耦合系數(shù)的物理意義及表達(dá)式

耦合系數(shù)的物理意義及表達(dá)式第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日11.1耦合電感的電壓電流關(guān)系一、互感現(xiàn)象定義：載流線圈之間通過(guò)彼此的磁場(chǎng)相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象，也叫磁耦合。

第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日互感現(xiàn)象的有關(guān)名詞：載流線圈中的電流i1和i2稱(chēng)為施感電流

自感磁通Φ11中所產(chǎn)生的磁通鏈（簡(jiǎn)稱(chēng)磁鏈）Ψ11稱(chēng)為自感磁鏈

自感磁通Ψ11中的一部分或全部交鏈線圈2時(shí)產(chǎn)生的磁鏈設(shè)為Ψ21，稱(chēng)為互感磁鏈。

把這兩個(gè)靠近的載流線圈稱(chēng)為耦合線圈。自感磁鏈互感磁鏈耦合線圈施感電流第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日二、互感系數(shù)與同名端互感系數(shù)：自感磁鏈與電流的關(guān)系為

Ψ11=L1i1，Ψ22=L2i2

互感磁鏈與施感電流的關(guān)系為

Ψ12=M12i2，Ψ21=M21i1

上式中M12和M21稱(chēng)為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)互感，單位是亨利（H）。后面的分析會(huì)證明，M12和M21是相等的，即M12=M21=M。本書(shū)中介紹的互感均為正值。第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日互感線圈的同名端：定義：為了便于反映“增強(qiáng)”和“削弱”作用及簡(jiǎn)化圖形表示，采用同名端標(biāo)記方法。對(duì)兩個(gè)有耦合的線圈各取一個(gè)端子，并用相同的符號(hào)標(biāo)記，如“·”或“*”等，這一對(duì)端子稱(chēng)為同名端。

性質(zhì)：無(wú)論電流從哪一個(gè)線圈的哪一個(gè)端子流入或流出，也無(wú)論電流是增大還是減小，互感線圈的同名端，其感應(yīng)電壓的實(shí)際極性始終一致。如果兩個(gè)互感線圈的電流i1和i2所產(chǎn)生的磁通是相互增強(qiáng)的，則電流流入（或流出）的端鈕就是同名端，如果磁通相互削弱，電流流入（或流出）的端鈕就是異名端。第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日同名端的判斷方法：兩個(gè)互感線圈的同名端可以根據(jù)它們的繞向和相對(duì)位置判別，也可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法確定。

下圖畫(huà)出了幾組實(shí)際繞向和相對(duì)位置不同的互感線圈。利用上述同名端的定義可判斷出各組互感線圈的同名端。在（a）中，若電流分別從1端和3端流入，它們產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng)，因此1端和3端是同名端，同理，圖（b）中1、4端是同名端，圖（c）中1、4是同名端。第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：兩線圈相對(duì)位置相同，實(shí)際繞向不同，因而同名端不同，如上圖（a）、（b）所示；（a）、（c）中，兩線圈繞向相同，但相互位置不同，其同名端也就不同，這說(shuō)明同名端只取決于兩線圈的實(shí)際繞向和相互位置。

再如，下圖電路中，由于三個(gè)線圈沒(méi)有一條磁感應(yīng)線可以同時(shí)穿過(guò)它們，因此它們沒(méi)有共同的一組同名端，只能每?jī)蓚€(gè)線圈之間具有同名端。利用上述定義可以得出，對(duì)線圈Ⅰ、Ⅱ來(lái)說(shuō)，1、4端是同名端，線圈Ⅱ、Ⅲ的同名端為3端和5端，線圈Ⅰ、Ⅲ的同名端為1端和5端，分別用“·”、“△”和“*”標(biāo)記。第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)法判斷同名端：對(duì)實(shí)際已繞制好的互感線圈，有時(shí)無(wú)法判別它們的實(shí)際繞向，例如線圈被封裝在外殼里面。在這種情況下，可以采用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)測(cè)定兩線圈的同名端。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日直流電壓源正負(fù)極通過(guò)開(kāi)關(guān)S與線圈Ⅰ的1、2端連接，直流電壓表（或電流表）接到線圈Ⅱ的3、4端。在開(kāi)關(guān)S閉合瞬間，電流由電源正極流入線圈Ⅰ的1端且正在增大，即電流的變化率＞0，則與電源正極相連的1端為高電位端，2端為低電位端。此時(shí)若電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則與電壓表正接線端相連的線圈Ⅱ的3端為高電位端，4端為低電位端，因?yàn)橥说母袘?yīng)電壓的實(shí)際極性始終一致，由此可判斷出，端鈕1、3是同名端。如果電壓表指針?lè)雌?，端鈕1、4是同名端。判斷方法：第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三、自感電壓及互感電壓“+”、“-”的判斷方法

