導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的資料

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的資料第1頁(yè)/共69頁(yè)考綱點(diǎn)擊特別關(guān)注第2頁(yè)/共69頁(yè)第3頁(yè)/共69頁(yè)第4頁(yè)/共69頁(yè)基礎(chǔ)盤(pán)點(diǎn)警示提醒第5頁(yè)/共69頁(yè)第6頁(yè)/共69頁(yè)第7頁(yè)/共69頁(yè)第8頁(yè)/共69頁(yè)第9頁(yè)/共69頁(yè)第10頁(yè)/共69頁(yè)第11頁(yè)/共69頁(yè)1.已知函數(shù)f(x)＝sinx＋lnx，則f′(1)的值為()(A)1-cos1(B)1＋cos1(C)cos1-1(D)-1-cos1【解析】選B.因?yàn)閒′(x)＝cosx+，則f′(1)＝cos1＋1.第12頁(yè)/共69頁(yè)2.已知f(x)=x2+3xf′(2),則f′(2)=()(A)-2(B)2(C)3(D)-3【解析】選A.f′(x)=2x+3f′(2),∴f′(2)=2×2+3f′(2),∴f′(2)=-2.故選A.第13頁(yè)/共69頁(yè)3.曲線y＝在點(diǎn)T(1，)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()(A)(B)(C)(D)【解析】選D.易知點(diǎn)T為切點(diǎn)，由f′(1)＝2，知切線方程為：y＝2x-，其在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為，-，故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S＝第14頁(yè)/共69頁(yè)4.設(shè)函數(shù)f(x)=+tanθ,其中θ∈［0,］，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是()(A)［-2,2］(B)［,］(C)［,2］(D)［,2］第15頁(yè)/共69頁(yè)【解析】第16頁(yè)/共69頁(yè)5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝，則y′=_______；(2)y＝，則y′=______；(3)y＝tanx，則y′=______;(4)y=xe1-cosx，則y′=_______.第17頁(yè)/共69頁(yè)【解析】第18頁(yè)/共69頁(yè)答案：第19頁(yè)/共69頁(yè)第20頁(yè)/共69頁(yè)第21頁(yè)/共69頁(yè)考向聚焦典例剖析第22頁(yè)/共69頁(yè)合作探究完成三個(gè)例題并完成以下要求：1、一組展示例1，三組點(diǎn)評(píng)。2、五組完成例2，二組點(diǎn)評(píng)。3、四組完成例3，六組點(diǎn)評(píng)。要求時(shí)間限制在10---15分鐘以內(nèi)！第23頁(yè)/共69頁(yè)1

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】求函數(shù)y=在x＝1處的導(dǎo)數(shù).【審題指導(dǎo)】解決本題的關(guān)鍵是正確的求出Δy，，然后求出極限即可，需要嚴(yán)格按照定義來(lái)求解.第24頁(yè)/共69頁(yè)【自主解答】第25頁(yè)/共69頁(yè)【規(guī)律方法】1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)的基本方法.確定y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一是導(dǎo)數(shù)定義法，二是導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法.2.求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的求解步驟第26頁(yè)/共69頁(yè)【互動(dòng)探究】如果把題中y=改為y=，你會(huì)求解嗎？【解析】第27頁(yè)/共69頁(yè)【變式訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=8-3t2.(1)求質(zhì)點(diǎn)在［1,1+Δt］這段時(shí)間內(nèi)的平均速度;(2)求質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度(用定義及導(dǎo)數(shù)公式兩種方法).【解析】(1)∵s=8-3t2,∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,=-6-3Δt.(2)定義法：質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度導(dǎo)數(shù)公式法：質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=s′t=(8-3t2)′=-6t.當(dāng)t=1時(shí)，v=-6×1=-6.第28頁(yè)/共69頁(yè)2

利用求導(dǎo)公式、法則求導(dǎo)數(shù)【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【審題指導(dǎo)】本題考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，借助于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式及常見(jiàn)的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以容易求得.合作要求第29頁(yè)/共69頁(yè)【自主解答】(1)方法一：由題可以先展開(kāi)解析式然后再求導(dǎo)：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3.方法二：由題可以利用乘積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)：y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.第30頁(yè)/共69頁(yè)(2)根據(jù)題意把函數(shù)的解析式整理變形可得：(3)根據(jù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)可得：y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2第31頁(yè)/共69頁(yè)(4)根據(jù)題意利用除法的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)可得：(5)設(shè)μ=3-2x，則y=(3-2x)5是由y=μ5與μ=3-2x復(fù)合而成，所以y′=f′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4.第32頁(yè)/共69頁(yè)【規(guī)律方法】一般說(shuō)來(lái)，分式函數(shù)求導(dǎo)，要先觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，可先化為和、差的形式；三角函數(shù)的求導(dǎo)，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程就是對(duì)復(fù)合函數(shù)由外層逐層向里求導(dǎo).每次求導(dǎo)都針對(duì)最外層，直到求到最里層為止.所謂最里層是指此函數(shù)已經(jīng)可以直接引用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo).第33頁(yè)/共69頁(yè)【變式訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x+1)(x-1)(x-2)；(2)y=(2x3-1)(3x2+x)；(3)y=tanx-x；(4)y=(5)y=xex(1+lnx)；(6)y=ln【解析】(1)由題可知先整理解析式然后求導(dǎo)y=(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x-2)=x3-2x2-x+2，∴y′=3x2-4x-1.(2)由題意,函數(shù)的解析式可變?yōu)椋簓=(2x3-1)(3x2+x)=6x5+2x4-3x2-x∴y′=30x4+8x3-6x-1.第34頁(yè)/共69頁(yè)第35頁(yè)/共69頁(yè)第36頁(yè)/共69頁(yè)合作要求

