滬科版九年級上冊數學單元測試題全套(含答案)

滬科版九年級上冊數學單元測試題全套（含答案）（含期中期末試題，共6套）第21章測試題（含答案）(考試時間：120分鐘滿分：150分)姓名：______班級：______分數：______一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．二次函數y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點坐標是(B)A．(1，8)B．(－1，8)C．(－1，2)D．(1，－4)2．若p＋q＝0，則拋物線y＝x2＋px＋q必過點(D)A．(－1，1)B．(1，－1)C．(－1，－1)D．(1，1)3．已知點(3，y1)，(4，y2)，(5，y3)在函數y＝2x2＋8x＋7的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是(D)A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y14．趙州橋的橋拱可以用拋物線的一部分表示，函數關系為y＝－eq\f(1,25)x2.當水面寬度AB為20m時，水面與橋拱頂的高度DO等于 (B)A．2m B．4m C．10m D．16m5．根據下列表格中的對應值，得到二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有一個交點的橫坐標x的范圍是(C)x3.233.243.253.26y－0.06－0.020.030.09A.x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.266．已知一個矩形的面積為24cm2，其長為ycm，寬為xcm，則y與x之間的函數關系圖象大致是(D)7．二次函數y＝x2－x－2的圖象如圖所示，則不等式x2－x－2＜0的解集是 (C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞28．二次函數y＝x2＋4x＋3的圖象可以由二次函數y＝x2的圖象平移而得到，下列平移正確的是 (B)A．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位B．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位C．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位D．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位9．如圖，過反比例函數y＝eq\f(2,x)(x>0)的圖象上任意兩點A，B分別作x軸的垂線，垂足為A′，B′，連接OA，OB，設AA′與OB的交點為P，△AOP與梯形PA′B′B的面積分別為S1，S2，則 (B)A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不確定第9題圖第10題圖10．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列結論：①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0，其中正確結論的個數是 (D)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知函數y＝(m－1)xm2＋1＋3x，當m＝－1時，它是二次函數．12．已知拋物線y＝2x2＋mx－6與x軸相交時兩交點間的線段長為4，則m的值是±4.13．反比例函數y＝eq\f(k,x)圖象上一點P(a，b)，且a，b是方程m2－4m＋3＝0的兩個根，則k＝3.14．★在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P(1，t)在反比例函數y＝eq\f(2,x)的圖象上，過點P作直線l與x軸平行，點Q在直線l上，滿足QP＝OP，若反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象經過點Q，則k＝2＋2eq\r(5)或2－2eq\r(5).三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．求證：m取任何實數時，拋物線y＝2x2－(m＋5)x＋(m＋1)的圖象與x軸必有兩個交點．證明：令y＝0，則2x2－(m＋5)x＋(m＋1)＝0，∵Δ＝[－(m＋5)]2－8(m＋1)＝(m＋1)2＋16＞0，∴m取任何實數時，拋物線y＝2x2－(m＋5)x＋(m＋1)的圖象與x軸必有兩個交點．16．如圖，已知點A是反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的圖象上一點，AB⊥y軸于點B，連接AO，△ABO的面積為3.(1)求k的值；(2)若AB＝2，求點A的坐標．解：(1)由題意得S△ABO＝eq\f(1,2)|k|＝3，∴|k|＝6.∵反比例函數的圖象位于第一象限，∴k>0，∴k＝6.(2)∵AB＝2，∴xA＝2，yA＝eq\f(6,2)＝3，∴點A的坐標為(2，3)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．求滿足下列條件的對應的函數的關系式．(1)拋物線經過(4，0)，(0，－4)，和(－2，3)三點；(2)已知二次函數的圖象經過點(0，－3)，且頂點坐標為(1，－4)．解：(1)設拋物線表達式為y＝ax2＋bx＋c，將(4，0)，(0，－4)，(－2，3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝0，,c＝－4，,4a－2b＋c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,b＝－2，,c＝－4，))則拋物線表達式為y＝eq\f(3,4)x2－2x－4.(2)設拋物線表達式為y＝a(x－1)2－4，將(0，－3)代入得－3＝a－4，即a＝1，則拋物線表達式為y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.18．如圖所示，一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝－eq\f(8,x)的圖象交于A，B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是－2，求：(1)一次函數的關系式；(2)△AOB的面積．解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＝－2，y2＝－2，把x1＝y(tǒng)2＝－2分別代入y＝eq\f(－8,x)得y1＝x2＝4，∴A(－2，4)，B(4，－2)．把A(－2，4)和B(4，－2)分別代入y＝kx＋b得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝－2k＋b，,－2＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝2，))∴一次函數的關系式為y＝－x＋2.(2)∵y＝－x＋2與y軸交點為C(0，2)，∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×OC×|x1|＋eq\f(1,2)×OC×|x2|＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×4＝6.即△AOB的面積為6.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．某商品的進價為每件30元，現在的售價為每件40元，每星期可賣出150件．市場調查反映：如果每件的售價每漲1元(售價每件不能高于45元)，那么每星期少賣10件．設每件漲價x元(x為非負整數)，每星期的銷量為y件．(1)求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；(2)如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？解：(1)由題意，得y＝150－10x，0≤x≤5且x為非負整數．