上海高考數(shù)學知識點整理

高考臨近給你提個醒集合與簡易邏輯區(qū)分集合中元素的形式：函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集方程的根(零點)例1．集合，，則例2．集合，，例3．集合，集合，則2．研究集合必須注意集合元素的特征，即集合元素的三性：確定性、互異性、無序性。例4．已知集合，集合，且，則3．集合的性質：①任何一個集合都是它本身的子集，記為。②空集是任何集合的子集，記為。③空集是任何非空集合的真子集，記為。注意：若條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。例5．集合，如果，實數(shù)的取值范圍集合的運算：④、；、。⑤。⑥對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為：、、、。例6．滿足條件的集合共有個。4．研究集合之間的關系，當判斷不清時，建議通過“具體化”的思想進行研究。例7．已知，，則。5．補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。例8．設函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使，求實數(shù)的取值范圍6．命題是表達判斷的語句。判斷正確的叫做真命題；判斷錯誤的叫做假命題。①命題的四種形式及其內在聯(lián)系：原命題：如果，那么；逆命題：如果，那么；否命題：如果，那么；逆否命題：如果，那么；②等價命題：對于甲、乙兩個命題，如果從命題甲可以推出命題乙，同時從命題乙也可以推出命題甲，既“甲乙”，那么這樣的兩個命題叫做等價命題。③互為逆否命題一定是等價命題，但等價命題不一定是互為逆否命題。④當某個命題直接考慮有困難時，可通過它的逆否命題來考慮。例9．“”是“”的條件。⑤注意命題“如果，那么”的否定與它的否命題的區(qū)別：命題“如果，那么”的否定是“如果，那么”；否命題是“如果，那么”。*例10．“若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題是否定是7．常見結論的否定形式：原結論是都是一定或且大于小于否定形式不是不都是不一定且或不大于不小于原結論至少一個至多一個至少個至多個對所有都成立對任何不成立否定形式一個也沒有至少兩個至多個至少個存在某不成立存在某成立8．充要條件：條件結論推導關系判斷結果是的充分條件是的必要條件且是的充要條件在判斷“充要條件”的過程中，應注意步驟性：首先必須區(qū)分誰是條件、誰是結論，然后由推導關系判斷結果。不等式1．基本性質：（注意：不等式的運算強調加法運算與乘法運算）①且；②推論：ⅰ.；ⅱ.且；③；④推論：ⅰ.；ⅱ.且、同號；ⅱ.；ⅲ.；⑤，；⑥；2．解不等式：（解集必須寫成集合或區(qū)間的形式）①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解題步驟：ⅰ.分解因式找到零點；ⅱ.畫數(shù)軸標根畫波浪線；ⅲ.根據(jù)不等號，確定解集；注意點：ⅰ.分解因式所得到的每一個因式必須為x的一次式；ⅱ.每個因式中的系數(shù)必須為正。②絕對值不等式去絕對值：ⅰ.；ⅱ.；ⅲ.；ⅳ.或；ⅴ.；③冪、指、對不等式去掉冪、指、對符號解不等式：解對數(shù)不等式時，應注意些什么問題？（化成同底、利用單調性、注意同解變形）④解含參數(shù)的不等式時，定義域是前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵。而分類討論的關鍵在于“分界值”的確定以及注意解完之后要總結：綜上所述⑤對于不等式恒成立問題，常用“函數(shù)思想”、“分離變量思想”以及“圖象思想”。例1．已知不等式對一切恒成立，求的取值范圍3．基本不等式：①，則，當且僅當時，等號成立。，則，當且僅當時，等號成立。綜上，若，則，當且僅當時，等號成立。*②若，則，當且僅當時，等號成立。*③。例2．已知正數(shù)、滿足，則的取值范圍是例3．函數(shù)的最小值為例4．若，則的最小值是例5．正數(shù)、滿足，則的最小值為4．不等式的證明：①比較法：作差→因式分解或配方→與“”比較大小→②綜合法：由因導果。③分析法：執(zhí)果索因；基本步驟：要證即證即證。④反證法：正難則反。⑤最值法：，則恒成立；，則恒成立。函數(shù)1．九個基本函數(shù)必須熟練掌握：強調函數(shù)圖象和性質正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪、指、對函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。2．反函數(shù)：當且僅當函數(shù)是一一對應函數(shù)時才具有反函數(shù)。①求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？?。夥匠?，用表示；ⅱ．交換與，寫成反函數(shù)的形式；ⅲ．注明反函數(shù)的定義域。②你還記得反函數(shù)的四個性質嗎？?。Q性；；ⅱ．對稱性；ⅲ．單調一致性；ⅳ．還原性。例1．函數(shù)過點，則的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點③若原函數(shù)在定義域上單調，則一定存在反函數(shù)；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，則此函數(shù)不一定單調。你能寫出一個具體的函數(shù)嗎？例如：分段函數(shù)：或等。3．函數(shù)的要素：定義域、值域、對應法則①定義域：?。o出函數(shù)解析式，求函數(shù)的定義域（即求使函數(shù)解析式有意義的的范圍）(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；ⅱ．