現(xiàn)代控制理論總結(jié)

現(xiàn)代控制理論總結(jié)第一章：控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1、 狀態(tài)變量，狀態(tài)空間與狀態(tài)軌跡的概念：在描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的所有變量中，必定可以找到數(shù)目最少的一組變量，他們足以描述系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)，這組變量就稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。以狀態(tài)變量X1,，X2,X3,……Xn為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維歐式空間（實(shí)數(shù)域上的向量空間）稱(chēng)為狀態(tài)空間。’ '隨著時(shí)間的推移，x（t）在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，稱(chēng)為狀態(tài)軌跡。2、 狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程和輸出方程合起來(lái)構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)完整的動(dòng)態(tài)描述，稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。3、 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題：由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，這樣的問(wèn)題稱(chēng)為實(shí)現(xiàn)問(wèn)題單入單出系統(tǒng)傳函：w（"二二二-二二I」，實(shí)現(xiàn)存在的條件是系統(tǒng)必須滿足m<=n，否則是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)是在所有的實(shí)現(xiàn)形式中，其維數(shù)最低的實(shí)現(xiàn)。即無(wú)零，極點(diǎn)對(duì)消的傳函的實(shí)現(xiàn)。三種常用最小實(shí)現(xiàn)：能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)（約旦型）4、能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)（約旦型）傳函無(wú)零點(diǎn)二—系統(tǒng)矩陣A的主對(duì)角線上方元素為1，最后一行元素是傳函特征多項(xiàng)式系數(shù)的負(fù)值，其余元素為0，A為友矩陣。控制矩陣b除最后一個(gè)元素是1，其他為0，矩陣A，b具有上述特點(diǎn)的狀態(tài)空間表達(dá)式稱(chēng)為能控標(biāo)準(zhǔn)型。將b與c矩陣元素互換，另輸出矩陣c除第一個(gè)元素為1外其他為0，矩陣A，c具有上述特點(diǎn)的狀態(tài)空間表達(dá)式稱(chēng)為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。傳函有零點(diǎn)見(jiàn)書(shū)p17頁(yè)........5、 建立空間狀態(tài)表達(dá)式的方法：①由結(jié)構(gòu)圖建立②有系統(tǒng)分析基里建立③由系統(tǒng)外部描述建立（傳函）6、 子系統(tǒng)在各種連接時(shí)的傳函矩陣：設(shè)子系統(tǒng)1為 子系統(tǒng)2為

Xf=4/]4-B|?|'力=+Z>i"1）并聯(lián)：?=（G,士G）「）+（。]土鞏）"x?=（G,士G）「）+（。]土鞏）"x2=AjX2+B2u2

y2=Cx,+D2u2所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：=[G（J-&廣。+DJ±[C2（sl-a2）^b2+d2]=*（S）±必⑴2） 串聯(lián)：由u1=u，u2=y1，y=y2得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:W（S）=W2（S）W1（S）注意不能寫(xiě)反，應(yīng)為矩陣乘法不滿足交換律3） 反饋：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：m。）（；：；；）（：）=GW,=G3-4.尸。-g.i4G3-W也GW（$）=W,（0[/+吼（$）圮3）廣W⑴二[I+叫⑴映）]偵⑴第二章：狀態(tài)空間表達(dá)式的解：1、狀態(tài)方程解的結(jié)構(gòu)特征：線性系統(tǒng)的一個(gè)基本屬性是滿足疊加原理，把系統(tǒng)同時(shí)在初始狀態(tài)。和輸入u作用下的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)x（t）分解為由初始狀態(tài)??:和輸入u分別單獨(dú)作用所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)（：）和■■:（［）的疊加。其中為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，它代表由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)。..：為系統(tǒng)的零初值響應(yīng)，它代表由系統(tǒng)的輸入所激勵(lì)的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。2、具有初始狀態(tài)和輸入作用的線性連續(xù)定常系統(tǒng)的解：x（t）=e4'x（O）+\ffu（r）dr求解廠'的方法：①直接定義計(jì)算②變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算③利用拉氏反變換④利用凱萊哈密頓定理。第三章：線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性：1、 能控性與能觀性的定義：線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=Ax+Bu；如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u（t），能在有限時(shí)間區(qū)間［t0，tf］內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x（t0）轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x（tf），則稱(chēng)次狀態(tài)是能控的；x=Ax,x（iD）=r0Cx如果對(duì)任意給定的輸入u（t），在有限的觀測(cè)時(shí)間t>t0內(nèi)，使得根據(jù)［t0,tf］期間的輸出y（t）能唯一的確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)x（t0），則稱(chēng)狀態(tài)x（t0）是能觀測(cè)的，若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀測(cè)的則稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。2、 能控性能觀性的判別：1）能控性：常用的有格拉姆矩陣判據(jù)，秩判據(jù)，約旦標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)，pbh判據(jù)約旦判據(jù)：若線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是輸入矩陣B沒(méi)有任何一行元素全部為零。若線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是①輸入矩陣B中對(duì)應(yīng)于每個(gè)約當(dāng)塊最后一行的元素不全為零②輸入矩陣B中對(duì)應(yīng)于互異特征根的各行元素不全為零一般系統(tǒng)的能控性判據(jù)：若系統(tǒng)矩陣A的特征值互異，A可變化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，此時(shí)系統(tǒng)完全能控的充要條件是「一-三的各行元素沒(méi)有全為零的行。若系統(tǒng)矩陣A的特征值有重根，A可變化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，此時(shí)系統(tǒng)完全能控的充要條件是①輸入矩陣「-一三中對(duì)應(yīng)于每個(gè)約當(dāng)塊最后一行的元素不全為零②輸入矩陣「-一三中對(duì)應(yīng)于互異特征根的各行元素中，沒(méi)有一行元素全部為零秩判據(jù)：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax+bu其狀態(tài)完全能控的充要條件是由A，b構(gòu)成的能控性矩陣M=［bAbA2b???.An-1b］滿秩，即rankM=n，否則當(dāng)rankM<n時(shí)系統(tǒng)為不完全能控。

