直角三角形的定義：

有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形．日常生活中常見(jiàn)的直角三角形有哪些? Ｃ

Ｂ

直角邊直角邊Ａ

斜邊△ABC是直角三角形，用符號(hào)記作:

Rt△ABC

斜邊直角邊直角邊1.直角三角形的內(nèi)角有什么特點(diǎn)?2.直角三角形的兩個(gè)銳角之間有什么關(guān)系?猜想：直角三角形的兩個(gè)銳角互余Ｃ

Ｂ

Ａ

證明：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∠C=90°(已知)，∴∠A+∠B+90°=180°，∴∠A+∠B=180°—90°=90°，

即∠A+∠B=90°.

ABC已知：在△ABC中，∠C＝90°，

求證：∠A＋∠B＝90°.結(jié)論：

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.證明猜想上圖中的三角板所表示的三角形有什么特征？（從邊、角方面去說(shuō)明）等腰直角三角形兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.ACB它有什么性質(zhì)呢？1）具有等腰三角形的所有性質(zhì)；2）具有直角三角形的所有性質(zhì).∠C=90°，∠A=∠B=45°.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°

∵AD⊥BC(已知)，，，∴∠CAD+∠C=90°，

∴∠CAD=90°—∠C

=90°—45°

=45°=∠C，

∴AD=DC(等角對(duì)等邊).同理可得，AD=BD，

∴AD=BD=CD.

如圖：在等腰直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的高，則AD＝BD＝CD．請(qǐng)說(shuō)明理由．

A

B

C

D

例2(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).

合作學(xué)習(xí)

任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，作出斜邊上的中線，并利用圓規(guī)比較中線與斜邊的一半的長(zhǎng)短，你發(fā)現(xiàn)了什么？再畫(huà)幾個(gè)直角三角形試一試，你的發(fā)現(xiàn)相同嗎？直角三角形的性質(zhì)2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.ABCD用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AD＝BD＝AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.練一練：1、已知在Rt△ABC中，斜邊AB=10cm，則斜邊上的中線的長(zhǎng)為_(kāi)_____.2、如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠CDA=80°，則∠A=_____∠B=_____5cm50°40°.3、已知在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD=5cm，則斜邊AB的長(zhǎng)是多少？4、如圖是一副三角尺拼成的四邊形ABCD，E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A，C的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。A

EDCB變式1：如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，試判斷DE與CE是否相等，并說(shuō)明理由。說(shuō)明兩條線段相等，有時(shí)還可以通過(guò)第三條線段進(jìn)行等量代換.變式2：如圖，已知AD，BE分別是△ABC的BC，AC邊上的高，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，則FG⊥DE，請(qǐng)說(shuō)明理由。5、在Rt△ABC中,BD是斜邊AC上的中線,∠A=30°.(1)∠C=______∠ABD=_____∠BDC=______∠CBD=_____(2)△BDC是什么三角形？(3)此時(shí)BC與AC有什么關(guān)系？等邊三角形60°30°60°60°

例1一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至點(diǎn)B.已知AB＝200m，問(wèn)這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了多少m？30°ACBD解：如圖，作Rt△ABC的斜邊上的中線CD，則CD=AD=0.5AB=0.5×200=100（m）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.∵∠B=30o，∴∠A=90o－∠B=90o－30o=60o(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).∴△ADC是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形).∴AC=AD=100(m).答:這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了100m.30°ACBD延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD等于BC,連結(jié)AD.

∵BC=DC，∠ACB=∠ACD，AC=AC

∴△ACB≌△ACD(SAS).

∴∠BAC=∠DAC=30o，

∴∠BAD=60o，

∴△ABD是等邊三角形

∴AB=BD=2BC.D

C

A

B

證明方法二：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.結(jié)論1.如圖：在Rt△ABC中，∠A=300,AB+BC=12cm,則AB=_____cmＣＢＡ30°８2.如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,則BD=＿＿＿，BE=____