(2)設每星期的利潤為w元，則w＝(40＋x－30)y＝(x＋10)(150－10x)＝－10(x－2.5)2＋1562.5∵x為非負整數，∴當x＝2或3時，利潤最大為1560元，又∵銷量較大，∴x＝2，即當售價為42元時，每周的利潤最大且銷量較大，最大利潤為1560元．答：當售價為42元時，每星期的利潤最大且每星期銷量較大，每星期的最大利潤為1560元．20．如圖，函數y1＝k1x＋b的圖象與函數y2＝eq\f(k2,x)(x＞0)的圖象交于點A(2，1)，B，與y軸交于點C(0，3)．(1)求函數y1的表達式和點B的坐標；(2)觀察圖象，指出當x取何值時y1＜y2.(在x＞0的范圍內)解：(1)∵函數y1＝k1x＋b的圖象與函數y2＝eq\f(k2,x)(x＞0)的圖象交于點A(2，1)，∴eq\f(k2,2)＝1，解得k2＝2，∴反比例函數表達式為y2＝eq\f(2,x)，∵函數y1＝k1x＋b經過點A(2，1)，C(0，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝1，,b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3，))∴y1＝－x＋3，兩表達式聯立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋3，,y＝\f(2,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝1，))∴點B的坐標為(1，2)．(2)根據圖象，當0＜x＜1或x＞2時，y1＜y2.六、(本題滿分12分)21．二次函數y＝eq\f(1,4)x2－eq\f(5,2)x＋6的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A，B，與y軸交于點C.(1)求A，B，C三點的坐標；(2)如果P(x，y)是線段BC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)在(2)的條件下，是否存在這樣的點P，使得PO＝PA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)A(4，0)，B(6，0)，C(0，6)．(2)設一次函數的表達式為y＝kx＋b；將B(6，0)，C(0，6)代入上式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6k＋b＝0，,b＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝6，))∴y＝－x＋6.根據題意得S△POA＝eq\f(1,2)×4×y＝－2x＋12，∴0≤x＜6.(3)存在，理由：∵|OB|＝|OC|，∠COB＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形．作AO的中垂線交CB于P，根據垂直平分線的性質得出PO＝PA，而OA＝4，∴P點橫坐標為2，代入直線BC表達式即可，∴y＝－x＋6＝－2＋6＝4，∴P點坐標為(2，4)，∴存在這樣的點P(2，4)，使得OP＝AP.七、(本題滿分12分)22．如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度a為10米)，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．設花圃的寬AB為x米，面積為S米2.(1)求S與x的函數關系式；(2)如果要圍成面積為45米2的花圃，那么AB的長是多少米？(3)能圍成面積比45米2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．解：(1)由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為(24－3x)米，∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.(2)當S＝45時，－3x2＋24x＝45，∴x2－8x＋15＝0，解得x1＝5，x2＝3，∵0＜24－3x≤10得eq\f(14,3)≤x＜8，∴x＝3不合題意，舍去，∴要圍成面積為45米2的花圃，AB的長為5米．(3)S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)≤x＜8))，∴當x＝eq\f(14,3)時，S有最大值48－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)－4))eq\s\up12(2)＝46eq\f(2,3).∴能圍成面積比45米2更大的花圃．圍法：花圃的長為10米，寬為4eq\f(2,3)米，這時有最大面積46eq\f(2,3)米2.八、(本題滿分14分)23．已知拋物線y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n為常數)．(1)當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；(2)設A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C.①當BC＝1時，求矩形ABCD的周長；②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標．如果不存在，請說明理由．解：(1)由已知條件，得n2－1＝0，解這個方程，得n1＝1，n2＝－1，當n＝1時，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點不在第四象限．當n＝－1時，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點在第四象限．∴所求的函數關系式為y＝x2－3x.(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴拋物線與x軸的另一個交點為(3，0)，∴它的頂點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(9,4)))，對稱軸為直線x＝eq\f(3,2)，其大致位置如圖所示，①∵BC＝1，易知OB＝eq\f(1,2)×(3－1)＝1.∴B(1，0)，∴點A的橫坐標x＝1，又點A在拋物線y＝x2－3x上，∴點A的縱坐標y＝12－3×1＝－2.∴AB＝|y|＝|－2|＝2.∴矩形ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6.②∵點A在拋物線y＝x2－3x上，故可設A點的坐標為(x，x2－3x)，∴B點的坐標為(x，0).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))，∴BC＝3－2x，A在x軸下方，∴x2－3x＜0，∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2，∴矩形ABCD的周長：C＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,2)，∵a＝－2＜0，拋物線開口向下，二次函數有最大值，∴當x＝eq\f(1,2)時，矩形ABCD的周長C最大值為eq\f(13,2).此時點A的坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(5,4))).滬科版九年級數學上冊第22章測試題（含答案）(考試時間：120分鐘滿分：150分)姓名：______班級：______分數：______一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．觀察下列每組圖形，相似圖形是 (C)2．已知eq\f(x,y)＝eq\f(3,5)，那么下列等式中，不一定正確的是(B)A．5x＝3yB．x＋y＝8C.eq\f(x＋y,y)＝eq\f(8,5)D.eq\f(x,y)＝eq\f(x＋3,y＋5)3．已知△ABC∽△DEF，其相似比為1∶4，則它們的面積比是 (D)A．1∶2 B．1∶4C．1∶6 D．1∶164．根據有關測定，當外界氣溫處于人體正常體溫的黃金比值時，人體感到最舒適(人體正常體溫約為37℃)，這個氣溫大約為 (A)A．