使實際問題有意義的自變量的范圍。例2．銳角中，則的值等于，的取值范圍為ⅲ．求復合函數(shù)的定義域：若的定義域為，則的定義域由不等式解出；若的定義域為，則的定義域相當于時的值域；例3．函數(shù)的定義域為例4．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為例5．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為②值域：函數(shù)的值域（或最值）有哪幾種常用解題方法？?。魏瘮?shù)型或可化為二次函數(shù)型；ⅱ．單調性；ⅲ．基本不等式；ⅳ．換元法；ⅴ．數(shù)形結合；例6．函數(shù)的值域為例7．設,,,成等差數(shù)列，,,,成等比數(shù)列，則的取值范圍是例8．函數(shù)的值域為例9．函數(shù)的值域為3．函數(shù)的基本性質：①奇偶性：?。x判斷奇偶性的步驟：⑴定義域是否關于原點對稱；⑵對于任意，判斷與的關系：若,也即為偶函數(shù)若,也即為奇函數(shù)ⅱ．圖象判斷奇偶性：函數(shù)圖象關于原點對稱奇函數(shù)；函數(shù)圖象關于軸對稱偶函數(shù)；ⅲ．判斷函數(shù)的奇偶性時，注意到定義域關于原點對稱了嗎？ⅳ．如果奇函數(shù)在處有定義，則。ⅴ.一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則該函數(shù)必為：(其中定義域關于原點對稱)ⅵ．如果兩個函數(shù)都是非零函數(shù)（定義域相交非空），則有：奇+奇奇；奇+偶非奇非偶；偶+偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶偶偶。②單調性：設任意,且,則無單調性減函數(shù)；增函數(shù)；在比較與大小時，常用“作差法”，比較與的大小。?。婧瘮?shù)的圖象在軸兩側的單調性一致；偶函數(shù)的圖象在軸兩側的單調性相反。ⅱ．互為反函數(shù)的單調性一致。ⅲ．增函數(shù)+增函數(shù)增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)減函數(shù)。ⅳ．復合函數(shù)單調性由“同增異減”判定。例10．函數(shù)的單調遞增區(qū)間為ⅵ．注意函數(shù)“單調性”、“奇偶性”的逆用（即如何體現(xiàn)函數(shù)的“奇偶性”、“單調性”）例11．已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍③最大值和最小值：參見函數(shù)的值域當取的中位數(shù)時，函數(shù)取最小值④函數(shù)的零點：對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，當時，，那么就把叫做函數(shù)的零點。注：零點是數(shù)；用二分法求零點的理論依據(jù)是：①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；②那么，一定存在，使得。（反之，未必）以下性質不是函數(shù)的基本性質⑤周期性：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得對于任意時，恒有成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做該函數(shù)的周期。?。我?，，則ⅱ．任意，，則ⅲ.任意,,則例12．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若、是銳角三角形的兩個內角，則與的大小關系為*ⅳ．若圖像有兩條對稱軸、（），則必是周期函數(shù)，且一周期為。*ⅴ．若圖像有兩個對稱中心、（），則是周期函數(shù)，且一周期為。*ⅵ．如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸（），則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為。例13．已知定義在上的函數(shù)是以為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有個實數(shù)根。⑥對稱性：?。c關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為。ⅱ．點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為。ⅲ．點關于原點的對稱點為；函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為ⅳ．兩函數(shù)與的圖像關于直線對稱。ⅴ．函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱。例14．二次函數(shù)滿足，且方程有等根，則例15．己知函數(shù)，若的圖像是，它關于直線對稱圖像是，關于原點對稱的圖像為，則對應的函數(shù)解析式是例16．函數(shù)與函數(shù)的圖象關于點對稱，則ⅵ．形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點，兩條漸近線分別為，。例17．已知函數(shù)圖象與：關于直線對稱，且圖象關于點對稱，則4．函數(shù)圖象變換：①平移變換：ⅰ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；②伸縮變換：ⅰ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；③對稱變換：?。