人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第24課弧、弦、圓心角、圓周角（教師版）

第24課弧、弦、圓心角、圓周角目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解圓心角、圓周角的概念；2.理解圓周角定理及其推論，能靈活運(yùn)用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問題；3.掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應(yīng)相等，及其它們在解題中的應(yīng)用．知識精講知識精講知識點(diǎn)01弧、弦、圓心角的關(guān)系1.圓心角定義

如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．

要點(diǎn)詮釋：

(1)一個(gè)角要是圓心角，必須具備頂點(diǎn)在圓心這一特征.

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.知識點(diǎn)02圓周角1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

要點(diǎn)詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

4.圓內(nèi)接四邊形：（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對角）．5.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等).*如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等.能力拓展能力拓展考法01圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用【典例1】已知：如圖所示，⊙O中弦AB＝CD．求證：AD＝BC．【答案與解析】證法一：如圖①，∵AB＝CD，∴．∴SKIPIF1<0，即，∴AD＝BC．證法二：如圖②，連OA、OB、OC、OD，∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴AD＝BC．【點(diǎn)評】在同圓或等圓中，證兩弦相等時(shí)常用的方法是找這兩弦所對的弧相等或所對的圓心角相等，而圖中沒有已知的等弧和等圓心角，必須借助已知的等弦進(jìn)行推理．本題主要是考查弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，要證AD＝BC，只需證或證∠AOD＝∠BOC即可．【即學(xué)即練1】如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB．求證：．【答案】證法一：如上圖所示，連OC、OD，則OC＝OD，∵OA＝OB，且，，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴．證法二：如下圖，連AC、BD、OC、OD．∵M(jìn)是AO的中點(diǎn)，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴．考法02圓周角定理及應(yīng)用【典例2】如圖，OA、OB是⊙O的半徑且OA⊥OB，作OA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C、D，連接CB、AB．求證：∠ABC=2∠CBO．【答案與解析】證明：連接OC、AC，如圖，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．【總結(jié)升華】本題考查了圓周角定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握所學(xué)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練2】如圖，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°則弦AB所對的圓周角是.【答案】40°或140°.【典例3】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠1+∠2=___________.

【答案】90°.【解析】如圖，連接OE，則

【點(diǎn)評】把圓周角轉(zhuǎn)化到圓心角.

【即學(xué)即練3】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，則∠D=．【答案】96°；提示：解：連結(jié)OC，如圖，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案為96．【典例4】已知，如圖，⊙O上三點(diǎn)A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，試求⊙O的直徑長.

【答案與解析】如圖所示，作⊙O的直徑AC′，連結(jié)C′B，則∠AC′B=∠C=60°

又∵AC′是⊙O的直徑，

∴∠ABC′=90°

即⊙O的直徑為.【點(diǎn)評】作出⊙O的直徑，將60°、直徑與m都轉(zhuǎn)到一個(gè)直角三角形中求解.

【即學(xué)即練4】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，則⊙O的半徑為（）．A． B．4C．D．5【答案】A.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB//CD，若∠BAC=32°，則∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°【答案】A【分析】由AB//CD，∠BAC＝32°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得∠ACD的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠AOD的度數(shù)．【詳解】解：∵弦AB//CD，∠BAC=32°，∴∠ACD＝∠BAD＝32°，∴∠AOD=2∠ACD＝2×32°＝64°.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理與平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．2．如圖，弦AB，CD相交于E點(diǎn)，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，則∠AOD等于（）A．37° B．74° C．54° D．64°【答案】B【分析】由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得∠AOD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=∠C+∠BAC，∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD=138°，則它的一個(gè)外角∠DCE等于（）A．69° B．42° C．48° D．38°【答案】A【分析】先根據(jù)圓周角定理得出∠BAD的大小，然后利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)，得出∠BCD的大小，從而得出∠DCE的大?。驹斀狻俊摺螧OD=138°，∴SKIPIF1<0，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)和圓周角定理，解題關(guān)鍵是得出∠BCD的大小．4．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連接DC，則∠AEB等于（）A．70°B．110°C．90°D．120°【答案】B．【解析】試題分析：∵∠A=50°，∠ABC=60°∴∠ACB=70°∵BD是圓O的直徑∴∠BCD=90°∴∠ACD=20°∴∠ABD=∠ACD=20°∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣（50°+20°）=110°．故選B．考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．三角形內(nèi)角和定理．5．如圖所示，∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系是（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠3＞∠1＞∠2

