2021年河北省各市各區(qū)中考數學模擬真題專練：三角形與四邊形綜合

2021年河北省各市各區(qū)中考數學模擬真題專練：三角形與四邊形綜合M1．（2021?石家莊一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點為對角線BD上任意一點（可與B，D重合），連接AM，將線段AMA繞點逆時針旋轉90°得到線段AN，連接MN，DN，設BM＝x．（1）求證：△ABM≌△ADN；（2）當時，求MN的長；（3）嘉淇同學在完成（1）后有個想法：“△ABM與△MND也會存在全等的情況”，請判斷嘉淇的想法是否正確，若正確，請直接寫出△ABM與△不正確，請說明理由．MNDx全等時的值；若2．（2021?新華區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝3，＝4．動ACBC點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿﹣﹣方向繞行△ABC一周，PAACCBBA動直線l從AC開始，以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交AB、BC于D、EPAl兩點．當點運動到點時，直線也停止運動．（1）求點P到AB的最大距離；（2）當點P在AC上運動時，①求tan∠PDE的值；②把△PDE繞點順時針方向旋轉，當點的對應點′落在EPPEDED上時，的對應線ED段′恰好與ABt垂直，求此時的值．P（3）當點關于直線DEF的對稱點為時，四邊形PEFD能否成為菱形？若能，直接t寫出的值；若不能，請說明理由．3．（2021?裕華區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，＝8，＝12，點在EAB上，ABBCAE＝5，P是AD上一點，將矩形沿PE折疊，點落在點'處．連接，與PE相交AAACFAPx于點，設＝．AC（1）＝；A（2）若點'在∠BAC的平分線上，求FC的長；AD（3）求點'，距離的最小值，并求此時tan∠APE的值；AABC（4）若點'在△x的內部，直接寫出的取值范圍．4．（2021?新華區(qū)模擬）已知：如圖，?ABCD中，為EDC的中點，連接AE并延長交BCFACDF的延長線于點，連接、．ADCF（1）求證：＝；（2）嘉琪說：“添加一個條件，能使四邊形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的觀點？如果同意，請?zhí)砑右粋€條件，并給出證明；如果不同意，請說明理由．5．（2021?邯鄲模擬）如圖1，圖2中，正方形ABCD的邊長為6，點從點出發(fā)沿PB邊BCCD﹣以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，以BP為邊作等邊三角形BPQ，DQ使點在正方形ABCDQ內或邊上，當點恰好運動到ADP邊上時，點停止運動．設tt運動時間為秒（≥0）．tQBC的距離＝（1）當＝2時，點到；（2）當點P在BCt邊上運動時，求CQ的最小值及此時的值；（3）若點Q在AD邊上時，如圖2，求出t的值；Q（4）直接寫出點運動路線的長．6．（2021?蚌埠模擬）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BEF的延長線于點．（1）證明四邊形ADCF是菱形；ADCF的面積．AB（2）若AC＝4，＝5，求菱形7．（2020?黃埔區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD，點，分別在EFAD，CD上，且DE＝CF，AF與BEG相交于點．BEAF（1）求證：＝；（2）若＝4，＝1，求AF的長．ABDE8．（2021?新泰市模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，D為BCADCCEADE上一點，連接，過點作⊥于點．（1）如圖1，過點B作BF⊥BC交CEF的延長線于點，求證：△ACD≌△CBF；（2）如圖2，若D為BCBDM＝∠ADC；CE的中點，的延長線交AB于點，連接DM，求證：∠M（3）在（2）的條件下，若＝4，＝2，直接寫出CM的長．AECEABCBABC＝90°，D為AB延長9．（2021?昆山市模擬）如圖，在△ABC中，＝，∠線上一點，點E在BCBEBDAEDEDC邊上，且＝，連接，，．