瘮?shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅲ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅳ．函數(shù)的圖象函數(shù)圖象；ⅴ．函數(shù)的圖象函數(shù)圖象；例18．要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向_____平移個單位而得到。例19．將函數(shù)的圖象向右平移個單位后又向下平移個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么()(A)，；(B)，；(C)，；(D)，；5．常見的抽象函數(shù)模型：①正比例函數(shù)模型：┄┄┄。②冪函數(shù)模型：┄┄┄；。③指數(shù)函數(shù)模型：┄┄┄；。④對數(shù)函數(shù)模型：┄┄；。⑤三角函數(shù)模型：┄┄┄。6．三個二次（哪三個二次）的關系以及應用掌握了嗎？①在研究三個二次時，你注意到二次項系數(shù)非零了嗎？②如何利用二次函數(shù)來研究一元二次方程、一元二次不等式的問題。③一元二次函數(shù)的研究強調數(shù)形結合，那么數(shù)形結合該從哪些方面去研究？（開口、對稱軸、定義域以及偏移度）④特別提醒：二次方程的兩根即為不等式解集的端點值，也是二次函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標。7．研究函數(shù)問題準備好“數(shù)形結合”這個工具了嗎？8．研究函數(shù)的性質注意在定義域內進行了嗎？9．解對數(shù)函數(shù)問題時注意到真數(shù)以及底數(shù)的限制了嗎？10．指數(shù)運算法則：ⅰ.；ⅱ.；ⅲ.；11．對數(shù)運算法則：；；；；；三角1．三角比的定義你還記得嗎？2．三角公式你記住了嗎？①同角三角比的關系：商數(shù)關系、倒數(shù)關系、平方關系；②誘導公式：奇變偶不變，符號看象限。③你能用“小三角形”進行同角三角比的轉換嗎？3．三角化簡，強調哪兩點？①切、割化弦；②化繁為簡。4．三角條件求值你注意到兩個關系了嗎？（角的關系、名的關系）例如：；；例1．已知，，則例2．已知、為銳角，，，，則關于的函數(shù)關系為5．在三角中，你知道“”等于什么嗎？。6．重要公式：①；②③；④；例3．當函數(shù)取最大值時，7．你還記得在弧度制下弧長公式以及扇形的面積公式嗎？你注意到了扇形的弧長與周長的區(qū)別了嗎？（）弧長公式：；周長公式：；面積公式：；例4．已知扇形的周長是，該扇形的中心角是弧度，求該扇形的面積8．正弦定理、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？會用它們解斜三角形嗎？如何實現(xiàn)邊角互化？正弦定理：余弦定理：；；面積公式：；大邊對大角：；銳角中：若，則；鈍角中：若，則；直角中：若，則；例5．在中，若，則(注意幾解）在中，若，則（注意幾解）*9．三角形與向量綜合的有關結論：①在中，給出，是的外心；（外心：中垂線的交點）②在中，給出，是的重心；（重心：三邊中線的交點）③在中，給出，是的垂心；（垂心：高的交點）④在中，給出，所在直線經(jīng)過的內心；⑤在中，給出，等于已知是中邊的中線；例6．是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為例7．若為邊的中點，所在平面內一點，滿足，設，則例8．若是的外心，且，則角10．你能迅速畫出三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的圖象嗎？你知道三角函數(shù)線嗎？能寫出它們的單調區(qū)間及其取最值時的集合嗎？（別忘了）；能給出三角函數(shù)的對稱軸、對稱點嗎？11．會用五點法畫函數(shù)“”的草圖嗎？哪五點？會根據(jù)圖象求出參數(shù)、、、的值嗎？12．形如、的最小正周期會求嗎？有關函數(shù)周期的定義還記得嗎？周期函數(shù)有何性質？13．反三角的處理思想是什么？（回歸思想：①設、②化、③范圍，回到三角范圍求解）14．你能熟練的畫出反三角函數(shù)：、、的圖象嗎？并結合圖象，你能說明反三角函數(shù)的性質嗎？15．在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面要求：①先求出某一個三角函數(shù)值；②再判定角的范圍。16．三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“”了嗎？17．在用反三角表示直線的傾斜角、兩直線的夾角、異面直線所成角、線面角、二面角、向量夾角時，是否注意到它們的范圍？直線的傾斜角：；兩直線的夾角：；異面直線所成角：；線面角：；二面角：；向量夾角：；數(shù)列：1．數(shù)列的本質是什么？（定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)）。2．等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)有什么關系？等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)有什么關系？3．等差數(shù)列的求和公式有幾個？等比數(shù)列的求和公式應注意什么？4．設是數(shù)列的前項和，則“是等差數(shù)列”的充要條件是“，其中公差”。設是數(shù)列的前項和，則“是非常數(shù)等比數(shù)列”的充要條件是“，其中公比是”。5．常數(shù)列：是公差的等差數(shù)列；非零常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列必為非零常數(shù)列6．若是等差數(shù)列,則是等比數(shù)列（）；若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；7．