23℃B．28℃C．30℃D．37℃5．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1，l2于點A，D，F和點B，C，E，如果AD∶DF＝3∶1，BE＝10，那么CE等于 (C)A.eq\f(10,3)B.eq\f(20,3)C.eq\f(5,2)D.eq\f(15,2)第5題圖第6題圖第7題圖6．如圖，在正△ABC中，D，E分別在AC，AB上，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，E是AB的中點，則有 (B)A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．如圖，△OE′F′與△OEF關于原點O位似，相似比為1∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，則點E的對應點E′的坐標為 (C)A．(2，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))C．(2，－1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))8．如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結論一定正確的是 (A)A.eq\f(AE,AB)＝eq\f(CF,CD)B.eq\f(AE,EB)＝eq\f(DF,FC) C.eq\f(EG,BD)＝eq\f(FG,AC)D.eq\f(AE,AG)＝eq\f(AD,AB)第8題圖第9題圖第10題圖9．據《九章算術》記載：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平．人目高七尺．問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山AB位于樹的西面．山高AB為未知數，山與樹相距53里，樹高CD為9丈5尺，人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，則山AB的高為(保留到整數，1丈＝10尺) (D)A．162丈B．163丈C．164丈D．165丈10．如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，MN，則下列結論：①PM＝PN；②eq\f(AM,AB)＝eq\f(AN,AC)；③若∠ABC＝60°，則△PMN為等邊三角形；④若∠ABC＝45°，則BN＝eq\r(2)PC.其中正確的(B)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．在比例尺為1∶25000000的地圖上，2cm所表示的實際長度是500千米．12．小明用這樣的方法來測量某建筑物的高度：如圖，在地面上放一面鏡子，調整位置，直至剛好能從鏡子中看到建筑物的頂端．如果此時小明與鏡子的距離是2m，鏡子與建筑物的距離是20m．他的眼睛距地面1.5m，那么該建筑物的高是15m.第12題圖第13題圖第14題圖13．★如圖，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分別與AD，AE相交于點F，G，則圖中共有4對相似三角形．14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，將△ABC的一角沿著MN折疊，點B落在AC上的點D處，如圖，若△ABC與△DMC相似，則BM的長度為eq\f(3,2)或eq\f(12,7).三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．在下列兩組圖形中，每組的兩個三角形相似，m表示已知數．試分別確定α，x的值．解：(1)如圖中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(x,18)＝eq\f(m,2m)，α＝40°，∴x＝9.(2)如圖中，∠D＝180°－65°－70°＝45°，∵△ABO∽△CDO，∴α＝∠D＝45°.∴eq\f(AO,OC)＝eq\f(AB,CD)，即eq\f(3,5)＝eq\f(x,m)，∴x＝eq\f(3,5)m.16．如圖，△ABC在坐標平面內三頂點的坐標分別為A(1，1)，B(3，3)，C(3，0)．(1)根據題意，請你在圖中畫出△ABC；(2)以B為位似中心，在如圖的格子中畫出一個與△ABC相似的△BA′C′，且△BA′C′與△BAC相似比是2∶1，并分別寫出頂點A′和C′的坐標．解：(1)如圖，△ABC為所作．(2)頂點A′的坐標為(－1，－1)，C′的坐標為(3，－3)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，P為△ABC邊BC上的中線AD上的一點，且BD2＝PD·AD，求證：△ADC∽△CDP.證明：∵AD是△ABC邊BC上的中線，∴BD＝CD，∴CD2＝PD·AD，即eq\f(CD,PD)＝eq\f(AD,CD)，又∠CDP＝∠ADC，∴△ADC∽△CDP.18．如圖，為了測量一池塘的寬AB，在岸邊找到了一點C，使AC⊥AB，在AC上找到一點D，在BC上找到一點E，使DE⊥AC，測出AD＝30m，DC＝25m，DE＝30m，那么你能算出池塘的寬AB嗎？解：由題意可得：AB∥DE，則△DCE∽△ACB，故eq\f(CD,AC)＝eq\f(DE,AB)，∵AD＝30m，DC＝25m，DE＝30m，∴eq\f(25,55)＝eq\f(30,AB)，解得AB＝66.答：池塘的寬AB為66m.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，點A在反比例函數y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象上，點B在反比例函數y＝－eq\f(4,x)(x＜0)的圖象上，求eq\f(OA,OB)的值．解：過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D.易證△OCA∽△BDO.∵點A在反比例函數y＝eq\f(1,x)(x＞0)的圖象上，點B在反比例函數y＝－eq\f(4,x)(x＜0)的圖象上，∴S△AOC∶S△OBD＝eq\f(1,2)∶2＝1∶4，∴eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2).20．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，BD2＝BC·BE.(1)求證：△BCD∽△BDE；(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．(1)證明：∵BD⊥AC于點D，DE⊥AB于點E，∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，∵BD2＝BC·BE，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(BD,BE)，∴△BCD∽△BDE.(2)解：易證△BDE∽△BAD，∴BD2＝BE·BA，∵BD2＝BC·BE，∴BA＝BC＝10，易證△ADE∽△ABD，∴AD2＝AE·AB，∴AE＝eq\f(62,10)＝3.6.六、(本題滿分12分)21．如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B.當他走到點P時，發(fā)現他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m，且AP＝QB.(1)求兩個路燈之間的距離；(2)當小華走到路燈B的底部時，他在路燈A下的影長是多少？題圖答圖解：(1)如題圖，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，eq\f(AP,AB)＝eq\f(PM,BD)，即eq\f(AP,AB)＝eq\f(1.6,9.6)，∴AP＝eq\f(1,6)AB，同理可得BQ＝eq\f(1,6)AB，而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴eq\f(1,6)AB＋12＋eq\f(1,6)AB＝AB，∴AB＝18.