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數．10．（2021?蓬安縣模擬）如圖，在△ABC和△DCB中，∠＝∠＝90°，＝，ADACBDAC與BDO相交于點．（1）求證：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何種三角形？證明你的結論．11．（2021?南海區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，＝，點是ABACDBCE的中點，點在ADBECE上．求證：＝（要求：不用三角形全等的方法）E12．（2021?碑林區(qū)校級四模）如圖所示，點在△ABC外部，點D在BCDE邊上，交ACFADABACAE于，若∠1＝∠2＝∠3，＝，求證：＝．13．（2021?興平市一模）如圖，在△ABC中，∠＝90°，平分∠CADCAB，交CB于DDDEABE點，過點作⊥于點．ACAE（1）求證：＝；（2）若＝3，＝5，求BD的長．ACAB14．（2021?競秀區(qū)一模）如圖，平行四邊形ABCD中，＝9，＝13，tan＝，ABADAP點在射線AD上運動，連接，沿PB將△APB折疊，得△'．PBAPBP（1）如圖1，點在線段AD上，當∠DPA′＝20°時，∠APB＝度；PABCPA（2）如圖2，當'⊥時，求線段的長度；A（3）當點′落在平行四邊形ABCDPA的邊所在的直線上時，求線段的長度；P（4）直接寫出：在點沿射線ADDA運動過程中，′的最小值是多少？15．（2021?皇姑區(qū)二模）如圖，矩形ABCD的對角線、交于點，且∥，ACBDODEACCE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；AC（2）若∠BAC＝30°，＝4，求菱形OCED的面積．參考答案1．（1）證明：在正方形ABCD中，＝，由旋轉的性質知：AM＝AN，∵∠BAD＝∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，ABAD在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS）．BD解：（2）∵是正方形ABCD的對角線，且AB＝6，∴∴，∠ADB＝45°，，由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，∴∠MDN＝∠ADB+∠AND＝45°+45°＝90°，在Rt△MDN中，．（3）正確；理由如下：．⊥，易得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，如圖：當AMBD∴∠NDA＝∠ABM＝45°，＝，∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠NDM＝90°，ANAM∵∠NAM＝∠AMD＝∠∠NDM＝90°，∴四邊形AMDN為矩形，又∵AN＝AM，∴矩形AMDN為正方形，∴△NMD≌△DAN（SAS），∴△NMD≌△ABM（全等傳遞性），此時AM＝＝＝3．當△ABM與△MNDx全等時＝3．PCPAB的距離最大，2．解：（1）當點與點重合時，點到設Rt△ABC斜邊ABh上的高，∵∠ACB＝90°，＝3，＝4，ACBCAB∴＝＝＝5，∵△ABC的面積＝AB?h＝AC?BC，h∴＝＝＝，即點P到AB的最大距離是；（2）①當點P在AC上運動時，APtCEtts設運動時間為，則有＝3，＝，lAC∵直線∥，∴∠PDE＝∠APD，⊥于點，則四邊形CEDG是矩形，如圖1，過點D作DGACGDGCEtPGAPAGtAG∴＝＝，＝﹣＝3﹣，A∵tan＝＝，∴＝，AGt∴＝，PGttt∴＝3﹣＝，∴，即；EDAB②∵'⊥，∴∠BED'+∠B＝90°，AB∵∠+∠＝90°，A∴∠BED'＝∠，lAC∵直線∥，lBC∴直線⊥，∴∠CEP+∠PED＝90°，∠P'ED'+∠BED'＝90°，由旋轉的性質，得：∠PED＝∠P'ED'，∴∠CEP＝∠BED'，∴∠CEP＝∠A，又∵∠ECP＝∠ACB，∴△CEP∽△CAB，∴，即，解得：；（3）四邊形PEFD能成為菱形，理由如下：∵點是點關于直線DE的對稱點，FPDEPF∴垂直平分，PF∴當也垂直平分DE時，四邊形PEFD為菱形．