對于等差、等比數(shù)列，你是否掌握了類比思想？8．等差數(shù)列、等比數(shù)列有哪些重要性質？你注意到它們的性質的關鍵在于下標以及結構特征了嗎？等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第二項起，后一項減前一項的差是同一個常數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列。1.從第二項起，后一項與前一項的比是同一非零常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列。1.通項公式前項和公式通項公式與前項和公式之間的關系：性質1．2.1．2.3．若，則：3．若，則：4.若是公差為的等差數(shù)列，則：是公差為的等差數(shù)列。4.若是公差為的等差數(shù)列，則：是公比為的等比數(shù)列。5.,分別是公差為，的等差數(shù)列，、是常數(shù)，則：是公差為的等差數(shù)列。5.,分別是公比為，的等比數(shù)列，、是非零常數(shù)，則：是公比為的等比數(shù)列；是公比為的等比數(shù)列。例1．已知是等比數(shù)列，且的前項和，則例2．在等比數(shù)列中，，，公比是整數(shù)，則9．無論是在等差數(shù)列還是在等比數(shù)列中，共有五個關鍵量：、、、、或，如果已知其中三個量，則可由及的公式，求出其余兩個量（知三求二）；10．求數(shù)列通項公式有哪幾種典型類型？①或型（定義等差或等比數(shù)列利用公式）②已知或型（累計求和或累計求積）③已知()型（等式左右兩邊同時減去）④已知和，求項，則：（是否注意到“”？）⑤利用迭代、遞推的方法⑥數(shù)學歸納法證明（用數(shù)學歸納法證明問題的關鍵是什么？是否具有從特殊到一般的思維模式）例3．數(shù)列滿足，，，，則例4．數(shù)列滿足，，，，則例5．數(shù)列滿足，，則例6．數(shù)列滿足，則11．求數(shù)列的最大、最小項的方法：注意點：由于是正整數(shù)，注意等號成立。①函數(shù)思想（特別是，利用數(shù)列的單調性）；②作差比較法：；③例7．數(shù)列的通項公式為，則的最大項為例8．的通項公式為，則的最大項為例9．的通項公式為，則的最大項為12．求數(shù)列前項和有哪幾種典型類型？①通過判斷“等差或等比數(shù)列”利用求和公式求解。②通過判斷“等差等比”型分組拆項求和。③通過判斷“等差等比”型錯位相減法。④通項或表達式為分式時，常用裂項相消求和法。常用裂項方法：⑤倒序相加法，或倒序相乘法，強調配對思想。⑥對于數(shù)表型問題，找規(guī)律，再操作。⑦對于奇偶項的不同，分類討論，分別求和。（注意項數(shù)、公差、公比的變化）例10．例11．函數(shù)，則13．你會根據(jù)數(shù)列項的關系來研究“數(shù)列和的最值”以及“數(shù)列積的最值”嗎？例12．等差數(shù)列中，，，問該數(shù)列中多少項和最大？并求此最大值。例13．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大正整數(shù)是14．數(shù)列換元應注意哪兩個原則？（最小下標原則以及下標一致原則）。15．極限有哪幾種典型類型？分別如何處理？①（c為常數(shù)）；②；③；④；⑤ 16．極限的運算性質有哪些？如果：，，則：①；②；③；④為有限數(shù)；注：極限的四則運算應滿足：項數(shù)有限且每一項都有極限18．？（）；若存在，則滿足什么條件？（或）上述與等比數(shù)列的公比有什么區(qū)別嗎？19．無窮等比數(shù)列的“各項和”就是“所有項和”，也就是數(shù)列和的極限。它的前提是等比數(shù)列的公比滿足：且，則各項和為。*20．存款單利問題：（零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型）若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：；分期付款復利問題：若貸款元，采用分期等額還貸款，從借款日算起，一期后為第一次還款日，如此下去，分次還清，如果每期利率為（按復利），那么每期等額還貸款元應滿足：；復數(shù)1．你還記得復數(shù)是怎樣定義的嗎？①虛數(shù)單位：四次一循環(huán)注：易知；；；②復數(shù)的代數(shù)形式：形如的數(shù)叫做復數(shù)，記為：。叫做復數(shù)的實部，記為：；叫做復數(shù)的虛部，記為：，注意：復數(shù)的虛部是一個實數(shù)。注：虛數(shù)不能比較大?。荒鼙容^大小的復數(shù)是實數(shù)③，，則稱、為共軛復數(shù)，記為：，或。注：實數(shù)的共軛復數(shù)就是本身，即④；是純虛數(shù)⑤數(shù)的分類：2．解復數(shù)問題的指導思想是什么？（根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題求解）設,,則（把復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題）3．復數(shù)的性質有哪些？①共軛的性質：ⅰ．；ⅱ．；ⅲ．；ⅳ．；②模的性質：?。虎ⅲ?；ⅲ．；ⅳ．；ⅴ．；ⅵ.③冪的運算法則：（注：n、m為整數(shù)）ⅰ．；ⅱ．；ⅲ．；ⅴ．；；ⅵ．；的本質：方程的三個根是1和，其中叫做立方虛根。的運算滿足三次一循環(huán)：；；（）4．你還記得實系數(shù)一元二次方程的求根公式嗎？“共軛虛根定理”的前提是什么，結論是什么？①實系數(shù)一元二次方程：ⅰ．當時有兩個實數(shù)根：；ⅱ．