6-5 二項(xiàng)式定理（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

6.5二項(xiàng)式定理（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一指定項(xiàng)系數(shù)【例1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為，由，得r＝2，此時(shí)即的展開(kāi)式中的系數(shù)為40故選：C【例1-2】（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．480 B． C．240 D．260【答案】C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；故選：C【例1-3】（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的第項(xiàng)為.又展開(kāi)式中的系數(shù)是84，即.所以，解得故選：B.【例1-4】（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【解析】因?yàn)槎?xiàng)式為，所以其展開(kāi)式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：，，，，，.故選：B【例1-5】（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））二項(xiàng)式展開(kāi)式中，有理項(xiàng)共有（

）項(xiàng)．A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式中，通項(xiàng)為，其中，的取值只需滿足，則，即有理項(xiàng)共有7項(xiàng)，故選：D.【一隅三反】1．（2022·北京昌平·高三期末）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的通項(xiàng)為，令，即，，故選：D.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．-448 B．-112 C．112 D．448【答案】C【解析】，.故選：C.3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，其中是無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，，時(shí)為有理項(xiàng)共6項(xiàng)，故無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有故選：D.4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，則___________．【答案】【解析】的展開(kāi)式中的第項(xiàng)為：，令，則，解得，即；故答案為：考點(diǎn)二二項(xiàng)式相乘的系數(shù)【例2】（2022·四川省瀘縣第一中學(xué)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為15.故選：B【一隅三反】1．（2022·江蘇·常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．25 C． D．5【答案】A【解析】∵的展開(kāi)式為，令，得，則，令，得，則，令，得，∴的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A．2．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．80 B．24 C． D．【答案】A【解析】依題意，，顯然展開(kāi)式中沒(méi)有項(xiàng)，展開(kāi)式的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為80.故選：A3．（2022·天津河西·三模）的展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________.【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，得，；令，得，，則的展開(kāi)式中的系數(shù)是．故答案為：考點(diǎn)三三項(xiàng)式的系數(shù)【例3-1】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．400 B．480 C．720 D．800【答案】D【解析】，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)為，其中，，且、，令，可得或或，因此的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：D.【例3-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為35，則正數(shù)（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】因?yàn)檎归_(kāi)式為：，即，所以，，，所以含的系數(shù)為，又為正數(shù)，所以.故選：B.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】可看作5個(gè)因式相乘，所以其展開(kāi)式中含的項(xiàng)為4個(gè)因式取，2個(gè)因式取，所以展開(kāi)式中含的系數(shù)為．故選：D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.3．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））的展開(kāi)式中的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】展開(kāi)式通項(xiàng)為：；展開(kāi)式通項(xiàng)為：；則當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為；的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.考點(diǎn)四系數(shù)和【例4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187.【解析】解：令則①；令則②；令則③；（1）②-①得：；（2）(②-③)得：；（3）(②+③)得：；（4）由展開(kāi)式可知均為負(fù)值，均為正值，則.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在(2x－3y)10的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為【解析】(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為.(2)令x＝y(tǒng)＝1，各項(xiàng)系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.(4)設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；①－②得：，∴偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在的展開(kāi)式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.【答案】（1）；（2）1；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，的偶次項(xiàng)系數(shù)和為【解析】設(shè)，各項(xiàng)系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)