lAC∵直線∥，∴△DBE∽△ABC，∴＝，即∴，，①當點P在AC上時，連接PF，如圖2所示：DE若PF垂直平分，則有DEt＝3﹣3，tt∴（4﹣）＝3﹣3，解得：；②當點P在BCPFEx上時，、、三點都在軸上，構不成四邊形；③當點P在BA上時，PlPF若點在直線的右側，連接，如圖3所示：類比①可得：，解得：；PlPEFD若點在直線的左側，、、、四點構不成凸四邊形；t綜上所述，當為或時，四邊形PEFD為菱形．3．解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，B∴∠＝90°，ABBC∵＝8，＝12，AC∴＝＝＝4．故答案為：4．AA（2）如圖1中，∵′平分∠BAC，∴∠EAA′＝∠FAA′，AAEF由翻折可知，′⊥，∴∠EAA′+∠AEF＝90°，∠AFE+∠FAA′＝90°，∴∠AEF＝∠AFE，AEAF∴＝＝5，CFACAF∴＝﹣＝4﹣5．（3）如圖2中，連接DE，DA′．在Rt△ADE中，∠∴DE＝EAD＝90°，＝5，＝＝12，AEADBC＝＝13，EAEA∵＝′＝5，DA∴′≥DE﹣EA′＝8，DA∴′的最小值為8，EADPAPAxxx此時，′，共線，設＝′＝，則有（12﹣）2＝2+82，x解得＝，∴tan∠APE＝＝＝．（4）如圖3﹣1中，當點′落在ACA上時，∵∠AEP+∠EAC＝90′，∠ACB+∠EAC＝90°，∴∠AEP＝∠ACB，∴tan∠AEP＝tan∠ACB，∴＝，∴＝，PA∴＝．A如圖3﹣2中，當點′落在BC上時，過點P作PH⊥BCHPHABPA于，則＝＝8，＝BH．在Rt△BEA′中，＝3，′＝＝5，BEEAEABA∴′＝＝＝4，∵∠＝∠′＝∠PHA′＝90°，BEAPBAEPAHPAHAPH∴∠′+∠′＝90°，∠′+∠′＝90°，BAEAPH∴∠′＝∠′，BAE∴△′∽△HPA′，∴∴＝，＝，AH∴′＝6，APBHBAAH∴＝＝′+′＝10．觀察圖像可知當＜＜10時，點'在△ABC的內部．xA4．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，ADBCADBC∴∥，＝．∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵E為DC的中點，EDEC∴＝．∴△ADE≌△FCE（AAS），ADCF∴＝．（2）答：同意．當DC＝AF時，四邊形ACFD是矩形．理由如下：ADCFADCF∵∥，＝，∴四邊形ACFD是平行四邊形．DCAF∵＝，∴四邊形ACFD是矩形．5．解：（1）如圖1，由運動知，BQ＝2t＝4，過點Q作QH⊥BC于H，∵△BPQ是等邊三角形，∴BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，PHBP在Rt△BPH中，＝?sin∠PBQ＝4×＝2，故答案為2；解：（2）點P在BC邊上運動時，有∠QBC＝60°，根據垂線段最短，當CQ⊥BQ時，CQ最?。鐖D，在直角三角形BCQ中，∠QBC＝60°，∴∠BCQ＝30°BQ∴＝∴BP＝BQ＝3，t∴＝＝?tan∠QBC＝∴CQBQ；（3）若點Q在AD邊上，則CP＝2t﹣6，BABCBQBPAC∵＝，＝，∠＝∠＝90°，∴Rt△BAQ≌Rt△BCP（HL）AQCPt∴＝＝2﹣6，DQDPt∴＝＝12﹣2，BPPQ∵＝，在Rt△PDQ和Rt△BCP中，由勾股定理可得，DQ2+DP2＝QP2，BCCPBP2+＝22tt∴2（12﹣2）2＝62+（2﹣6）2解得：∴（不合題意，舍去），；（4）如圖，當點P在BCBCQBQ上從點運動到點時，點從點運動到點，∵△PBQ是等邊三角形，∴BQ＝BC，∠QBC＝60°當點P在CDCPQQQ上從點運動到如圖所示的點時，點從如圖所示的點運動到'，∵△BPQ'是等邊三角形，BPBQ∴＝'，∠PBQ'＝60°＝∠QBC，QBQ∴∠PBC＝∠'，BQBC∵＝，∴△BQQ'≌△BCP，QQCP∴'＝，QP∴點的運動路線長等于點的運動路線長，t由（3）知，＝9﹣3，Q∴點的運動路線長等于2（9﹣3）＝AFBC6．（1）證明：如圖，∵∥，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；AFDB∴＝．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，是DBC的中點，ADDC∴＝＝BC，∴四邊形ADCF是菱形；DF（2）解：連接，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，DFAB∴＝＝5，∵四邊形ADCF是菱形，SAC?DF＝10．