當時有一對共軛虛根：；②無論還是，韋達定理都成立：注意：（1）實系數(shù)一二次方程中，以下公式和定理適用：求根公式；利用判別式判斷根的情況與個數(shù)；韋達定理；共軛虛根定理（即虛根成對出現(xiàn)）（2）虛系數(shù)一元二次方程中：僅韋達定理可用；（3）已知是一元二次方程的兩根，則?。簦瑒t或ⅱ．若，則或矩陣1．矩陣：由個數(shù)（；）按順序排成的行、列矩形數(shù)表叫做矩陣，記為：，簡記為：，讀做：矩陣.2．元素：矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，記為。3．單位矩陣：主對角線上元素均為，其余元素均為的方矩陣，叫做單位矩陣，記為。例如：階單位矩陣：；階單位矩陣：。4．負矩陣：將矩陣中每一個元素變?yōu)槠湎喾磾?shù)，所得的矩陣稱為矩陣的負矩陣，記為：。5．零矩陣：所有的元素都為的矩陣，稱為零矩陣。6．相等矩陣：若兩個矩陣是同類型，即，，當且僅當它們對應位置的元素都相等，即時，則稱這兩個矩陣相等，記做：。7．矩陣的和（差）：兩個同類型矩陣、對應位置上的元素相加（減），設，所得到的矩陣稱為矩陣、的和，記做：。注：矩陣相等、矩陣加減運算，前提條件是兩矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同。矩陣加法運算律：①交換律：②結合律：；8．數(shù)與矩陣相乘：設為任意實數(shù)，將矩陣的所有元素都與相乘得到的矩陣叫做矩陣與實數(shù)的乘積矩陣，記作：。注：實數(shù)與矩陣的乘法運算律：如果、是兩個同類矩陣，、是任意實數(shù)，那么：①實數(shù)關于矩陣加法的分配律：；②矩陣關于實數(shù)加法的分配律：；③實數(shù)關于實數(shù)與矩陣乘法的結合律：；9．矩陣的乘積：當且僅當矩陣的列數(shù)與矩陣的行數(shù)相等時，定義矩陣的任意一個元素，則稱矩陣是矩陣與矩陣的乘積，記作：。注：兩個矩陣進行乘法運算，必須是左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)，其核心為：“左行乘右列”。矩陣變換:要“左乘”變換矩陣①兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣；②若，一般不能推出或者；③若，即使是非零矩陣，也不一定有；④矩陣乘法不滿足交換律，即與一般不相等。行列式1．二階行列式：，其展開式為：。2．設二元一次方程組：，其中、、、是未知數(shù)、的系數(shù)，且不全為零，、是常數(shù)項，設，，，則方程組可整理為：ⅰ、當時，方程組有唯一解：；ⅱ、當，且、不全為零時，方程組無解；ⅲ、當時，方程組有無窮多組解。注意：利用三階行列式解線性方程組時：方程組有唯一解；方程組有無窮解或無解（只需知道即可）3．把九個數(shù)排成三行三列的方陣稱為三階行列式，記做：，按行列展開為：。①余子式：把三階行列式中某元素所在的行和列劃去后所得的二階行列式叫做該元素的余子式，記做：（本質：還是行列式）。②代數(shù)余子式：把某元素的余子式添上相應的符號，得到，叫做該元素的代數(shù)余子式。例如：的余子式為：；代數(shù)余子式為；③三階行列式可以按任意一行展開成該行元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和；三階行列式可以按任意一列展開成該列元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和；例如：；；4．在平面直角坐標系中，點、、的坐標分別為、、，則的面積公式。向量1．向量的本質是什么？①即有大小又有方向的量；②向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！2．向量的性質有哪些？①相等向量：大小相等，方向相同的兩個向量叫做相等向量，記為：（與起點，終點的位置無關）；②互為負向量：大小相等，方向相反的兩個向量叫做互為負向量。的負向量：；；③平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量。（平行向量與大小無關）若，都是非零向量，則()；（向量平行即共線）④零向量：大小為零的向量叫做零向量，記為：。（零向量方向任意）注：0，，//任意向量，任意向量；⑤單位向量：大小為“”的向量叫做單位向量。單位向量方向不確定；單位向量不唯一；單位向量之間不一定相等；若是非零向量的單位向量，則：；⑥位置向量：起點在原點的向量叫做位置向量位置向量與向量終點一一對應位置向量的向量坐標與終點的點坐標一一對應⑦判斷向量垂直的依據(jù)：⑧判斷向量平行的依據(jù)：（非零向量）方法一：存在常數(shù)，使得且時，與同向；時，與反向。方法二：。⑨向量在向量方向上的投影：。（投影有正負）3．你掌握了“數(shù)與向量相乘”，“向量的數(shù)量積”的運算了嗎？①數(shù)與向量乘積：=（結果為向量）注：若，則或。運算律：當、時，ⅰ、；ⅱ、；ⅲ、；②向量的數(shù)量積：（結果為實數(shù)）性質：①②③④⑤⑥③向量的夾角：（注意起點重合），④向量的運算與實數(shù)運算有區(qū)別：等式兩邊能同時約去一個向量嗎？；向量滿足的乘法結合律嗎？（即）。切記向量不能相除。4．線段的定比分點公式記住了嗎？的取值與定比分點和的位置有何關系？ⅰ、中點公式以及重心公式你還記得嗎？ⅱ、在利用定比分點解題時，你注意到了嗎？5．平面向量分解定理：如果、是同一平面內的兩個不平行的向量，那么對于這個平面內的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，滿足。6．函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系！例1．按向量把點平移到，則按向量把點平移到點例2．函數(shù)的圖象按向量平移，得到函數(shù)的解析式是，則7．