整數(shù)(整除)性問題

N．．．，，，，1nmnnnN．．．，，，，1nmnnn{}最高學優(yōu)專（典析整數(shù)（整除）性問題【探究拓展】探究1）知二項式

x

1x

，其中，且

n2012

，在其二項展開式中，若存在連續(xù)項的二項式系成等差數(shù)列，問這樣的n共有多少個？解：連續(xù)三項的二項系數(shù)分別為

k

、k、k（

kn

由題意

k

k

k

，依組合數(shù)的定義展并整理得

n

2

kn4k

2

，故n1,2

4k8k2

，

8k(222k2

，代入整理m2m24421936220252

的取值為

44

，

，，

，共

42個（將所求參數(shù)求出，據(jù)整數(shù)性質加以研究，盡量出現(xiàn)分式、式等形式）（2）已知T(1)3

，問是否存在正整數(shù)，n，且m＜n得T，T，T成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存，說明理由？解：

1(13

11n)Tn3n

∴

1

14

,m

m

，

T

∵

T,T1

m

,T

n

成等比數(shù)列∴

(

m1)23m3n

，所以

m

2,1

又

為正整數(shù)且2m，＝且

1<mn，得

T1m

n

成等比數(shù)列（3）

已知數(shù)列

{}n

是等差數(shù)列，

151

，數(shù)列是等比數(shù)，nbb12

．{}{}所以{{}{}所以{}64a*，，(m64最高學優(yōu)專（典析①

若

,124

．求數(shù)列和的項公式；nn②

若

,a112

是正整數(shù)且成等比數(shù)，求

3

的最大值．（注：整型問題一定充分利用好條中的整數(shù)進求解）解由題得所

ba212

從而等差數(shù)列的差，n以

2n

，從而

3

，所以

b

．（2）設等數(shù)列{}的公差為，比數(shù)列為q，則an

，

，

a

，

bq

.因為

,1122

成等比數(shù)列，所以

)13

．設

3

，

,

*

，，則

m

，整理得

d

.解得

d

n(m10)2

（舍去負）（預設提：如何利用是正整數(shù)實現(xiàn)對本題的研究是本題的難點）Qa

，要使得

最大，即需要大，即n及(10)

2

取最大值

Q

,當且僅當且時，

2

取最大值從而最大的探究

，所以，最大的年）已知數(shù)列{}的通項公式為

，

是其前n，由，得)2(，由，得)2(2(22(4f(x)ax最高學優(yōu)專（典析項的和，問是否存在整數(shù)

，使得

S2mnS2mn

成立？若存在，求出所有符合條件的有實數(shù)對存，請說明理由解：

S

1)4(1)S)212+

當時母小于恒成化簡可知不等式不可成立又因為

是正整數(shù)故

m1,2,3

當時由得，

所以當時由得，

所以或當時由，

所以

或或，綜上可，存在條件的有序實．(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)

(mn)

為：拓展

1知等差數(shù)列

{}

的公差

d不為

0等數(shù)列{}的

q為小于正有理數(shù)，若

a,bd11

2

，且

23

是正整數(shù)，則等于________.

拓展：m∈若函數(shù)

fx)

存在整數(shù)零點，則

取值集合為________.解：當x∈Z，且x≤時，

10

∈Z．若

=0，=-5為函數(shù)f(x)的整數(shù)零點．若≠則令(x，得m

210

∈．注意到≤≤且

10x∈N，得x∈，6，10}此時集合為{0，3，14，．

∈，22，．故

的取值拓展：函數(shù)

中為負整數(shù)，則使函數(shù)至少有一f(m)gf(m)gm為為知，又得為最高學優(yōu)專（典析個整數(shù)零點的所有的的和為_____________.-14拓展：設a,均為于1的自數(shù)，函數(shù)

f(x(bsinx),()

，若存在實數(shù)使得

，則

.

拓展：已知函數(shù)

bg()

2

(2

2

x

2

)(Z

*

,b

，若存在

x0

，使

f()f()0

的最小值，

)g(x)0

的最大值，則此時數(shù),b)

為_________.解：由

b

2

bb1,2,3

；而

f(x)

的最小值時

x0

=

，又

)0

的最大值即a

所以

2

b

2

得

6

2

b得a

或此時數(shù)對

,b)