第二章現(xiàn)代信號處理基礎

第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性（習題講評）隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜隨機矢量及其統(tǒng)計特性以3個習題為例：例1N維高斯分布隨機矢量的均值矢量為，協(xié)方差矩陣為?，F(xiàn)對作線性變換，其中B是階常數(shù)矩陣，試證明是高斯分布的。證明：由題意有，其概率密度函數(shù)為：其中，假設矢量為列矢量。的聯(lián)合特征函數(shù)為：隨機矢量及其統(tǒng)計特性式中，因為，由隨機矢量特征函數(shù)的性質有：于是，也服從高斯分布?！咀C畢】隨機矢量及其統(tǒng)計特性例2和分別為N維和M維零均值隨機變量，不相關，但聯(lián)合高斯分布。試證明它們是相互獨立的。證明：設和為列矢量，其協(xié)方差矩陣分別為：、。設是和的聯(lián)合矢量，記為：

的自協(xié)方差矩陣為：隨機矢量及其統(tǒng)計特性

的概率密度函數(shù)即和的聯(lián)合概率密度函數(shù)：【證畢】。第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜隨機信號的估計評價及估計方法估計器隨機過程估計框圖估計誤差：從不同樣本或同一樣本不同N點數(shù)據(jù)，估計誤差不同。參數(shù)x

的估計子的估計偏差（bias)：估計偏差：隨機信號的估計評價1.無偏性和漸進無偏性：即從N個數(shù)據(jù)所得估計量的集平均等于待估計量的真值。2.有效性（方差）表明估計值偏離均值（對無偏估計即為真值）的分散程度。隨機信號的估計評價(a)(b)方差小，偏差大(c)偏差小，方差大3.一致性（均方誤差）稱為的一致估計。均方誤差即：估計子的均方誤差等于其方差與偏差的平方和。隨機信號的估計評價例：設一平穩(wěn)白遍歷隨機過程的平均值和方差分別為m和,其任一樣本函數(shù)為是一組N個取樣點數(shù)據(jù)，試估計其平均值并作出評價。解：平穩(wěn)遍歷集合平均等于時間平均X(n)的均值估計：均值估計的集平均值：（無偏估計）均值估計的方差：隨機信號的估計評價數(shù)字特征的估計方法1.均值的估計2.方差的估計此估計子是無偏的。當各樣值不相關時，為一致估計(見上例)?？梢宰C明：即該估計子是有偏的但是漸進無偏的。如果定義：則該方差估計是無偏的。3.自相關函數(shù)的估計由長為N的序列估計自相關函數(shù)：自相關函數(shù)估計的集平均：（無偏估計）數(shù)字特征的估計方法（有偏、漸進無偏估計）自相關函數(shù)估計的方差數(shù)字特征的估計方法第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜隨機信號通過LTI系統(tǒng)一、時域分析LTI系統(tǒng)示意1.輸出Y(t)均值X(t)平穩(wěn)時，有：Y(t)均值與時間無關2.輸出Y(t)的自相關函數(shù)當X(t)平穩(wěn)時，有：Y(t)的自相關函數(shù)僅與時間間隔有關，且有：3.輸入與輸出之間的互相關函數(shù)當X(t)平穩(wěn)時，有：同理推導得：二、時域分析1.輸出的自功率譜時域卷積對映（復）頻域相乘2.輸入與輸出的互功率譜平穩(wěn)時間序列通過離散LTI系統(tǒng)有對應類似的表達式連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)輸出的自相關函數(shù)輸入、輸出間的互相關函數(shù)輸出的自功率譜輸入、輸出間互功率譜輸出平均功率（均方值）例1：一離散時間平穩(wěn)白噪聲X(n)通過一階IIR數(shù)字濾波器：解：輸出功率譜：輸出平均功率：試求輸出的自相關函數(shù)、平均功率及自功率譜。白噪聲：系統(tǒng)函數(shù)：沖激響應輸出自相關函數(shù)例2：求雙邊功率譜的理想白噪聲通過理想低通濾波器后輸出噪聲的功率譜、自相關函數(shù)及輸出的噪聲功率。解：設理想低通濾波器頻響特性輸出功率譜：輸出自相關函數(shù)：輸出噪聲平均功率：第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜相關抵消原理H+相關抵消器原理圖相關抵消應用關于“三同信道”中的干擾對消原理：761234589Schmidt(施密特)正交正交分解定理的意義：便于直觀理解信號的估計問題；便于信號的建模。矢量空間與內積空間：隨機矢量的正交投影：

正交投影定理：Schmidt正交化：一維的情形二維的情形第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜最小相位系統(tǒng)若離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的所有零點都在單位圓內，則稱其為最小相位系統(tǒng)。最小相位序列序列，若其Z變換的所有零點都在單位圓內，則稱該序列為最小相位序列。即：式中零點幾個重要的概念（1）