向量坐標：平面向量空間向量(理)若；則：若；則：若，則：若，則：若非零向量；非零向量；則：；非零向量；非零向量；則：零向量：零向量：若，則與同方向的單位向量為：若，則與同方向的單位向量為：若,則與的夾角的余弦為：若,則與的夾角的余弦為：已知：，，，且，則，中點：重心：已知：，，，且，則中點：重心：（理）8．空間向量在立體幾何中的應用①異面兩條直線、所成的角：。②空間直線與平面所成線面角的大?。海ó斨本€與平面相交且不垂直時）設與所成的線面角為，直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則。③二面角：設二面角的兩個半平面所在的平面、的法向量分別為、，二面角的大小為，則，且的范圍由圖象確定。④設為平面外一點，是點在平面上的射影，設為平面內任意一點，為平面的一個非零法向量，則點到平面的距離為。⑤直線的方向向量是，平面的法向量是，則平面的法向量是，平面的方向量是，則立體幾何1．立體幾何的三個公理及其推論你還記得嗎？你能畫出圖形并寫成數(shù)學語言嗎？公理（一）：如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內。公理（二）：如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面有且只有一條經(jīng)過該點的公共直線。公理（三）：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理（四）：平行于同一直線的兩條直線互相平行。2．立體幾何中的判定定理、性質定理你了解嗎？3．線、線關系：①證明兩直線是異面直線思想方法：反證法；②異面直線所成角的范圍：；③異面直線所成角的求解思想方法：ⅰ.平移相交放入三角形中利用余弦定理求解；（理）ⅱ.建立空間直角坐標系利用向量夾角公式加以求解。例1．正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成角的余弦值為例2．在正方體中，是側棱的中點，是底面的中心，是棱上的一點，則與所成角的大小為4．線、面關系：①直線與它在平面內的射影所成的角叫做“線面角”；②線面角的取值范圍：；③線面角的求解思想：關鍵找出線在平面內的射影。例3．在正三棱柱中，已知，在上，，則與平面所成的角為5．面、面關系：①由一條直線和這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；②二面角的取值范圍：；③二面角的求解思想：ⅰ.找出或作出二面角（關鍵要找到面的垂線）ⅱ.建立坐標系，用向量求解。例4．正四棱柱中，對角線，且與側面所成角為，則二面角的大小為例5．從點出發(fā)引三條射線、、，每兩條的夾角都是，則二面角的余弦值為6．常見的多面體有哪些？（請試著自己畫出它們的圖像）①正三棱錐：底面是正三角形；頂點在底面上的射影是底面的中心。②正四面體：所有的棱都相等，所有的面都是正三角形；側棱與底面所成角的大小為：；側面與底面所成角的大小為：；每組對邊所成角的大小為：。③正四棱錐：底面是正方形，側面是等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面的中心。④正六棱錐：底面是正六邊形，側面是等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面的中心。⑤平行六面體：所有的面都是平行四邊形。⑥正四棱柱：底面是正方形；側棱垂直底面。⑦正方體：所有的面都是正方形。⑧長方體：所有的面都是矩形；長方體的體對角線的平方等于經(jīng)過同一頂點的三條棱的平方和，即：；如果長方體的一條體對角線與經(jīng)過同一頂點的三條棱所成的角分別為：、、，則：.⑨圓柱：將矩形（及其內部）繞其一條邊所在直線旋轉一周,所形成的幾何體叫做圓柱。⑩圓錐：將直角三角形（及其內部）繞其一條直角邊所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做圓錐。圓錐過頂點的截面是一個等腰三角形，當這個截面同時過圓錐的軸時，截面就成了軸截面。在所有過圓錐頂點的截面中，面積最大的不一定是軸截面，設圓錐的母線是，軸截面的頂角為，截面等腰三角形的頂角為，，則截面面積為，當時，面積最大的截面就是軸截面，最大截面面積為：；當時,面積最大的截面不是軸截面,而是過頂點且頂角為的截面,最大截面面積為。7．錐體的體積公式不要忘了系數(shù)“”；柱體的體積公式為底面積乘以高，不可以乘。8．注意區(qū)分表面積與側面積。9．球：將圓心為的半圓（及其內部）繞其直徑所在的直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做球。記做：球。已知球的半徑為，則球的表面積為：；球的體積為。經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓。緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓。經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。球面距離：在聯(lián)結球面上兩點的路徑中，通過該兩點的大圓劣弧最短，該弧的長度稱為球面上兩點間的球面距離。10．球面上兩點、間距離的求法：①計算線段的長；②計算球心角的弧度數(shù)；③用弧長公式計算劣弧的長。直線1．直線的傾斜角與斜率的關系：，當傾斜角時，的正切值叫做這條直線的斜率，即斜率；當傾斜角時，稱該直線的斜率不存在；對于每一條直線而言，都有傾斜角，但不一定都有斜率。①直線水平方向；②直線一、三象限方向傾斜；③；直線二、四象限方向傾斜④斜率不存在直線豎直方向；2．直線的斜率公式、點到直線的距離公式、直線到直線所成角公式、夾角公式記住了嗎？①設直線的方向向量，斜率，直線上任意兩點、，當即時，；當即時，斜率不存在；②設直角平面坐標系中，兩直線的方程分別為：則的一個方向向量為，的一個方向向量為，設與的夾角為，則，，③點到直線：（、不全為零）的距離為：④兩平行直線:；:（、不全為零）則這兩平行直線間的距離為：⑤設，則在直線同側的所有點，同號；在直線異側的所有點，異號；在直線上的所有點，。