20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講講明不等式基本方法三反證法與放縮法講義含解析新人教A版

三反證法與放縮法1．反證法反證法證明的定義：先假定要證明的命題不建立，以此為出發(fā)點(diǎn)，聯(lián)合已知條件，應(yīng)用公義、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，獲得和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、顯然建立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假定不建立，進(jìn)而證明原命題建立．反證法證明不等式的一般步驟：①假定命題不建立；②依照假定推理論證；③推出矛盾以說明假定不建立，進(jìn)而判定原命題建立．2．放縮法放縮法證明的定義：證明不等式時(shí)，往常把不等式中的某些部分的值放大或減小，簡化不等式，進(jìn)而達(dá)到證明的目的．放縮法的理論依照有：①不等式的傳達(dá)性；②等量加不等量為不等量；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．利用反證法證明問題[例1]已知f(x)＝x2＋px＋q.求證：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中起碼有一個(gè)不小于12.[思路點(diǎn)撥]“起碼有一個(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”．[證明](1)f(1)＋f(3)－2f(2)(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假定|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|1都小于2，則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|1中起碼有一個(gè)不小于.2反證法合用范圍：凡波及不等式為否認(rèn)性命題，獨(dú)一性命題、存在性命題可考慮反證法．如證明中含“至多”“起碼”“不可以”等詞語的不等式．注意事項(xiàng)：在對(duì)原命題進(jìn)行否認(rèn)時(shí)，應(yīng)全面、正確，不可以遺漏狀況，反證法表現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時(shí)要靈巧應(yīng)用．1．實(shí)數(shù)，，c不全為0的等價(jià)條件為( )abA．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中起碼有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中起碼有一個(gè)不為0分析：選D“不全為0”是對(duì)“全為0”的否認(rèn)，與其等價(jià)的是“起碼有一個(gè)不為0”．2．設(shè)a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)這四個(gè)數(shù)不行能都大于1.證明：假定4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，4d(1－a)>1，11則有a(1－b)>4，b(1－c)>4，11c(1－d)>4，d(1－a)>4.∴(1－)>1，(1－c)>1，ab2b211c(1－d)>2，d(1－a)>2.又∵(1－)≤a＋(1－b)，b(1－c)≤b＋(1－c)，ab22c＋(1－d)d＋(1－a)c(1－d)≤2，d(1－a)≤2，a＋1－b1b＋1－c1∴2>2，2>2，c＋1－d1d＋1－a12>2，2>2.將上邊各式相加得2>2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)這四個(gè)數(shù)不行能都大于1.3．已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－a)，求證：a<b.證明：假定a<b不建立，則a＝b或a>b.當(dāng)a＝b時(shí)，－a＝－b則有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)f(－a)與已知矛盾．當(dāng)a>b時(shí)，－a<－b，由函數(shù)y＝f(x)的單一性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)與已知矛盾．故假定不建立．故a<b.利用放縮法證明不等式[例2]已知實(shí)數(shù)x，y，z不全為零．求證：2222223x＋xy＋y＋y＋yz＋z＋z＋zx＋x>2(x＋y＋z)．[思路點(diǎn)撥]解答此題可對(duì)根號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行配方后再用放縮法證明．[證明]x2＋xy＋y2＝x＋y2＋3y224y2yy≥x＋2＝x＋2≥x＋2.同理可得y2＋yz＋z2≥y＋z，222xz＋zx＋x≥z＋，因?yàn)閤，y，z不全為零，故上述三式中起碼有一式取不到等號(hào)，因此三式相加得：222222yzx3x＋xy＋y＋y＋yz＋z＋z＋zx＋x>x＋2＋y＋2＋z＋2＝2(x＋y＋z)．(1)利用放縮法證明不等式，要依據(jù)不等式兩頭的特色及已知條件(條件不等式)，謹(jǐn)慎地采納舉措，進(jìn)行適合地放縮，任何不適合的放縮都會(huì)致使推證的失?。囟ㄒ炝?xí)放縮法的詳細(xì)舉措及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采納舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或許在分式中放大或減小分子、分母，或許把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù)，進(jìn)而達(dá)到證明不等式的目的．