2)能觀性：判別方法①通過(guò)線性變化把狀態(tài)空間表達(dá)式化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型下的C陣的特點(diǎn)判別其能觀性②直接根據(jù)A,C陣進(jìn)行判別約旦標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù)：若線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是輸出矩陣C中沒(méi)有任何一列元素全部為零；若線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是①輸出矩陣C中對(duì)應(yīng)于每個(gè)約旦塊第一列的一列元素不全為零②輸出矩陣C中對(duì)應(yīng)于互異特征值的各列元素中，沒(méi)有一列元素全部為零。秩判據(jù)：由A，C構(gòu)成的能觀性矩陣滿秩，即rankN=n。3、對(duì)偶關(guān)系:式中,為牡維狀態(tài)矢量捉虬，皿各為「與m維控制矢量；乂，以各為m滿秩，即rankN=n。3、對(duì)偶關(guān)系:式中,系統(tǒng)矩陣；虬，珥各為維控制矩陣；G，G各為顯然，是一個(gè)r維輸入m維輸出的系統(tǒng)矩陣；虬，珥各為維控制矩陣；G，G各為維輸出的n階系統(tǒng)。圖3.】1是對(duì)偶系統(tǒng)乙和的結(jié)構(gòu)圖，從圖中可以看出，互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換,信號(hào)傳遞方向相反◎信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置?4、對(duì)偶特性:矩陣轉(zhuǎn)置?w心)=G3-1)"饑根據(jù)圖3”lb,其傳遞函數(shù)矩陣W2(s) 矩陣：Wj(>)=g(nf廣也=職［(我-有廣丁C：對(duì)w2(s)取轉(zhuǎn)置:5、對(duì)偶原理： 曠、由此可知，對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的。

系統(tǒng)（4,q,G）和&=（A2,%,G）是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，則?的能控性等價(jià)于的能觀性，的能觀性等價(jià)于￡?的能控性?；蛘哒f(shuō)，若是狀態(tài)完全能控的（完全能觀的），則￡2是狀態(tài)完全能觀的（完全能控的）。證明對(duì)￡2而言，能控性判別矩陣（“xeQ：M2=的秩為n,則系統(tǒng)狀態(tài)為完全能控的。將式（3.53）的關(guān)系式代入上式有：M2=（C；,A[C；,…，（W）"”C：）=N]說(shuō)明的能觀性判別矩陣M的秩也為幾，從而說(shuō)明:為完全能觀的。同理有：N：=（C；,劉C；,…，（劉廣七；）=（B「A,Bit…，即若￡2的性滿秩，為完全能觀時(shí)，則?的"|亦滿秩而為狀態(tài)完全能控。6、能控能觀轉(zhuǎn)換及線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解：見(jiàn)書(shū)上吧…不好打…第四章：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法1、第一法與第二法的基本思想及判斷穩(wěn)定性步驟：第一法：又稱(chēng)為間接法，它通過(guò)求解系統(tǒng)狀態(tài)方程，根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性;基本思想：對(duì)非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)進(jìn)行小偏差線性化處理，之后領(lǐng)用線性系統(tǒng)特征值判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)上=0漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部。如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入'^引起的輸出y是有界的，則稱(chēng)系統(tǒng)是輸出穩(wěn)定（BI-BO穩(wěn)定），其穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)W（s）=c（s：-=）-I的極點(diǎn)全部位于S平面的左半面。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定與輸出穩(wěn)定的關(guān)系：態(tài)穩(wěn)定一定是輸出穩(wěn)定，但輸出穩(wěn)定不一定是狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定與輸出穩(wěn)定等價(jià)的條件是系統(tǒng)的傳函W（s）不出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，即系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且能觀。第一法的局限性：①為局部穩(wěn)定，不是全劇穩(wěn)定②f（x）必須是連續(xù)光滑的第二法：又稱(chēng)直接法，是通過(guò)一個(gè)叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來(lái)直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。基本思想：基于能量思想，定義一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V（x）作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)正定的標(biāo)量函數(shù)沿狀態(tài)軌線對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)定性質(zhì)來(lái)判斷穩(wěn)定性。V(x)V(x)

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