幾種直線方程間的關系：（在用“點斜式”、“斜截式”求直線方程時,你是否注意到斜率不存在的情況？）類型直線方程方向向量法向量斜率點方向式點法向式點斜式斜截式一般式4．如何判斷兩直線位置關系？（在坐標平面上，兩直線的位置關系有：相交、平行、重合）①設直角平面坐標系中，兩直線的方程分別為：，，，當即時與相交；當即時若或方程組無解與平行；若方程組有無數(shù)組解與重合。例1．“”是“兩直線相交”的條件;“”是“兩直線平行”的條件②設直角平面坐標系中，兩直線的方程分別為：則的一個方向向量為，的一個方向向量為，當時與平行或重合；當與不平行時與相交；當時與垂直；例2．“”是“直線與平行”的條件。③已知直線、的斜率分別為：、，在軸上的截距分別為、，即直線、的斜截式方程分別為：；：；則當時與相交；當時與平行；當時與重合；當時與垂直；例3．“”是“”的條件；“”是“”的條件；例4．已知直線：，直線：，求當為何值時，與相交、平行、重合。例5．直線到點，點的距離相等，且過和的交點，求直線的方程。例6．已知直線：與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是圓錐曲線1．圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓，①你知道圓的方程的標準形式、一般形式嗎？你會互化嗎？②二元二次方程：為圓的充要條件是：；2．你會判斷點和圓、直線和圓、圓和圓之間的位置關系嗎？4．圓的切線：已知點①點在圓：上，則過點的圓的切線方程為：②點在圓外，則過點的圓的切線方程可以這樣求解：先設切線方程為：（注意斜率是否存在）；再利用圓心到直線的距離等于半徑切線方程。6．你知道圓的參數(shù)方程嗎？7．解決直線與圓的關系問題時，特別強調“垂徑定理”。2．橢圓：平面內到兩個定點、的距離之和等于定值（）的點的軌跡。數(shù)形結合基本概念：長軸長；短軸長；焦距：焦距，（、）；雙曲線：平面內到兩個定點、的距離之差的絕對值等于定值的點的軌跡叫做雙曲線。數(shù)形結合基本概念：實軸長；虛軸長；焦距，（、）；4．拋物線：平面內到一個定點以及一條定直線距離相等的點的軌跡叫做拋物線。（定點在定直線外）定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線，定點到準線的距離叫焦準距，記作p5．如何判斷直線與圓錐曲線的位置關系？6．用直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立求解時，在得到的方程中你注意到“最高次項系數(shù)是否為零”以及“”了嗎？圓錐曲線本身的范圍你注意到了嗎？7．你會求弦長嗎？。拋物線的焦點弦長：（焦點在x軸上）（焦點在y軸上）7．你知道“近日點”、“遠日點”的概念嗎？你知道圓錐曲線上的點到焦點的距離的取值范圍嗎？8．你會利用圓錐曲線的對稱性設點、設直線、解題嗎？9．求軌跡與求軌跡方程是有區(qū)別的，求軌跡方程可別忘了尋求范圍呀?、僦苯臃ǎ褐苯咏ⅰ⒅g的關系，得到軌跡方程；②待定系數(shù)法：根據(jù)條件設所求曲線的方程，再由條件確定其待定的系數(shù)；③代入法：相關點代入求動點軌跡方程；④定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出軌跡方程；（理）⑤參數(shù)法：將動點的坐標、均用某一中間量（參數(shù)）表示，得到參數(shù)方程，再削去參數(shù)得到普通方程。10．解析幾何與向量綜合的有關結論：①給出直線的方向向量，則直線的斜率；②給出與相交，相當于已知過的中點；③給出，相當于已知是的中點；④給出以下情形之一：ⅰ、；ⅱ、存在實數(shù)，使；ⅲ、若存在實數(shù)、，且，使。相當于已知，，三點共線；⑤給出，相當于已知是的定比分點，即；⑥；是銳角；是鈍角⑦平行四邊形中，，相當于已知是菱形；⑧平行四邊形中，給出，相當于已知是矩形；（理）11．將參數(shù)方程化為普通方程時，你注意到參數(shù)的范圍了嗎？（理）12．極坐標問題的處理思想：ⅰ、圖形思想；ⅱ、化歸思想；有序數(shù)對，叫做點的極坐標（必須是弧度制）；,,排列、組合1．排列有序、組合無序；分類為加、分步為乘3．排列數(shù)、組合數(shù)計算公式你還記得嗎？組合數(shù)的性質你知道嗎？①排列數(shù)公式：②組合數(shù)公式：③；；；；；；4．解排列組合問題的依據(jù)：分類相加；分步相乘；有序排列；無序組合。5．解排列組合的基本方法：枚舉法、捆綁法、插入法、排除法；6．解排列組合的基本思想：先選后排。7．解排列組合問題的注意點：①必須先確定類型，然后才能進行計算；②特殊元素、特殊位置要優(yōu)先考慮；例1．將封信投入個郵筒，則不同的投法共有種。例2．在平面直角坐標系中，由六個點，，，，，，可以確定三角形的個數(shù)為例3．設的一邊上有個點，另一邊上有個點，連同的頂點共有個點，以這些點為頂點，可以構成個三角形。例4．某人射擊槍，命中槍，槍命中中恰好有槍連在一起的不同種數(shù)為例5．已知人坐在一排個座位上，若每人的左右兩邊都有空位，則不同的坐法有種。例6．現(xiàn)有某種產(chǎn)品只，其中只為次品，只為正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是二項式定理1．公式：nN等號右邊的表達式叫做二項展開式，共項；通項公式：;其中：叫做二項式系數(shù)；2．二項式系數(shù)的性質：①在二項展開式中，與首、尾“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即：；②在二項展開式中，所有的二項式系數(shù)之和等于：，即：；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和等于：，即：；3．