答：兩路燈的距離為18m.(2)如答圖，他在路燈A下的影子為BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴eq\f(BN,AN)＝eq\f(BM,AC)，即eq\f(BN,BN＋18)＝eq\f(1.6,9.6)，解得BN＝3.6m.答：當他走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m.七、(本題滿分12分)22．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P由點A出發(fā)沿AB方向向終點點B勻速移動，速度為1cm/s，點Q由點B出發(fā)沿BC方向向終點點C勻速移動，速度為2cm/s.如果動點P，Q同時從A，B出發(fā)，當P或Q到達終點時運動停止．幾秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似？解：設t秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，則PB＝(6－t)cm，BQ＝2tcm，∵∠B＝90°，∴分兩種情況：①當eq\f(PB,AB)＝eq\f(BQ,BC)時，即eq\f(6－t,6)＝eq\f(2t,8)，解得t＝2.4；②當eq\f(PB,BC)＝eq\f(BQ,AB)時，即eq\f(6－t,8)＝eq\f(2t,6)，解得t＝eq\f(18,11)；綜上所述，2.4秒或eq\f(18,11)秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似．八、(本題滿分14分)23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC邊上的中線，點D在射線BC上．猜想：如圖①，點D在BC邊上，BD∶BC＝2∶3，AD與BE相交于點P，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，則eq\f(AP,PD)的值為______．探究：如圖②，點D在BC的延長線上，AD與BE的延長線交于點P，CD∶BC＝1∶2，求eq\f(AP,PD)的值．應用：在探究的條件下，若CD＝2，AC＝6，則BP＝______．解：猜想：如圖①，∵BE是AC邊上的中線，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AE,CE)＝eq\f(EF,BE)＝1，∵BD∶BC＝2∶3，∴BD∶AF＝2∶3，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,BD)＝eq\f(3,2)；探究：過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，如圖②，設DC＝k，則BC＝2k，∵AF∥BC，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AE,CE)＝1，即AF＝BC＝2k，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,BD)＝eq\f(2k,3k)＝eq\f(2,3)；應用：CE＝eq\f(1,2)AC＝3，BC＝2CD＝4，在Rt△BCE中，BE＝eq\r(32＋42)＝5，∴BF＝2BE＝10，∵AF∥BD，∴△APF∽△DPB，∴eq\f(PF,BP)＝eq\f(AP,PD)＝eq\f(2,3)，∴BP＝eq\f(3,5)BF＝eq\f(3,5)×10＝6.滬科版九年級數學上冊期中測試題（含答案）(考試時間：120分鐘滿分：150分)姓名：______班級：______分數：______一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．二次函數y＝－2(x＋1)2＋5的頂點坐標是(D)A．－1B．5C．(1，5)D．(－1，5)2．為方便市民進行垃圾分類投放，某環(huán)保公司第一個月投放a個垃圾桶，計劃第三個月投放垃圾桶y個，設該公司第二、三兩個月投放垃圾桶數量的月平均增長率為x，那么y與x的函數關系是(A)A．y＝a(1＋x)2B．y＝a(1－x)2C．y＝(1－x)2＋aD．y＝x2＋a3．若△ABC∽△DEF，相似比為9∶4，則△ABC與△DEF對應中線的比為(A)A．9∶4B．4∶9C．81∶16D．3∶24．在同一時刻，身高1.6m的小強，在太陽光線下影長是1.2m，旗桿的影長是6m，則旗桿高為(C)A．4.5mB．6mC．8mD．9m5．已知點A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函數y＝eq\f(4,x)的圖象上，則(D)A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y36．下面四組圖形中，必是相似三角形的為(D)A．兩個直角三角形B．兩條邊對應成比例，一個對應角相等的兩個三角形C．有一個角為40°的兩個等腰三角形D．有一個角為100°的兩個等腰三角形7．在平面直角坐標系中，點P(1，－2)是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點P對應點的坐標為(B)A．(2，－4)B．(2，－4)或(－2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))8．拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝ax＋c(a≠0)在同一直角坐標系中的圖象可能是(D)9．已知：正比例函數y＝k1x的圖象與反比例函數y＝eq\f(k2,x)(x＞0)的圖象交于點M(a，1)，MN⊥x軸于點N(如圖)，若△OMN的面積等于2，則(A)A．k1＝eq\f(1,4)，k2＝4B．k1＝4，k2＝eq\f(1,4)C．k1＝eq\f(1,4)，k2＝－4D．k1＝－eq\f(1,4)，k2＝4第9題圖第10題圖第13題圖10．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③m為任意實數，則a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若axeq\o\al(2,1)＋bx1＝axeq\o\al(2,2)＋bx2，且x1≠x2，則x1＋x2＝2.其中正確的有 (C)A．①②③ B．②④C．②⑤ D．②③⑤二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．若y＝(m－1)xm2＋2m－1是二次函數，則m的值是－3.12．反比例函數y＝eq\f(k,x)圖象上的一點到x軸距離為2，到y(tǒng)軸距離為3，且當x＜0時，y隨x的增大而增大，則k的值是－6.13．★如圖，拋物線y＝ax2＋c與直線y＝3相交于點A，B，與y軸交于點C(0，－1)，若∠ACB為直角，則當ax2＋c＜0時，自變量x的取值范圍是－2＜x＜2.14．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D為AC上一點，其中DC＝eq\f(2,3)AC，在AB上取一點E得△ADE，若△ABC與△ADE相似，則DE＝6或8.三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．已知：a∶b∶c＝2∶3∶5，求代數式eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)的值．解：∵a∶b∶c＝2∶3∶5，∴設a＝2k，b＝3k，c＝5k(k≠0)，則eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)＝eq\f(6k－3k＋5k,4k＋9k－5k)＝1.16.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點A(1，5)，B(－1，9)，C(0，8)．求這個二次函數的表達式，開口方向，對稱軸和頂點坐標．