ACEBD４cm

２cm填一填:┏DCBA解：∵∠ABC=∠ACB=15o，

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30o，

∴CD=1/2AC=a.3、如圖在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15o,CD是腰AB上的高，求S△ABC.∴S△ABC=1/2AB×CD=1/2×2a×a=a2.體會(huì)·分享3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.4.在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.1．直角三角形的兩個(gè)銳角互余．2．等腰直角三角形的兩個(gè)銳角都是45°.第2章特殊三角形2.7探索勾股定理（1）觀察欣賞你能看出會(huì)徽與弦圖之間的聯(lián)系嗎？2002年世界數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽著名的“趙爽弦圖”趙爽創(chuàng)制了一幅"勾股圓方圖"，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明你知道這三個(gè)正方形的面積分別是多少嗎？圖1

三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系？SA+SB=SCA的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1探究一32=932=918ABCacbSa+Sb=Sc設(shè)：直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c.猜想:兩直角邊a，b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦推出結(jié)論：acbabc思考：三邊a,b,c之間的關(guān)系？趙爽弦圖結(jié)論：在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱(chēng)為“勾”，下半部分稱(chēng)為“股”。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”.勾股例1

已知在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c已知:a=1,b=2,求c；已知:a=15,c=17,求b.abc解:(1)根據(jù)勾股定理，得c2=a2+b2∵c>0,∴c==12+22=5(2)根據(jù)勾股定理得:∵b>0,∴b=8.=172-152=64.=(17＋15)(17－15)b2=c2-a2例2、如圖:是一個(gè)長(zhǎng)方形零件圖,根據(jù)所給的尺寸,求兩孔中心A，B之間的距離。ABC409016040解:過(guò)點(diǎn)A作鉛垂線,過(guò)點(diǎn)B作水平線,兩線交于點(diǎn)C,則∠C=90。AC=90-40=50(mm),BC=160-40=120(mm).∵∠C=90?！郃B2=AC2+BC2

∵AB>0∴AB=130(mm).答:兩孔中心A,B之間的距離為130mm.說(shuō)說(shuō)你對(duì)本題的收獲=502+1202=16900(mm2).

變式：

如圖，一塊長(zhǎng)約8m，寬約6m的長(zhǎng)方形草地，被不自覺(jué)的人沿對(duì)角線踏出了一條斜“路”，類(lèi)似的現(xiàn)象也時(shí)有發(fā)生.請(qǐng)問(wèn)：①走斜“路”的客觀原因是什么？②斜“路”比正路近多少？走這么幾步近路，值得嗎？68BCA(1)求墻的高度?解：∴AC=∵∠ACB=90°，AB=3，BC=1，==(2)若梯子的頂端下滑1米,底端將向外水平移動(dòng)多少米?AA′BB′3m1mC∴AB2=AC2+BC2

變式：有一架3米長(zhǎng)的梯子靠在學(xué)校圍墻上,剛好與墻頭對(duì)齊,此時(shí)梯腳B與墻腳C的距離是1米。探究：利用勾股定理求邊長(zhǎng)

已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3，4，求第三邊長(zhǎng)的平方．解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25；（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7．合作探究2.7探究勾股定理(2)1、若c為直角△ABC的斜邊，b，a為直角邊，則a，b，c的關(guān)系為_(kāi)__________2、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，若BC=15，AC=20，則AB＝_____，

AD＝＿＿，BD＝＿＿，CD＝＿＿。3、在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD，CE分別是AB邊上的高和中線，若AC＝6，

BC＝8，則DE＝＿＿＿。a2＋b2＝c21625復(fù)習(xí)回顧9121.4古埃及人曾用下面的方法得到直角：

他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形。其直角在第4個(gè)結(jié)處。他們真的能夠得到直角三角形嗎？148(13)1.合作學(xué)習(xí)(1)畫(huà)一個(gè)三角形,使其三邊長(zhǎng)分別為:a，b，c.（2）這三組數(shù)都滿(mǎn)足嗎？（3）再用量角器量一量最大的角，判斷它們是否是直角三角形？5cm,12cm,13cm；7cm,24cm,25cm；8cm,15cm,17cm；

即如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系那么這個(gè)三角形是直角三角形.由此你得到怎樣的結(jié)論?如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

（勾股定理的逆定理）1.想一想:上述哪條邊所對(duì)的角是直角?2.這個(gè)定理可判斷三角形是否是直角三角形.3.能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（或勾股弦數(shù)）.如3，4，5；6，8，10；5，12，13。例1.根據(jù)下列條