自感電壓前的“+”、“-”號(hào)可直接根據(jù)自感電壓與產(chǎn)生它的電流是否為關(guān)聯(lián)方向確定，關(guān)聯(lián)時(shí)取“+”號(hào)，非關(guān)聯(lián)時(shí)取“-”號(hào)。

互感電壓前的“+”、“-”號(hào)的正確選取是寫(xiě)出耦合電感端電壓的關(guān)鍵，選取原則可簡(jiǎn)明地表述如下：如果互感電壓的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對(duì)同名端，則互感電壓前取“+”號(hào)，反之取“-”號(hào)。

注意：今后若無(wú)特殊要求，選取電壓、電流的參考方向均要保證自感電壓和互感電壓前取“+”號(hào)。第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例22-1】下圖所示電路中，已知i1=10A，i2=5sin（10t）A，L1=2H，L2=3H，M=1H，求兩耦合電感的端電壓u1、u2。解：根據(jù)圖中電壓、電流參考方向及同名端，可得第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例22-2】下圖所示的互感電路中，同名端標(biāo)記如圖所示。已知L1=L2=0.05H，M=0.025H，i1=2.82sin（1000t）A，試求自感電壓uL1和互感電壓u21。第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：選自感電壓uL1和互感電壓u21參考方向如圖所示。uL1與i1參考方向相反，u21的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流i1流進(jìn)的端子是同名端，所以可得其相量形式為由已知第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日得到所以第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例22-3】下圖（a）、（b）所示的電路中，同名端標(biāo)記，端電壓u1、u2及電流i1、i2的參考方向均已標(biāo)在圖上，試寫(xiě)出線圈端電壓u1、u2的表達(dá)式。第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：圖（a）中兩線圈中均通有電流，所以端電壓u1、u2各是由自感電壓和互感電壓組成。圖中，電流i1、i2從同名端流入，按慣例選擇uL1、uL2、u12、u21參考方向如圖所示。uL1、u12與端電壓u1參考方向相反，uL2、u21與端電壓u2的參考方向相同，由此可寫(xiě)出端電壓u1、u2的表達(dá)式為第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D（b）中，電流i1、i2從異名端流入，同樣按慣例選擇uL1、uL2、u12、u21參考方向如圖所示，得第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日四、耦合系數(shù)物理意義：用來(lái)表征兩個(gè)線圈耦合得緊密程度。表達(dá)式：

0≤k≤1k=1，這種情況稱(chēng)為全耦合。

在電力變壓器中，為了有效地傳輸功率，采用緊密耦合，k值接近于1，而在無(wú)線電和通信方面，要求適當(dāng)?shù)?、較松的耦合時(shí)，就需要調(diào)節(jié)兩個(gè)線圈的相互位置。有的時(shí)候?yàn)榱吮苊怦詈献饔?，就?yīng)合理布置線圈的位置，使之遠(yuǎn)離，或使兩線圈的軸線相互垂直，或采用磁屏蔽方法等。第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日11.2含有耦合電感電路的計(jì)算

一、串、并聯(lián)電路1、串聯(lián)順接串聯(lián)反接串聯(lián)第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日等效電感：L順=L1+L2+2M

L反=L1+L2-2M

說(shuō)明：（1）互感系數(shù)M既小于或等于兩個(gè)線圈自感的幾何平均值，又小于或等于兩個(gè)線圈自感的算術(shù)平均值。

（2）順接時(shí)的等效電感大于反接時(shí)的等效電感，當(dāng)外加相同正弦電壓時(shí)，順接時(shí)的電流小于反接時(shí)的電流。這一結(jié)論可以幫助我們判斷同名端。