4．已知a，b是正實(shí)數(shù)，且a＋b＝1，求證：113a＋1＋b＋1<2.證明：因?yàn)?＋1<1＋b＋1＋aa＋1＋1＋1＋b＋1＋ababa＋b＋23＝a＋b＋1＝2，因此原不等式得證．5．已知∈N＋，求證：1×3＋3×5＋＋(2－1)(2n＋1)<n＋12.nn2證明：因?yàn)?＋343＋581×3<＝，3×5<＝，，2222(2n－1)＋(2n＋1)4n(2n－1)(2n＋1)<2＝2，因此1×3＋3×5＋＋4＋8＋＋4n2(2n－1)(2n＋1)<＝n＋n，2又因?yàn)閚2＋n<n＋12，2因此原不等式得證．1．假如兩個(gè)正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)( )A．兩個(gè)都是偶數(shù)B．一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)C．起碼一個(gè)是偶數(shù)D．恰有一個(gè)是偶數(shù)分析：選C假定這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，因此這兩個(gè)數(shù)起碼一個(gè)為偶數(shù)．2．設(shè)x＞0，＞0，＝x＋y，＝x＋y，則，的大小關(guān)系為( )yM2＋x＋yN2＋x2＋yMNA．M＞NB．M＜NC．＝D．不確立MN分析：選B＝x＋y＞x＋y＝x＋y＝.N2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋yM3.否認(rèn)“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)為偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為( )A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中起碼有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中起碼有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)分析：選D三個(gè)自然數(shù)的奇偶狀況有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4種，而自然數(shù)a，，c中恰有一個(gè)為偶數(shù)包括“二奇一偶”的狀況，故反面的狀況有3種，只有Db項(xiàng)切合．4．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋1，b＋1，c＋1的值()bcaA．都不大于－2B．都不小于－2C．起碼有一個(gè)不大于－2D．起碼有一個(gè)不小于－2分析：選C假定都大于－2，111則a＋b＋b＋c＋c＋a>－6，∵a，b，c均小于0，111∴a＋a≤－2，b＋b≤－2，c＋c≤－2，111∴a＋a＋b＋b＋c＋c≤－6，這與假定矛盾，則選C.11115．M＝210＋210＋1＋210＋2＋＋211－1與1的大小關(guān)系為________．1111分析：M＝210＋210＋1＋210＋2＋＋211－11111210＋210＋1＋210＋2＋＋210＋(210－1)1111<210＋210＋210＋＋210＝1，即M<1.共210項(xiàng)答案：M<16．用反證法證明“已知平面上有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，此中隨意兩點(diǎn)的距離最大為d，距離為d的兩點(diǎn)間的線段稱為這組點(diǎn)的直徑，求證直徑的數(shù)量最多為n條”時(shí)，假定的內(nèi)容為____________．分析：對(duì)“至多”的否認(rèn)應(yīng)當(dāng)是“起碼”，兩者之間應(yīng)當(dāng)是完整對(duì)應(yīng)的，因此此題中的假定應(yīng)為“直徑的數(shù)量起碼為＋1條”．n答案：直徑的數(shù)量起碼為n＋1條7．A＝1＋111n(n∈N)的大小關(guān)系是________．＋＋＋與23n＋分析：A＝1111111n＋＋＋＋≥＋＋＋＝n123nnnnn項(xiàng)＝n.答案：≥nA8．實(shí)數(shù)a，b，c，d知足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中起碼有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明：假定a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)．由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]．＋＋d進(jìn)而ac≤ac≤2，bd≤bd≤2.∴ac＋a＋c＋b＋dac＋≤1.≤＝1.即2與已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中起碼有一個(gè)是負(fù)數(shù)．9．求證：12＋12＋12＋＋12<2.123n1111證明：因?yàn)閚2<n(n－1)＝n－1－n，1111因此12＋22＋32＋＋n2111<1＋1×2＋2×3＋＋(n－1)n11111＝1＋1－2＋2－3＋＋n－1－n1＝2－n<2.10．已知α，β∈0，πα＋β)＝2sinα.求證α<β.2，且sin(證明：假定α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sinα，得sin2α＝2sinα，進(jìn)而cosα＝1，這與α∈0，π2矛盾，故α＝β不建