在二項展開式中：①當為偶數(shù)時共有項第項的二項式系數(shù)最大，即；②當為奇數(shù)時共有項第項和第項的二項式系數(shù)最大，即，；4．注意點：①注意二項式系數(shù)、項的系數(shù)、以及項與項之間的聯(lián)系與區(qū)別；②在二項展開式的化簡計算中，注意特殊值的選??；5．二項式問題有哪幾類？分別該如何計算？6．設，則展開式的各項系數(shù)和為；奇數(shù)項系數(shù)和偶次冪系數(shù)和；偶數(shù)項系數(shù)和奇次冪系數(shù)和。7．你會求展開式中的系數(shù)最大（?。┑捻梿?？統(tǒng)計初步1．在統(tǒng)計中,考察對象的全體叫做總體,總體中的每一個考察對象叫做個體。①已知一組數(shù)據(jù)：，則：總體平均數(shù)：；總體方差：；總體標準差：，也即方差的算術平方根；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)由小到大（或由大到?。┮来闻帕校敒槠鏀?shù)時，位于該數(shù)列正當中位置的數(shù)就是中位數(shù)；當為偶數(shù)時，位于該數(shù)列正當中位置的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)；（位于“中位數(shù)”兩側的數(shù)據(jù)個數(shù)相等）②已知有兩組數(shù)據(jù)：與：之間存在關系：（且、為非零常數(shù)），ⅰ、若的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為：；ⅱ、若的方差為，則的方差為：；ⅲ、若的標準差為，則的標準差為：||；③方差和標準差用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小，數(shù)據(jù)方差和標準差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大；④中位數(shù)用來衡量一組數(shù)據(jù)的中等水平；⑤平均數(shù)用來衡量一組數(shù)據(jù)的平均水平；⑥出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù)；例1．已知數(shù)據(jù),,,,的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)為；標準差為2．從總體中取出一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中包含個體的個數(shù)叫做樣本的容量。例2．某中學高一學生人，高二學生人，高三學生人，通過分層抽樣抽取一個容量為的樣本，若每個學生被抽到的概率為，則（1）科學的抽樣方法必須使樣本具有代表性。樣本的代表性指選取的樣本能客觀地反映總體的情況，沒有人為的主觀偏向。（樣本的代表性是科學抽樣的基本要求）。（2）常用的抽樣方法有如下三種：隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣（你知道它們的區(qū)別嗎？）例3：將參加夏令營的600名學生編號為001，002，…，600。采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003。這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300住在第Ⅰ營區(qū)，從301到495住在第Ⅱ營區(qū)，從496到600住在第Ⅲ營區(qū)。三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（）（A）26,16,8(B)25,17,8(C)25,16,9(D)24,17,93．用樣本的平均值作為總體平均值的點估計值；用樣本的標準差作為總體標準差的點估計值。例4．某校高一年級名學生參加某次數(shù)學聯(lián)考，隨機抽取其中名學生的聯(lián)考，數(shù)學成績如下表，則該高一學生數(shù)學聯(lián)考成績標準差的點估計值=（精確到）學生成績概率1．隨機事件的概率,當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件。2．等可能事件的概率（古典概率）：。例1．設件產(chǎn)品中有件次品，件正品，求下列事件的概率：①從中任取件都是次品；②從中任取件恰有件次品；③從中有放回地任取件至少有件次品；④從中依次取件恰有件次品；互斥事件(不可能同時發(fā)生的事件)：；一般情況下：；例2．有、兩個口袋，袋中有個白球和個黑球，袋中有個白球和個黑球，從、袋中各取兩個球交換后，求袋中仍裝有個白球的概率。4．對立事件(、不可能同時發(fā)生，但、中必然有一發(fā)生)：。兩互斥事件不一定是對立事件，而對立事件一定是互斥事件。（理）5．獨立事件(事件、的發(fā)生互不影響)：。例3．設兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率例4．某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得分、分、分，答錯得分，假設這位同學答對第一、二、三個問題的概率分別為、、，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學得分的概率為這名同學至少得分的概率為例5．有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是例6．冰箱中有甲、乙兩種飲料各瓶，每次從中任取瓶甲種或乙種飲料，取甲種或乙種的概率相等，則甲種飲料飲用完時乙種飲料還剩下瓶的概率為（理）6．數(shù)學期望：隨機變量為，，┅，時對應的概率分別為，，┅，，則叫做隨機變量的數(shù)學期望，記作：。①本