導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例3】1、已知曲線y=(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程.【審題指導(dǎo)】“該曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程”與“該曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程”是有區(qū)別的：過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線中，點(diǎn)P(2，4)不一定是切點(diǎn)；在點(diǎn)P(2，4)處的切線，點(diǎn)P(2，4)是切點(diǎn).第37頁(yè)/共69頁(yè)【自主解答】(1)所求切線的斜率為y′|x=2=22=4，故所求的曲線的切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)設(shè)曲線y=與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A(x0,)，則切線的斜率為，切線方程為y-=x02(x-x0)，因?yàn)辄c(diǎn)P(2,4)在切線上，所以4-=x02(2-x0)，解得x0=2或x0=-1，故所求的切線的方程為：4x-y-4=0或x-y+2=0.第38頁(yè)/共69頁(yè)【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程的關(guān)鍵在于確定該點(diǎn)切線處的斜率k，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知k=f′(x0)，故當(dāng)f′(x0)存在時(shí)，切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)要深入體會(huì)切線定義中的運(yùn)動(dòng)變化思想：①兩個(gè)不同的公共點(diǎn)→兩公共點(diǎn)無(wú)限接近→兩公共點(diǎn)重合(切點(diǎn))；②割線→切線.第39頁(yè)/共69頁(yè)【變式訓(xùn)練】已知曲線C:y=f(x)=x3-3x2+2x,直線l:y=kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)(x0,y0)(x0≠0),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【解析】∵直線過(guò)原點(diǎn)，則k=(x0≠0).由點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，則y0=x03-3x02+2x0,∴=x02-3x0+2.又y′=3x2-6x+2,∴在(x0,y0)處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=f′(x0)=3x02-6x0+2.∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得2x02-3x0=0.解得x0=(∵x0≠0).這時(shí)，y0=-,k=-.因此，直線l的方程為y=-x,切點(diǎn)坐標(biāo)是(,-).第40頁(yè)/共69頁(yè)2、(2010·全國(guó)Ⅱ)若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0，則()(A)a=1,b=1(B)a=-1,b=1(C)a=1,b=-1(D)a=-1,b=-1【審題指導(dǎo)】本題是已知曲線在某點(diǎn)處的切線的方程要求參數(shù)的值，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是考慮(0,b)是不是在曲線上，如果在曲線上，本題很好處理，反之需要考慮設(shè)出切點(diǎn)再求.第41頁(yè)/共69頁(yè)【規(guī)范解答】選A.由題可知點(diǎn)(0,b)在曲線y=x2+ax+b上，所以在點(diǎn)(0,b)處的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)處的切線的斜率，所以可得y′=2x+a|x=0=a，又因?yàn)榍芯€的方程為x-y+1=0，所以可得a=1，又因?yàn)辄c(diǎn)(0,b)在切線x-y+1=0上，可以解得b=1.【誤區(qū)警示】在解答本題時(shí)容易出現(xiàn)以下幾點(diǎn)失誤：(1)認(rèn)為點(diǎn)(0,b)既然在切線和曲線上，就直接代入兩個(gè)方程求解，這樣只能解出b=1，不能解出a的值，所以解不出答案.(2)在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題時(shí)，分不清楚在(0,b)處的切線和過(guò)(0,b)的切線的區(qū)別，把這個(gè)題目想的過(guò)于復(fù)雜，其實(shí)解決的關(guān)鍵是首先代入驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上.第42頁(yè)/共69頁(yè)此外，解決導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義相結(jié)合的題目時(shí)，以下幾點(diǎn)容易出現(xiàn)失誤：1．對(duì)求導(dǎo)公式掌握的不夠好，不能利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則正確的運(yùn)算.2．對(duì)于“某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率”這一知識(shí)不能靈活的運(yùn)用.3．不能正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別.第43頁(yè)/共69頁(yè)【變式訓(xùn)練】曲線y=x2+1上過(guò)點(diǎn)P的切線與曲線y=－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)P(x0，y0)，由題意知曲線y=x2+1在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x0，切線方程為y=2x0x+1－x02，而此直線與曲線y=-2x2-1相切，∴切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判別式Δ=4x02-2×4×(2－x02)=0.解得x0=±,y0=.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(-,)第44頁(yè)/共69頁(yè)經(jīng)典考題當(dāng)堂檢測(cè)限時(shí)五分鐘第45頁(yè)/共69頁(yè)1.(2010·新課標(biāo)全國(guó)卷)曲線y=在點(diǎn)(-1，-1)處的切線方程為()(A)y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2【解析】選A.由y==1-可得y′=,k=y′|x=-1=2,y+1=2(x+1),即y=2x+1，應(yīng)選A.第46頁(yè)/共69頁(yè)2．(2010·全國(guó)Ⅱ)若曲線y=在點(diǎn)(a,)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a=()(A)64(B)32(C)16(D)8【解析】選A.y′=,∴k=，切線方程是y-=(x-a)，令x=0，y=，令y=0，x=3a，∴三角形的面積是S=·3a·=18，解得a=64.故選A.第47頁(yè)/共69頁(yè)3.(2010·江西高考)若f(x)=ax4+bx2+c滿足f′(1)=2，則f′(-1)=()(A)-4(B)-2(C)2(D)4【解析】選B.本題考查函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=4ax3+2bx是奇函數(shù)，所以f′(-1)=-f′(1)=-2，故選擇B.第48頁(yè)/共69頁(yè)4.(2011·濟(jì)寧模擬)曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，斜率最小的切線方程是______.【解析】y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.∴當(dāng)x=-1時(shí)，y′取得最小值3.切線中斜率的最小值為3，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-14).切線方程為y+14=3(x+1)，即3x-y-11=0.答案：3x-y-11=0第49頁(yè)/共69頁(yè)5.(2010·江蘇高考)函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_______.