解：由題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝5，,a－b＋c＝9，,c＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,c＝8，))∴二次函數表達式為y＝－x2－2x＋8，∵y＝－x2－2x＋8＝－(x＋1)2＋9，∴這個二次函數的拋物線開口向下，對稱軸為x＝－1，頂點坐標為(－1，9)．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．在如圖所示的網格中，已知△ABC和點M(1，2)．(1)以點M為位似中心把三角形放大，位似比為2，畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′；(2)寫出△A′B′C′的各頂點坐標．解：(1)如圖，△A′B′C′即為所求．(2)△A′B′C′的各頂點坐標分別為A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．18．某校舉行田徑運動會，學校準備了某種氣球，這些氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數，其圖象如圖所示．(1)求這個函數的表達式；(2)當氣球內的氣壓大于150kPa時，氣球將會爆炸，為了安全起見，氣體的體積應至少是多少？解：(1)設p＝eq\f(k,V)，將A(0.5，120)代入求出k＝60，∴p＝eq\f(60,V).(2)當p＞150kPa時，氣球將爆炸，∴p≤150，即p＝eq\f(60,V)≤150，解得V≥eq\f(60,150)＝0.4.故為了安全起見，氣體的體積應不小于0.4m3.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．某數學興趣小組想用所學的知識測量小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，豎起標桿DE，使得點E，C，A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝7m(測量示意圖如圖所示)．請根據相關測量信息，求河寬AB的長．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(BC,DE)＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(1,1.5)＝eq\f(AB,AB＋7)，解得AB＝14m，經檢驗：AB＝14是分式方程的解．答：河寬AB的長為14米．20．如圖，一次函數y1＝kx＋b的圖象與反比例函數y2＝eq\f(6,x)的圖象交于A(m，3)，B(－3，n)兩點．(1)求一次函數的表達式；(2)觀察函數圖象，直接寫出關于x的不等式eq\f(6,x)＞kx＋b的解集．解：(1)∵A(m，3)，B(－3，n)兩點在反比例函數y2＝eq\f(6,x)的圖象上，∴m＝2，n＝－2.∴A(2，3)，B(－3，－2)．根據題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,－3k＋b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，))∴一次函數的表達式是y1＝x＋1.(2)根據圖象得0＜x＜2或x＜－3.六、(本題滿分12分)21．已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在AB上，且BD2＝BE·BC.(1)求證：∠BDE＝∠C；(2)求證：AD2＝AE·AB.證明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(BC,BD)，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE＝∠C.(2)∵∠BDE＝∠C，∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠ADE，∴∠DBC＝∠ADE，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AD)，即AD2＝AE·AB.七、(本題滿分12分)22．某網絡經銷商銷售一款夏季時裝，進價每件60元，售價每件130元，每天銷售30件，每銷售一件需繳納網絡平臺管理費4元．未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的促銷活動，即從第一天起每天的單價均比前一天降1元，通過市場調查發(fā)現，該時裝單價每降1元，每天銷售量增加5件，設第x天(1≤x≤30且x為整數)的銷量為y件．(1)直接寫出y與x的函數關系式；(2)在這30天內，哪一天的利潤是6300元？(3)設第x天的利潤為w元，試求出w與x之間的函數關系式，并求出哪一天的利潤最大，最大利潤是多少．解：(1)由題意可知y＝5x＋30.(2)根據題意可得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6300，即x2－60x＋864＝0，解得x＝24或36(舍)，∴在這30天內，第24天的利潤是6300元．(3)根據題意可得w＝(130－x－60－4)(5x＋30)＝－5x2＋300x＋1980＝－5(x－30)2＋6480，∵a＝－5＜0，∴函數有最大值，∴當x＝30時，w有最大值為6480元，∴第30天的利潤最大，最大利潤是6480元．八、(本題滿分14分)23．如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B，D，P，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．(1)求證：AB·CD＝PB·PD；(2)如圖乙也是一個“三垂圖”，上述結論還成立嗎？請說明理由；(3)已知拋物線交x軸于A(－1，0)，B(3，0)兩點，交y軸于點(0，－3)，頂點為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A，B，P的點，設AQ與y軸相交于D，且∠QAP＝90°，利用上述結論求Q點坐標．(1)證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴eq\f(AB,PD)＝eq\f(PB,CD)，∴AB·CD＝PB·PD.(2)解：AB·CD＝PB·PD仍然成立．理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠CDP＝90°，∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴eq\f(AB,PD)＝eq\f(PB,CD)，∴AB·CD＝PB·PD.(3)解：設拋物線表達式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵拋物線與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))∴y＝x2－2x－3，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴頂點P的坐標為(1，－4)，過點P作PC⊥x軸于C，∵AQ與y軸相交于D，∴AO＝1，AC＝1＋1＝2，PC＝4，由(2)得，AO·AC＝OD·PC，∴1×2＝OD·4，解得OD＝eq\f(1,2)，∴點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，設直線AD的表達式為y＝kx＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,b＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(1,2)，))∴y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝x2－2x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(7,2)，,y1＝\f(9,4)，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－1，,y2＝0.))