第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（3）由以上公式可知：上式給出了一個(gè)求兩線圈互感系數(shù)M的方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出L順和L反，然后代入上式中，即可求出M值?！纠?2-4】右圖所示電路中，已知R1=4Ω，R2=6Ω，自感抗wL1=5Ω，wL2=9Ω，wM=3Ω，輸入電壓U=50V，求電路中電流I及輸出電壓U2。

第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：按習(xí)慣選定電壓電流參考方向如圖所示。本題電路中為兩個(gè)線圈的順接串聯(lián)電路，故wL順=w（L1+L2+2M）=5+9+2×3=20Ω

R=R1+R2=4+6=10Ω此串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗（考慮了互感的影響）Z為Z=R+jwL順=10+j20=Ω可求得第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日所以電路電流I及輸出電壓U2為I=2.236AU2=30V第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例22-5】下圖所示電路中，已知uS=14.1sin（wt）V，R=3Ω，wL1=wL2=4Ω，wM=2Ω，求ab端電壓uab和Uab。

解：第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日可求得按習(xí)慣選定互感電壓u21的參考方向，由圖可以看出互感電壓u21的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流i1流進(jìn)的端子是同名端，所以互感電壓

uab=7.21sin（wt-86.8o）=10.2sin（wt-86.8o）V第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2、并聯(lián)同名端相連異名端相連第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日等效電感：同名端并聯(lián)時(shí)的等效電感大于異名端并聯(lián)時(shí)的等效電感。二、去耦等效電路1、串聯(lián)電路的去耦等效電路

以沒(méi)有互感的等效電路代替原來(lái)有互感的電路，這種方法叫互感消去法，也稱(chēng)去耦等效變換。第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日

順接串聯(lián)的去耦等效電路

反接串聯(lián)的去耦等效電路第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2、并聯(lián)電路的去耦等效電路

同名端相聯(lián)的去耦等效電路圖（a）電路等效為自感系數(shù)為L(zhǎng)0、L1/和L2/三個(gè)沒(méi)有互感的線圈混聯(lián)的電路，三個(gè)去耦等效參數(shù)為：第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日異名端相聯(lián)的去耦等效電路圖（a）電路等效為自感系數(shù)為L(zhǎng)0、L1/和L2/三個(gè)沒(méi)有互感的線圈混聯(lián)的電路，三個(gè)去耦等效參數(shù)為：第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日三、含耦合電感電路的分析

提示：含耦合電感的電路在分析時(shí)，應(yīng)視具體情況將互感電路等效為無(wú)感等效電路，這樣有時(shí)會(huì)使分析變得簡(jiǎn)便。【例22-5】試求下圖（a）所示電路的輸入阻抗Zi。解：圖中為互感線圈同名端聯(lián)接，利用互感消去法，可得無(wú)感等效電路如圖（b）所示。等效復(fù)阻抗為第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例22-6】下圖（a）所示電路中，已知L1=7H，L2=4H，M=2H，R=8Ω，uS（t）=20sintV，求電流i2（t）。解：

應(yīng)用互感消去法，將圖（a）等效為圖（b）。

應(yīng)用阻抗串、并聯(lián)等效關(guān)系，求得電流為第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用復(fù)阻抗并聯(lián)分流關(guān)系求得所以【例22-6】下圖所示電路中，一個(gè)線圈發(fā)生匝間短路，求發(fā)生故障后線圈的等效電感。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日解：此題分析時(shí)要注意，不能誤以為一個(gè)線圈短路后，其等效電感即為剩余部分的電感，因?yàn)榫€圈間有互感，相互間要影響。解法1：利用電壓電流關(guān)系分析。即聯(lián)立求解得第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日所以輸入阻抗為等效電感為解法2：利用互感消去法得無(wú)感等效電路如下圖所示。

等效電感為

第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：由于L1、L2是同一線圈的兩段，耦合很緊，耦合系數(shù)k接近于1，因此等效電感L＜＜L1。故當(dāng)一個(gè)線圈短路時(shí)，線圈的等效電感L并不等于剩余部分的電感L1，而是遠(yuǎn)小于L1，這將會(huì)引起很大的電流通過(guò)線圈。第三十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日本講小結(jié)1、線圈間電流變化在各自線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象稱(chēng)為互感現(xiàn)象。2、耦合系數(shù)k用來(lái)表