【解題提示】解決的關(guān)鍵是正確的求導(dǎo)，并得到切線方程，然后再求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：y-ak2=2ak(x-ak)，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=，所以ak+1=,a1+a3+a5=16+4+1=21.答案：21第50頁(yè)/共69頁(yè)課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？第51頁(yè)/共69頁(yè)模擬考場(chǎng)課后拓展第52頁(yè)/共69頁(yè)一、選擇題(每小題4分，共20分)1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s＝，那么速度為零的時(shí)刻是()(A)0秒(B)1秒末(C)2秒末(D)1秒末和2秒末【解析】選D.由題可知s＝，∴v＝s′＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.第53頁(yè)/共69頁(yè)2．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()(A)4x－y－3＝0(B)x＋4y－5＝0(C)4x－y＋3＝0(D)x＋4y＋3＝0【解析】選A.y′＝4x3＝4，得x＝1，即切點(diǎn)為(1,1)，所以過(guò)該點(diǎn)的切線方程為y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.第54頁(yè)/共69頁(yè)3.(2011·聊城模擬)曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()(A)e2(B)2e2(C)e2(D)【解析】選D.∵點(diǎn)(2，e2)在曲線上，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x=2＝ex|x=2＝e2，∴切線的方程為y-e2＝e2(x-2)，即e2x-y-e2＝0.與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-e2)，(1,0)，∴S△＝×1×e2＝.第55頁(yè)/共69頁(yè)4.已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為()(A)1(B)2(C)-1(D)-2【解析】選B.設(shè)直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)的切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y′=,∴==1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),∴y0=0,∴x0=-1,∴a=2.第56頁(yè)/共69頁(yè)5.(2011·臨沂模擬)若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x-2的最小距離為()(A)1(B)(C)(D)

【解題提示】曲線上的點(diǎn)P到直線的最短距離，就是與直線y=x-2平行且與y=x2-lnx相切的直線的切點(diǎn)到直線y=x-2的距離.【解析】選B.過(guò)點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線，且與曲線y＝x2-lnx相切，設(shè)P(x0，x02-lnx0)，則k＝＝2x0-，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去).∴P(1,1)，∴d＝第57頁(yè)/共69頁(yè)二、填空題(每小題4分，共12分)6.若曲線f(x)=ax5+lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【解析】答案:第58頁(yè)/共69頁(yè)7.曲線y=sinx+cosx在x=π處的切線方程是_____.【解析】根據(jù)y=sinx+cosx求導(dǎo)可得y′=cosx-sinx，所以y′|x=π=-1,又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(π,-1)所以可得在x=π處的切線方程為y+1=-(x-π),即y=-x+π-1答案:y=-x+π-1第59頁(yè)/共69頁(yè)8.(2011·北京模擬)已知函數(shù)f(x)=3x3+2x2-1在區(qū)間(m,0)上總有f′(x)≤0成立，則m的取值范圍為_(kāi)_____.【解析】f′(x)=9x2+4x=(9x+4)x≤0解得-≤x≤0即(m,0)［-,0］∴-≤m＜0答案:［-,0)第60頁(yè)/共69頁(yè)三、解答題(每小題9分，共18分)9.求曲線f(x)＝x3-3x2+2x過(guò)原點(diǎn)的切線方程.【解題提示】解決本題需要考慮原點(diǎn)是不是切點(diǎn)，如果原點(diǎn)是切點(diǎn)可以直接求解，如果原點(diǎn)不是切點(diǎn)需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求解.第61頁(yè)/共69頁(yè)【解析】f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(x0，y0)，則有y0＝x03－3x02＋2x0，k＝f′(x0)＝3x02－6x0＋2，①又k＝＝