∴＝7．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠＝90°，AB＝AD＝CD，DECFADF∵＝，AEDF∴＝，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），BEAF∴＝；AB（2）解：∵＝4，四邊形ABCD是正方形，AD∴＝4，DE∵＝1，AE∴＝3，BE∴＝＝＝5，∵△BAE≌△ADF，BEAF∴＝＝5．BFBCCEAD8．（1）證明：∵⊥，⊥，∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，ACBC又∵＝，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）證明：過點B作BF⊥BC交CE的延長線于點F，如圖2所示：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴∠ADC＝∠F，CD＝BF，∵D為BC的中點，∴CD＝BD，BDBF∴＝，ACBC∵∠ACB＝90°，＝，∴∠ABC＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠FBM＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBM＝∠FBM，又∵BM＝BM，∴△BDM≌△BFM（SAS），∴∠BDM＝∠F，∴∠BDM＝∠ADC；（3）解：連接DF，如圖3所示：CEADAECE∵⊥，＝4，＝2，BCAC∴＝＝＝＝2，BDBFCDBDBC＝，△BDM≌△BFM，由（2）得：＝，＝＝DMFMAD∴＝，＝＝＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，∵∠DBF＝90°，∴△BDF是等腰直角三角形，DF∴＝BD＝，EF∴＝設DM＝FM＝x，則在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+（3﹣）2＝2，＝＝3，EMx＝3﹣，xxx解得：＝，EM∴＝3﹣＝，CMCEEM∴＝+＝2+＝．9．（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．10．證明：（1）在△ABC和△AC＝BD，BC為公共邊，DCB中，∠＝∠＝90°AD∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．ABACDBC的中點，11．證明：∵＝，點是∴AD⊥BC，BD＝CD，BECE∴＝．12．解；如圖所示：∵∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠2+∠AFE+∠E＝180°，∠3+∠DFC+∠C＝180°，∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC，EC∴∠＝∠，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS），ACAE∴＝．C13．（1）證明：∵∠＝90°，DCAC∴⊥，ADCAB，DE⊥AB，∵平分∠DCDE∴＝，在Rt△ADC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），ACAE∴＝；CACAB（2）解：∵∠＝90°，＝3，＝5，BC∴＝＝＝4，由（1）知，DE＝DC，AE＝AC＝3，BEABAE∴＝﹣＝2，在Rt△BDE中，BD＝BC﹣CDDE＝4﹣，由勾股定理得：BD2＝BE2+DE2，DEDE即（4﹣）2＝22+2，DE解得：＝，BD∴＝4﹣＝．PA14．解：（1）當′在直線AD的右側時，∠APB＝∠A′PB＝（180°﹣20°）＝80°，當′在直線AD的左側時，∠PAAPB＝∠A′PB＝（180°+20°）＝100°，故答案為：80或100；BHADH（2）如圖，作⊥于，∵四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC∴∥，PABC∵′⊥，PAAD∴′⊥，∴∠APA′＝90°，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，A∵tan＝，AHxBH∴設＝5，＝12xAB∴＝x＝13＝9，x∴＝，AHBH∴＝，＝，在Rt△