(與A重合，舍去)∴點Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(9,4))).滬科版九年級數學上冊第23章測試題（含答案）(考試時間：120分鐘滿分：150分)姓名：______班級：______分數：______一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．計算：2sin30°＝(A)A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝eq\f(3,5)，則sinA的值是(B)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,3)D.eq\f(5,4)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，則AB的長為(A)A.eq\f(m,cosα)B．m·cosαC．m·sinαD．m·tanα4．某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內斜坡的坡度i＝1∶eq\r(3)，壩外斜坡的坡度i＝1∶1，則兩個坡角的和為(C)A．90°B．60°C．75°D．105°5．如圖，要測量小河兩岸相對的A，B兩點之間的距離，可以在小河邊取AB的垂線BC上的一點D，若測得BD＝60米，∠ADB＝40°，則AB等于(A)A．60tan40°米B．60tan50°米C．60sin40°米D．60sin50°米第5題圖第6題圖第8題圖6．如圖，已知在平面直角坐標系xOy內有一點A(2，3)，那么OA與x軸正半軸的夾角α的余弦值是(D)A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3\r(13),13)D.eq\f(2\r(13),13)7．在△ABC中，cosB＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是 (B)A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船與觀測站之間的距離(即OB的長)為(C)A．4eq\r(3)kmB．(eq\r(3)＋1)kmC．2(eq\r(3)＋1)kmD．(eq\r(3)＋2)km9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于(C)A.eq\f(3,5)B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(4,5)或eq\f(\r(7),4)D.eq\f(4,5)或eq\f(2\r(7),7)10．★如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，E為AC上一點，連接DE，并過點D作FD⊥ED，垂足為D，交BC于點F.若AC＝BC＝14，AE∶EC＝4∶3，則tan∠EFC的值為(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)第10題圖第13題圖第14題圖二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知：tanα＝eq\f(\r(3),3)，則銳角α＝30°.12．比較大?。篶os35°＜sin65°.13．如圖，河流兩岸a，b互相平行，點A，B是河岸a上的兩座建筑物，點C，D是河岸b上的兩點，A，B的距離約為200米．某人在河岸b上的點P處測得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，則河流的寬度約為100米．14．★如圖，點D在鈍角△ABC的邊BC上，連接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA∶CB＝5∶7，則∠BAD的余弦值為eq\f(2\r(5),5).三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計算：(1)cos245°＋sin60°·tan30°－tan30°；解：原式＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),3)＝1－eq\f(\r(3),3).(2)eq\f(sin60°＋tan45°,cos30°－2sin30°).解：原式＝eq\f(\f(\r(3),2)＋1,\f(\r(3),2)－1)＝－7－4eq\r(3).16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)已知∠A＝60°，b＝10eq\r(3)，求a，c；(2)已知c＝2eq\r(3)，b＝3，求a，∠A.解：(1)a＝btan60°＝30；c＝eq\f(b,cos60°)＝20eq\r(3).(2)a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(3).∵sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝3eq\r(2)，AD⊥BC于D，求CD.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，∵∠B＝45°，∴AD＝BD＝ABsinB＝3.在Rt△ADC中，∵∠C＝60°，∴CD＝eq\f(AD,tanC)＝eq\r(3).18．某商場為了方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯．如圖所示，已知原階梯式扶梯AB長為10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB＝9°，請計算改造后的斜坡AC的長度．(結果精確到0.01，參考數據：sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158)解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5(m)，在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(5,sin9°)＝eq\f(5,0.156)≈32.05(m)，答：改造后的斜坡AC的長度為32.05米．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C兩點測得該塔頂端F的仰角分別為α和β，矩形建筑物寬度AD＝20m，高度DC＝33m.(1)試用α和β的三角比表示線段CG的長；(2)如果α＝48°，β＝65°，請求出信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG的值．(結果精確到1m，參考數據：sin48°＝0.7，cos48°＝0.7，tan48°＝1.1，sin65°＝0.9，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1)解：(1)過D作DE⊥FG于E，設CG＝xm，由圖可知EF＝(x＋20)·tanα，FG＝x·tanβ，則(x＋20)tanα＋33＝xtanβ，解得x＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα).∴CG＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα)m.(2)x＝eq\f(33＋20tanα,tanβ－tanα)＝eq\f(33＋20×1.1,2.1－1.1)＝55，則FG＝x·tanβ＝55×2.1＝115.5≈116.答：該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG約是116m.20．如圖，一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3°方向有一座小島C，繼續(xù)向東航行60海里到達B處，測得小島C此時在輪船的東偏北63.5°方向上，之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數據：sin21.3°≈\f(9,25)，tan21.3°≈\f(2,5)，sin63.5°≈\f(9,10)，tan63.5°≈2))解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD.設CD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(x,tan63.5°)，在Rt△ACD中，tanA＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\f(x,tan21.3°)，∴AD－BD＝AB，即eq\f(x,tan21.3°)－eq\f(x,tan63.5°)＝60，解得x＝30.BD＝eq\f(30,tan63.5°)＝15.答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近．六、(本題滿分12分)21．某工廠生產某種多功能兒童車，根據需要可變形為圖①的滑板車或圖②的自行車，已知前后車輪半徑相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，車桿AB與BC所成的∠ABC＝53°，圖①中B，E，C三點共線，圖②中的座板DE與地面保持平行．問變形前后兩軸心BC的長度有沒有發(fā)生變化？若不變，請寫出BC的長度；若變化，請求出變化量．(參考數據：sin53°≈eq\f(4,5)，cos53°≈eq\f(3,5)，tan53°≈eq\f(4,5))解：如圖①，過點D作DF⊥BE于點F，由題意知BD＝DE＝30cm，∴BF＝BDcos∠ABC＝30×eq\f(3,5)＝18(cm)，∴BE＝2BF＝36cm，則BC＝BE＋CE＝76cm，如圖②，過點D作DM⊥BC于M，過點E作EN⊥BC于點N，由題意知四邊形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30cm，在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×eq\f(3,5)＝18(cm)，EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×eq\f(4,5)＝24(cm)，在Rt△CEN中，∵CE＝40cm，∴由勾股定理可得CN＝32cm，則BC＝18＋30＋32＝80cm，80－76＝4cm.答：BC的長度發(fā)生了改變，增加了4cm.七、(本題滿分12分)22．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝eq\f(3,5)，點D在邊AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．解：作DH⊥BC于H.∵∠A＝90°，sinB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,5)，設AC＝3k，BC＝5k，則AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k.∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A，∴△BHD∽△BAC，eq\f(BD,BC)＝eq\f(DH,AC)＝eq\f(BH,AB)，∴DH＝eq\f(3,5)k，BH＝eq\f(4,5)k，∵CH＝BC－BH＝eq\f(21,5)k，∴tan∠BCD＝eq\f(DH,CH)＝eq\f(1,7).八、(本題滿分14分)23．【閱讀新知】三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即：如圖①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，則有：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.利用這個結論可求解下列問題：例：在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，求∠A.解：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(（2\r(2)）2＋（\r(6)＋\r(2)）2－（2\r(3)）2,2×2\r(2)×（\r(6)＋\r(2)）)＝eq\f(1,2).∴∠A＝60°.【應用新知】(1)在△ABC中，已知b＝ccosA，a＝csinB，試判斷△ABC的形狀；(2)如圖②，某客輪在A處看港口D在客輪的北偏東50°，A處看燈塔B在客輪的北偏西30°，距離為2eq\r(3)海里，客輪由A處向正北方向航行到C處時，再看港口D在客輪的南偏東80°，距離為6海里．求此時C處到燈塔B的距離．解：(1)∵b＝ccosA，a＝csinB，∴cosA＝eq\f(b,c)，sinB＝eq\f(a,c)，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bc×eq\f(b,c)＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴a＝csinB＝b，∴△ABC是等腰直角三角形．(2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°，∴CA＝CD＝6，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(2eq\r(3))2＋62－2×2eq\r(3)×6×eq\f(\r(3),2)＝12，∴BC＝2eq\r(3).答：C處到燈塔B的距離為2eq\r(3)海里．滬科版九年級數學上冊期末測試題1（含答案）(考試時間：120分鐘滿分：150分)姓名：______班級：______分數：______一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1．下列四組圖形中，不是相似圖形的是 (D)2．反比例函數y＝－eq\f(4,3x)的比例系數是(B)A．－eq\f(3,4)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D．－43．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，則cosA＝ (D)A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3) C.eq\f(2\r(13),13) D.eq\f(3\r(13),13)第3題圖第5題圖第7題圖4．若△ABC∽△DEF，且△ABC與△DEF的面積比是eq\f(9,4)，則△ABC與△DEF的對應邊的比為(D)A.eq\f(2,3)B.eq\f(81,16)C.eq\f(9,4)D.eq\f(3,2)5．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A(2，4)，過點A作AB⊥x軸于點B.將△AOB以坐標原點O為位似中心縮小為原圖形的eq\f(1,2)，得到△COD，則CD的長度是(B)A．1B．2C．2eq\r(5)D.eq\r(5)6．已知反比例函數y＝eq\f(k,x)的圖象如圖所示，則二次函數y＝k2x2＋x－2k的圖象大致為 (A)7．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象如圖，下列結論中正確的是 (C)A．Abc＞0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a－b＋c＞08．在平面直角坐標系xOy中，將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置，直角頂點C的坐標為(1，0)，頂點A的坐標(0，2)，頂點B恰好落在第一象限的雙曲線上，現將直角三角板沿x軸正方向平移，當頂點A恰好落在該雙曲線上時停止運動，則此時點C的對應點C′的坐標為 (A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))B．(2，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))D．(3，0)第8題圖第9題圖9．