關(guān)于乒乓球在地面彈跳的運(yùn)動(dòng)分析及數(shù)學(xué)建模

PAGE1PAGE1關(guān)于乒乓球在地面彈跳的運(yùn)動(dòng)分析及數(shù)學(xué)建模**********中學(xué)高*（*）班（************）指導(dǎo)老師：***（物理）、****（數(shù)學(xué)）摘要生活我經(jīng)常碰見(jiàn)這種現(xiàn)象，乒乓球向上拋起然后乒乓球會(huì)落地并且在地面上一直彈跳直到靜止。本文對(duì)這種現(xiàn)象背后的物理原理和小球的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了細(xì)致深入的研究。乒乓球在地面彈跳，伴隨著能量轉(zhuǎn)換，表現(xiàn)形式為乒乓球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化。本文根據(jù)這種物理模型，搭建數(shù)學(xué)模型，并在Simulink平臺(tái)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Simulink仿真實(shí)驗(yàn)，包括一階積分形式的仿真和二階積分形式的仿真，都驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性。根據(jù)這個(gè)模型，可以深入理解乒乓球落地彈跳的一般規(guī)律，加深對(duì)課本上勻加速直線運(yùn)動(dòng)和初等微積分的理解，并且可以將這種規(guī)律運(yùn)用在生活的其他方面。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)建模Simulink運(yùn)動(dòng)分析

前言我們身邊有很多小球在地面反復(fù)彈跳最后靜止的現(xiàn)象，最典型的就是玩乒乓球的時(shí)候發(fā)現(xiàn)的乒乓球上拋落地然后多次彈跳直至停止。由于乒乓球體積和重量比較小，和空氣接觸面積不大，可以忽略空氣阻力。乒乓球的運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)部分，分別是勻加速直線運(yùn)動(dòng)部分和非彈性碰撞部分。乒乓球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，包括垂直向上運(yùn)動(dòng)和向下自由落體，加速度都是恒定的，也就是重力加速度。不同的是，垂直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度在減小，而向下自由落體時(shí)，速度在加快。乒乓球從地面彈起的過(guò)程是非彈性碰撞部分，球在落地的瞬間要發(fā)生變形（由于這種變形很小，肉眼很難觀察到），但這種變形是可以恢復(fù)的,就像彈簧一樣,當(dāng)這種變形達(dá)到極限開(kāi)始恢復(fù)的瞬間,小球開(kāi)始彈起。小球與地面的碰撞是非彈性碰撞，因此伴隨著機(jī)械能損失，導(dǎo)致的結(jié)果就是乒乓球彈起離開(kāi)地面的速度要小于乒乓球剛剛接觸地面的速度。為了研究的方便，簡(jiǎn)化乒乓球非線性碰撞部分的能力損失過(guò)程，假定乒乓球彈起離開(kāi)地面的速度是乒乓球剛剛接觸地面的速度k%（0<k%<1）。通過(guò)分析可以知道乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡將呈現(xiàn)，彈跳高度逐漸減小的反復(fù)碰撞。Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時(shí)間、離散采樣時(shí)間或兩種混合的采樣時(shí)間進(jìn)行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶(hù)接口(GUI)，這個(gè)創(chuàng)建過(guò)程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶(hù)可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。本文用來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性。分析及推導(dǎo)乒乓球運(yùn)動(dòng)學(xué)分析乒乓球在離開(kāi)地面的時(shí)候，忽略空氣阻力，只受到地球?qū)ζ古仪虻闹亓。如圖1所示，其中乒乓球初始速度大小是（本文約定豎直向下是速度的正方向），初值位置是。圖1乒乓球初始狀態(tài)受力分析示意圖設(shè)乒乓球的質(zhì)量為m，加速度為a，重力加速度為g。