C．∠2＞∠1＞∠3 D．∠3＞∠2＞∠1【答案】D【分析】作出如圖所示輔助線，再根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”和“三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”，此題可解．【詳解】如圖，BD交圓于點(diǎn)G，連接CG，延長BE交圓于點(diǎn)F，連接CF，則由圓周角定理知，∠A=∠BGC=∠F，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和知，∠BGC=∠2=∠D+∠GCD=∠1+∠GCD，∠3=∠F+∠FCE=∠2+∠FCE，∴SKIPIF1<0故選D.【點(diǎn)睛】考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理以及三角形外角的性質(zhì)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連接OC、BD，若∠AOC=110°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．35° B．46° C．55° D．70°【答案】A【分析】連接BC，根據(jù)圓周角定理求得∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形的銳角互余即可求解．【詳解】連接BC，∵∠AOC=110°，∴∠ABC=SKIPIF1<0∠AOC═55°，∵CD⊥AB，∴∠BEC=90°，∴∠BCD=90°-55°=35°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及圓周角定理，根據(jù)圓周角定理把求∠ABD的問題轉(zhuǎn)化成求等腰三角形的底角的問題．7．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D=度．【答案】100．【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根據(jù)∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6分別計(jì)算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，進(jìn)而可得∠D的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，∵∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，∴∠A=180°×SKIPIF1<0=60°，∠C=180°×SKIPIF1<0=120°，∠B=180°×SKIPIF1<0=80°，∴∠D=180°﹣80°=100°，故答案為100．題組B能力提升練1．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長為_____．【答案】4SKIPIF1<0．【分析】連接SKIPIF1<0，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0，∴∠CAD=30°，又∵AD=8，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，含SKIPIF1<0角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在PM以及⊙O的半徑OM，OP上，并且∠POM＝45°，則AB的長為_______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】連結(jié)AO.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCO=90°.∵∠POM=45°，∴∠CDO=45°，∴CD=CO，∴BO=BC+CO=BC+CD，∴BO=2AB.∵M(jìn)N=10，∴AO=5.在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，∴AB=SKIPIF1<0.3．如圖,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC為⊙O的直徑,則∠A+∠B+∠C=________度.?【答案】90【詳解】解：如圖∠A，∠B，∠C可分別看成是SKIPIF1<0的圓周角，而SKIPIF1<0，所以∠A＋∠B＋∠C=90°考點(diǎn)：圓周角與圓心角的關(guān)系點(diǎn)評：本題考察圓周角與圓心角的關(guān)系，本題看出這三個(gè)角的圓心角是一個(gè)平角是解本題的關(guān)鍵4．如圖所示，C，D是半圓O上的兩點(diǎn)，AB是圓O的直徑，且OD∥BC，OD與AC交于點(diǎn)E．AB=SKIPIF1<0，BC=SKIPIF1<0，求AD的長．【答案】D=5．【解析】【分析】根據(jù)題意可得△ACB為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OE,DE，運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)論.【詳解】解:∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=SKIPIF1<0，∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴AE=EC=4，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴OE=SKIPIF1<0CB=SKIPIF1<0，∴DE=OD﹣OE=SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=3，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=5．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)與勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握中位線的性質(zhì)與勾股定理.5．如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】試題分析：連接AN，根據(jù)勾股定理可得MN=4SKIPIF1<0，將點(diǎn)B作關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B′，連接AB′就是PA+PB的最小值，從而得出答案.考點(diǎn)：軸對稱問題6．如圖，半圓O的直徑AB＝10，有一條定長為6的動弦CD在弧AB上滑動（點(diǎn)C、點(diǎn)D分別不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F在AB上，EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD．（1）求證：EO＝OF；（2）聯(lián)結(jié)OC，如果△ECO中有一個(gè)內(nèi)角等于45°，求線段EF的長；（3）當(dāng)動弦CD在弧AB上滑動時(shí)，設(shè)變量CE＝x，四邊形CDFE面積為S，周長為l，問：S與l是否分別隨著x的變化而變化？試用所學(xué)的函數(shù)知識直接寫出它們的函數(shù)解析式及函數(shù)定義域，以說明你的結(jié)論．【答案】（1）詳見解析；（2）線段EF的長等于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）過點(diǎn)O作OH⊥CD于H，由垂徑定理得出CH＝DH，證得EC∥OH∥FD，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出SKIPIF1<0，由平行線的性質(zhì)得出∠ECO＝∠COH≠45°；分兩種情況討論：①當(dāng)∠EOC＝45°時(shí)，過點(diǎn)E作EM⊥OC于M，則△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，證明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．設(shè)EM＝3m，CM＝4m．則OM＝3m，EO＝SKIPIF1<0OM＝SKIPIF1<0m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，EF＝SKIPIF1<0．②當(dāng)∠CEO＝45°時(shí)，過點(diǎn)O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，SKIPIF1<0．得出SKIPIF1<0即可．（3）證明OH是梯形EFDC的中位線，由梯形中位線定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面積公式得出S＝SKIPIF1<0（EC+FD）?CD＝OH?CD＝244×6＝24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，則GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得出四邊形CDFE周長l＝EF+EC+CD+FD＝SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作OH⊥CD于H，如圖所示：則CH＝DH，∵EC⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，OH⊥CD，∴EC∥OH∥FD，∵CH＝DH，∴EO＝FO；（2）解：∵OH⊥CD，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵EC∥OH，∴∠ECO＝∠COH≠45°；①當(dāng)∠EOC＝45°時(shí)，過點(diǎn)E作EM⊥OC于M，則△OEM是等腰直角三角形，∴EM＝OM，∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°，∴△ECM∽△COH，∴EM：CM＝CH：OH＝3：4．