如圖，有一塊直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分別是AB，AC邊上的一點，現從中切出一條矩形紙條DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，則GF的長為 (A)A．3cm B．2eq\r(2)cm C．2.5cm D．3.5cm10．★如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，點P，Q同時從頂點A出發(fā)，點P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前進，點Q沿A→D方向以1厘米/秒的速度前進，當Q到達點D時，兩個點隨之停止運動．設運動時間為x秒，P，Q經過的路徑與線段PQ圍成的圖形的面積為y(cm2)，則y與x的函數圖象大致是(A)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知點P在線段AB上，且滿足BP2＝AB·AP，則eq\f(BP,AB)的值等于eq\f(\r(5)－1,2).12．拋物線y＝2x2－4x＋m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是x1＝－1，x2＝3.第12題圖第13題圖13．周末，張三、李四兩人在磁湖游玩，張三在湖心島P處觀看李四在湖中劃船(如圖)，小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°方向劃行200米到A處，接著小船向正南方向劃行一段時間到B處．在B處李四觀測張三所在的P處在北偏西45°方向上，這時張三與李四相距100eq\r(6)米．(保留根號)14．★矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為eq\f(6,5)或3.三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計算：|eq\r(2)－eq\r(3)|＋(eq\r(3))0＋2cos45°－3tan30°.解：原式＝eq\r(3)－eq\r(2)＋1＋2×eq\f(\r(2),2)－3×eq\f(\r(3),3)＝1.16．如圖，在線段AB上取一點D，使△DBO與等腰Rt△ABC位似，作出點D及求△DBO與△ABC的相似比．解：∵△DBO與等腰Rt△ABC位似，∴位似中心為點B，∵點O為BC的中點，∴點D為BA的中點，即D(－2，6)，∴點D如圖所示，△DBO與△ABC的相似比＝1∶2.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖為一座橋的示意圖，已知橋洞的拱形是拋物線．當水面寬為12m時，橋洞頂部離水面4m.(1)建立平面直角坐標系，并求該拋物線的函數表達式；(2)若水面上升1m，水面寬度將減少多少？解：(1)以C為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(－6，－4)，B(6，－4)，C(0，0)，設y＝ax2，把B(6，－4)代入上式，得36a＋4＝0，解得a＝－eq\f(1,9)，∴y＝－eq\f(1,9)x2.(2)令y＝－3，得－eq\f(1,9)x2＝－3，解得x＝±3eq\r(3)，∴若水面上升1m，水面寬度將減少(12－6eq\r(3))m.18．如圖，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△ADE.證明：∵AB·AE＝AD·AC，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，一正方體包裝箱沿斜面坡角為30°的電梯上行，已知正方體包裝箱的棱長為2米，電梯AB長為16米，當正方體包裝箱的一個頂點到達電梯上端B時，求另一頂點C離地面的高度．(參考數據：eq\r(3)≈1.73)解：過點C作CM⊥AE，交AB于點D，交AE于點M，作BF⊥AE于點F，由題意可得，∠A＝30°，AB＝16，BC＝2，則∠DCB＝30°，∴BD＝BC·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，CD＝eq\f(BC,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3)，∴AD＝AB－BD＝16－eq\f(2\r(3),3)，∴DM＝AD·sin30°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16－\f(2\r(3),3)))×eq\f(1,2)＝8－eq\f(\r(3),3)，∴CM＝CD＋DM＝eq\f(4\r(3),3)＋8－eq\f(\r(3),3)＝8＋eq\r(3)，即另一頂點C離地面的高度是(8＋eq\r(3))米．20．如圖，一次函數y＝－x＋5的圖象與反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1，n)和B兩點．(1)求反比例函數的表達式；(2)在第一象限內，當一次函數y＝－x＋5的值大于反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值時，寫出自變量x的取值范圍．解：(1)∵一次函數y＝－x＋5的圖象過點A(1，n)，∴n＝－1＋5＝4，∴點A坐標為(1，4)，∵反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)過點A(1，4)，∴k＝4，∴反比例函數的表達式為y＝eq\f(4,x).(2)聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋5，,y＝\f(4,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝1，))即點B的坐標為(4，1)，當一次函數y＝－x＋5的值大于反比例函數y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值時，x的取值范圍為1＜x＜4.六、(本題滿分12分)21．設二次函數y1，y2的圖象的頂點坐標分別為(a，b)，(c，d)，若a＝－2c，b＝－2d，且開口方向相同，則稱y1是y2的“反倍頂二次函數”．(1)請寫出二次函數y＝x2－x＋1的一個“反倍頂二次函數”；(2)已知關于x的二次函數y1＝x2＋nx和二次函數y2＝2x2－nx＋1，若函數y1恰是y2的“反倍頂二次函數”，求n的值．解：(1)∵y2＝x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，∴y1的頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，∴y1＝(x＋1)2－eq\f(3,2).(2)∵y1＝x2＋nx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(n,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(n2,4)，y2＝2x2－nx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(n,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(n2－8,8)，由題意得－eq\f(n2,4)＝2×eq\f(n2－8,8)，解得n＝±2.七、(本題滿分12分)22．某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價x(元/千克)506070銷售量y(千克)1008060(1)求y與x之間的函數表達式；(2)要使商品每天的總利潤為1600元，則每千克售價x為多少元？(3)設商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數表達式，并指出售價為多少元時獲得最大利潤？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)解：(1)設y＝kx＋b，將(50，100)，(60，80)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，