選修4-1 第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

選修4-1幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.平行線等分線段定理名稱條件結(jié)論

定理一組平行線在一條直線上截得的線段相等在其他直線上截得的線段也_____

推論1經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線_____第三邊

推論2經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn),且與底邊平行的直線_____另一腰相等平分平分2.平行線分線段成比例定理(1)定理：三條平行線截兩條直線，所得的_____線段成比例.(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段_______.對(duì)應(yīng)成比例3.相似三角形的判定及性質(zhì)(1)相似三角形的判定.①定義:對(duì)應(yīng)角_____，對(duì)應(yīng)邊_______的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.②預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)_____，所構(gòu)成的三角形與原三角形_____.相等成比例相交相似③判定：定理1：兩角對(duì)應(yīng)_____，兩三角形相似.定理2：兩邊對(duì)應(yīng)_______且?jiàn)A角_____，兩三角形相似.定理3：三邊對(duì)應(yīng)_______，兩三角形相似.相等成比例相等成比例④直角三角形相似的判定：(2)相似三角形的性質(zhì).①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于_______.②相似三角形周長(zhǎng)的比等于_______.③相似三角形面積的比等于相似比的_____.④相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于_______,外接圓的面積比等于相似比的_____.相似比相似比平方相似比平方4.直角三角形的射影定理定理:直角三角形斜邊上的高是_____________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的_________.兩直角邊在斜邊上射影比例中項(xiàng)判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)三角形相似不具有傳遞性.()(2)相似多邊形不具有面積比等于相似比的平方的性質(zhì).()(3)相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比.()(4)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，一組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角相等的兩三角形相似.()【解析】(1)錯(cuò)誤，三角形相似具有傳遞性，即△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，則△ABC∽△A2B2C2.(2)錯(cuò)誤，可以通過(guò)作輔助線將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形加以證明．(3)正確,由相似三角形的定義知，∠BAC=∠B′A′C′，∠1=∠2，由直角三角形相似的判定方法知，Rt△ADI∽R(shí)t△A′D′I′,可知結(jié)論正確.(4)錯(cuò)誤，如圖，∠B=∠B′,當(dāng)時(shí)相似.當(dāng)時(shí)不相似.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×考向1平行線分線段成比例定理【典例1】(1)(2013·西安模擬)如圖所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，則AC∶AE＝______，AD∶DB＝______.(2)如圖所示，F(xiàn)為ABCD邊AB上一點(diǎn)，連接DF交AC于G，并延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于E，若DE＝5，DF＝4，則＝________.【思路點(diǎn)撥】(1)利用平行線分線段成比例定理的推論，列比例式求解.(2)利用平行線分線段成比例定理及推論，經(jīng)中間比值代換求值．【規(guī)范解答】(1)∵DE∥BC，∴∵BF∶EF＝3∶2，∴∴AC∶AE＝3∶2.同理DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即∴即即AD∶BD＝2∶1.答案：3∶22∶1(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC.∵AD∥BC，∴又∵AB∥DC，∴∴答案：【互動(dòng)探究】本例(2)中條件不變，結(jié)論改為=________.【解析】∵AD∥BC,∴答案：【拓展提升】平行線分線段成比例定理及其推論的應(yīng)用(1)平行線等分線段定理及其推論是證明兩條線段相等的重要依據(jù),特別是在應(yīng)用推論時(shí),一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊,是否過(guò)一邊的中點(diǎn).(2)利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題時(shí)要特別注意被平行線所截的直線，找準(zhǔn)成比例的線段，得到相應(yīng)的比例式，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而得到最終的結(jié)果.【變式備選】(1)(2013·惠州模擬)如圖，梯形ABCD中，E是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE分別交BD于G，交BC于F，則下列結(jié)論中：①②③④其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【解析】∵CF∥AD,∴所以①④正確.又∵BF∥AD，∴所以②正確.答案：①②④(2)(2013·廣州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，且EF∥AD，若則EF的長(zhǎng)為______．【解析】如圖所示，延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)P，∵AD∥BC，∴∴又∵∴∴∴∵AD∥EF，∴又AD＝2，∴EF＝答案：考向2相似三角形的判定與性質(zhì)【典例2】(1)如圖所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，若E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F，若則＝________.(2)如圖所示,平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，OE交BC于E，交AB的延長(zhǎng)線于F，若AB=a,BC=b,BF=c,則BE=________.【思路點(diǎn)撥】(1)通過(guò)∠BDF=∠EDC＝∠ECD＝∠BAD，證明△DBF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得結(jié)果.(2)過(guò)O作OG∥BC，交AB于G，構(gòu)造△BEF∽△GOF求解.【規(guī)范解答】(1)∵E為Rt△ADC斜邊AC的中點(diǎn)，∴DE＝EC，則∠C＝∠EDC.又AD⊥BC，且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，從而∠BDF＝∠EDC＝∠BAD.又∠F=∠F，因此△DBF∽△ADF，∴答案：(2)過(guò)O作OG∥BC，交AB于G，顯然GO是△ABC的中位線，所以GO=BC=b,GB=AB=a.在△GOF中,BE∥OG,所以△BEF∽△GOF,所以即答案：【拓展提升】相似三角形證明方法證明三角形相似時(shí)一般的思考程序是：(1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等.(2)若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例.(3)若無(wú)角對(duì)應(yīng)相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例．【提醒】在解決相似三角形時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，否則容易出錯(cuò).【變式訓(xùn)練】(1)(2013·汕頭模擬)如圖所示的Rt△ABC中有邊長(zhǎng)分別為a，b，c的三個(gè)正方形，若ac=4，則b＝______.【解析】由三角形相似知∴ac－bc＝b2－bc，∴b2＝ac.∴b＝＝2.答案：2(2)(2013·中山模擬)已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為AB上的點(diǎn)，且AP∶PB=1∶3，PQ⊥PC，則PQ的長(zhǎng)為______.【解析】∵PQ⊥PC，∴∠APQ+∠BPC=90°，∴∠APQ=∠BCP，∴Rt△APQ∽R(shí)t△BCP，∴∵AB=4,AP∶PB=1∶3,∴PB=3,AP=1,∴AQ=∴PQ=答案：考向3射影定理及其應(yīng)用

【典例3】(1)如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AE·AB＝5，則AF·AC＝______.(2)在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，則DE＝______.【思路點(diǎn)撥】(1)由垂直條件，聯(lián)想射影定理，然后進(jìn)行計(jì)算．(2)首先利用勾股定理求BC，再結(jié)合射影定理和三角形面積公式即可求解.【規(guī)范解答】(1)∵AD⊥BC，∴△ADB為直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.在Rt△ADC中,同理可得AD2＝AF·AC，又AE·AB＝5,∴AF·AC＝AE·AB＝5.答案：5(2)由勾股定理得：BC＝＝5，由射影定理得：CD＝由三角形面積得：AD＝由三角形面積得：DE＝答案：【拓展提升】直角三角形中成比例線段問(wèn)題的解決方法(1)如圖，Rt△ABC中，若CD為高，則有CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB，利用上面等積式和勾股定理，已知圖中的任意兩條線段，可求出其余四條線段.(2)直角三角形中出現(xiàn)斜邊上