在Rt△ECM中，設(shè)EM＝3m，CM＝4m．則OM＝3m，SKIPIF1<0，∵CM+OM＝OC，∴4m+3m＝5，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②當(dāng)∠CEO＝45°時(shí)，過點(diǎn)O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．綜上所述，線段EF的長等于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）解：四邊形CDFE的面積S不隨變量x的變化而變化，是一個(gè)不變量；四邊形CDFE的周長l隨變量x的變化而變化．理由如下：由①得：EO＝FO，CH＝DH，∴OH是梯形EFDC的中位線，∴EC+FD＝2OH＝8，∴四邊形CDFE面積為SKIPIF1<0（是一個(gè)常值函數(shù)）；作FG⊥EC于G，則GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，∴EG＝EC﹣GC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，∴SKIPIF1<0，∴四邊形CDFE周長SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)、梯形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于作輔助線和靈活運(yùn)用各性質(zhì)定義，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O為△ABC的外接圓，D為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，CE⊥AD于E，求證：AE=BD+DE．【答案】證明詳見解析．【詳解】試題分析：如圖，在AE上截取AF=BD，連接CF，由圓周角定理得，∠CBD=∠CAF，根據(jù)SAS可以利用已知條件證明△ACF≌△BCD?CF=CD，由于CE⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的高與底邊上的中線重合知，EF=DE，則AE=AF+EF=BD+DE．試題解析：證明：如圖，在AE上截取AF=BD，連接CF，CD；在△ACF和△BCD中，SKIPIF1<0，∴△ACF≌△BCD，∴CF=CD，∵CE⊥AD于E，∴EF=DE，∴AE=AF+EF=BD+DE．考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，C為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F，連接AC，求證：AF＝CF．【答案】講明見解析【分析】連接BC，可得∠ACB＝90°，再根據(jù)∠ACF+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，可得∠ACF＝∠B，因?yàn)镃為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，可得∠B＝∠CAE，∠ACF＝∠CAE，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠ACF+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACF＝∠B，∵C為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴∠B＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAE，∴AF＝CF．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角相關(guān)的定理，在題中看到直徑就可以想到，直徑所對的圓周角是90°，題中有90°比較多的話，那么角之間的等量代換就可以用等角的余角相等，進(jìn)行角之間的等量代換，雖然題中求證的是邊相等，但是可以利用角相等進(jìn)行轉(zhuǎn)換.3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC長為SKIPIF1<0，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求AB和AD的長．【答案】6；SKIPIF1<0．【解析】試題分析：①首先根據(jù)圓周角定理的推論得到△ACB是直角三角形，再利用勾股定理求出AB的長；②首先根據(jù)圓周角定理得出：∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到：∠ACD=∠BCD=45°，即可得到∠DAB=∠DBA，進(jìn)而得到AD=DB，再利用勾股定理求出AD的長．試題解析：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵BC=SKIPIF1<0，AC=2，∴AB=SKIPIF1<0；∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=SKIPIF1<0．考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．勾股定理．4．在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連結(jié)FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，則線段DG的長為；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，則SKIPIF1<0＝．【答案】①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】①過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，先證明SKIPIF1<0是等邊三角形，求出SKIPIF1<0長度，再證明SKIPIF1<0，從而在SKIPIF1<0中，求出SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，即可得到SKIPIF1<0；②過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共圓，可得SKIPIF1<0，從而可證SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共圓可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：①過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖：SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，且SKIPIF1<0的延長線過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0；②過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖：SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共圓，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，而SKIPIF1<0③，由①②③得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，是中考題的壓軸題，考查等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、含30度角的直角三角形、三角形全等的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)等知識，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線．5．問題背景：如圖①在四邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0探究線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．小楊同學(xué)探究此問題的思路是：將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0處點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別落在點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0處（如圖②），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易證點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一條直線上，并且SKIPIF1<0是等腰直角三角形，