倒序列:（2）

共軛系數(shù)多項式:（3）

共軛反射多項式：（4）

共軛倒序多項式：容易推導：相位序列變換最大相位（時延）序列：零點全在單位圓外?？勺C明：共有2M個序列具有相同振幅譜。部分能量：序列總能量：*最小相位序列能量集中在初始階段(時延最小），最大相位序列能量集中在尾部(時延最大）。（證明見P12）零點零點若將不變零點倒易對應的功率譜估計：*具有相同振幅譜的2M個序列，其自相關函數(shù)相同。自相關函數(shù)的不變性：定義序列的取樣自相關：*最小相位譜分解：找出成對共軛對稱零點（共2M個）；將單位圓內零點歸總構成最小相位多項式A(z)。零點倒易零點0.5零點2零點0.2零點5零點倒易例：對應序列：對應序列：對應最小相位序列：對應最大相位序列：序列序列序列序列具有相同幅度譜不同序列的部分能量部分能量：*不同序列總能量相同。*最小相位序列能量集中在初始階段(時延最?。?，最大相位序列能量集中在尾部(時延最大）。（證明見P12）譜分解定理其為常數(shù)，B(z)是有理函數(shù)，即，其中任何實平穩(wěn)隨機信號x(n)的有理功率譜Sx(z)都可唯一地表示成最小相位形式：都是最小相位多項式。例：某平穩(wěn)隨機信號x(n)的有理功率譜為試利用譜分解定理將其分解為最小相位形式。解：Re1j0z1z2p2p1p4p3Im于是，譜分解定理的推論任何平穩(wěn)隨機信號x(n)都可以看成由白噪聲序列激勵一個因果和穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)B(z)產(chǎn)生的輸出。平穩(wěn)隨機信號模型(白噪聲)N(z)、D(z)最小相位多項式實際上，白噪聲色噪聲白化濾波器例：已知一離散時間有色噪聲，其自功率譜為試設計一線性數(shù)字濾波器H(z)對其進行白化處理。解：系統(tǒng)框圖如下（零極點都在單位圓內）第二章現(xiàn)代信號處理基礎隨機矢量及其統(tǒng)計特性隨機信號的估計評價及估計方法隨機信號通過LTI系統(tǒng)相關抵消與正交分解譜分解定理信號模型參數(shù)與功率譜出發(fā)點：設所研究的時間序列是由u(n)激勵一個因果LTI系統(tǒng)H(z)所產(chǎn)生的輸出；若H(z)是穩(wěn)定的，則單位脈沖響應是確定性的，x(n)是平穩(wěn)的；若u(n)是確定的，則x(n)確定；反之，x(n)隨機。特別地，u(n)為白噪聲，根據(jù)不同的傳輸函數(shù)H(z)可對不同的時間序列建模；由已知的x(n)或其自相關函數(shù)Rx(n)來估計H(z)的參數(shù)由H(z)的參數(shù)來估計x(n)的功率譜。對一個研究對象建模是現(xiàn)代工程常用方法（精確的數(shù)學表達、模型靈活性）時間序列x(n)的參數(shù)模型：信號模型與系統(tǒng)模型的關系：信號模型不完全等同于系統(tǒng)模型，如FIR和IIR濾波器。信號模型的輸入輸出已知：激勵源為白噪聲，輸出為隨機序列；而系統(tǒng)模型的I/O具有多樣性。信號模型研究的目的是通過研究系統(tǒng)特性獲得信號的統(tǒng)計特性；系統(tǒng)模型的研究目的是獲取系統(tǒng)特征參數(shù)。系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性對應信號模型的平穩(wěn)性。同一序列可分別由不同階數(shù)和參數(shù)的AR、MA、ARMA模型描述。AR、MA、ARMA模型的階數(shù)和參數(shù)唯一確定時間序列的自相關函數(shù)和功率譜等統(tǒng)計特征。ARMA模型（零點—極點）ΣDDDD………Σ設輸入是零均值方差為的白噪聲序列，則輸出功率譜：若h(n)為實序列，則：于是，AR模型（全極點）ΣDDDD………MA模型(全零點)DDD…ΣWold分解定理：任何廣義平穩(wěn)隨機序列都可以分解為一個完全隨機部分和一個確定的部分。（注：所謂“確定性隨機序列是指能夠通過以前無限個取樣值完全加以預測的序列”。）Wold分解定理的推論：若隨機序列功率譜連續(xù)，則任何ARMA或AR序列可以用一個無限階的MA過程表示。任何ARMA或MA序列可以用一個無限階的AR序列表示。任何隨機時間序列可選擇ARMA、AR和MA模型中的一個進行建模。即使選擇了不合適的模型，但只要階數(shù)足夠高，仍可較好地逼近被建模的隨機過程。ARMA、AR與MA模型的關系

估計ARMA或MA模型參數(shù)需要解非線性方程組，相對復雜；估計AR模型參數(shù)只需解線性方程組，相對簡單，是研究重點。模型參數(shù)與功率譜基本思路：將模型參數(shù)與已知或估計的自相關函數(shù)聯(lián)系起來，構成求解模型參數(shù)的方程組，從而估計對應模型下時間序列的功率譜。Y-W方程的建立推導：對Sx(z)求z反變換來獲得Y-W方程；根據(jù)模型的差分方程求輸出時間序列x(n)的自相關函數(shù)。

由差分方程：有AR模型的Yule-Walker方程為求AR(p