根據(jù)牛頓第二定律得（1）根據(jù)重力于質(zhì)量的關(guān)系又可以得到（2）乒乓球向上拋棄到第一次觸地之前都是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度根據(jù)公式（1）和公式（2）可知，（3）。下面假設(shè)乒乓球第一次觸地的速度是。由于乒乓球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從拋起到觸地的位移是，可知（4）根據(jù)公式（3）（4）可得根據(jù)前面說(shuō)明，假定乒乓球彈起離開(kāi)地面的速度是乒乓球剛剛接觸地面的速度k%（0<k%<1），設(shè)定第一次彈起的速度大小是，則。由于乒乓球在彈起到落地之間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，機(jī)械能守恒，也就是向上減速過(guò)程中，乒乓球的動(dòng)能轉(zhuǎn)換成重力勢(shì)能，乒乓球下降過(guò)程中重力勢(shì)能轉(zhuǎn)換成動(dòng)能，因此乒乓球第二次落地的速度大小。 同理乒乓球第二次彈起的速度，第三次落地的速度，以此類(lèi)推。乒乓球第n+1次落地的速度和第n次反彈的速度相當(dāng)，即。 綜上所述，乒乓球在第一次落地之后，一直做彈起、觸地、再?gòu)椘?、再觸地……的反復(fù)運(yùn)動(dòng)，且乒乓球觸地速度每碰撞一次地面，速度按k%衰減一次。可以畫(huà)出乒乓球的時(shí)間位置曲線如圖2所示。圖2乒乓球位置變化示意圖Simulink仿真驗(yàn)證乒乓球彈跳模型是典型的連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，乒乓球觸地的時(shí)候，會(huì)發(fā)生速度衰減，衰減比例是k%。 連續(xù)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可以由下面的表達(dá)式給出。，其中x和上面一樣表示小球位置，v表示小球速度，向下為正方向。乒乓球觸地的速度衰減過(guò)程可以由下面的表達(dá)式給出。表示乒乓球位置為0，即乒乓球觸地，，表示乒乓球反彈的速度相對(duì)于觸地前速度按比例k%衰減。在Simulink模型中，積分模塊是。加速度信號(hào)經(jīng)過(guò)一次積分后得到乒乓球的速度，乒乓球的速度經(jīng)過(guò)一次積分后得到乒乓球位置。為了研究方便，我們假定乒乓球的初始速度是10m/s，方向豎直向上。重力加速度是9.81，初始位置是10m，乒乓球碰撞地面時(shí)的速度衰減系數(shù)是80%。搭建的一階積分形式的仿真模型如圖3所示圖3一階積分形式的乒乓球彈跳模型 一階積分形式的Simulink仿真模型中，本文限定了乒乓球位置x>=0。可以看到模型中有兩個(gè)一階積分模塊。分別是加速度積分得到速度，還有速度積分得到位置。位置初始信號(hào)和速度初始信號(hào)由兩個(gè)初始化模塊分別給出。仿真時(shí)間為20秒，運(yùn)行完之后，通過(guò)點(diǎn)擊速度變化顯示器和位置變化顯示器可以得到，乒乓球的位置信息和乒乓球的速度信息。 一階積分形式的Simulink仿真模型得到的乒乓球位置隨時(shí)間變化曲線如圖4所示圖4乒乓球位置隨時(shí)間變化曲線一階積分形式的Simulink仿真模型得到的乒乓球速度隨時(shí)間變化曲線如圖5所示圖5乒乓球速度隨時(shí)間變化曲線 為了對(duì)比研究的方便，本文也建立的二階積分形式的Simulink仿真模型，模型結(jié)構(gòu)如圖6所示。圖6二階積分形式的Simulink仿真模型結(jié)論基于上述推算出來(lái)的數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB[3]仿真工具軟件，得到如下的圖形：圖1蹦極者重量、繩長(zhǎng)與最大速度的關(guān)系圖2蹦極者重量、繩長(zhǎng)與最大下落深度的關(guān)系圖3不同繩長(zhǎng)時(shí)蹦極者重量與最大下落深度的關(guān)系圖4不同繩長(zhǎng)時(shí)蹦極者重量與最大速度的關(guān)系圖5不同蹦極者重量時(shí)繩長(zhǎng)與最大下落深度的關(guān)系圖6不同蹦極者重量時(shí)繩長(zhǎng)與最大速度的關(guān)系由圖可見(jiàn)，在本文現(xiàn)有的數(shù)據(jù)條件下，空氣阻力對(duì)蹦極跳分析的影響不大（如果考慮蹦極者在下落過(guò)程中的翻滾等變化因素，空氣阻力對(duì)本模型的影響可能會(huì)更加復(fù)雜些）。一位蹦極者在蹦極過(guò)程中能夠獲得的最大速度、下落的最大深度和其本人體重以及彈簧繩長(zhǎng)度成一個(gè)近似線性的關(guān)系。如果希望得到不同的刺激體驗(yàn)，只需要準(zhǔn)備不同長(zhǎng)度的彈簧繩即可。而這一點(diǎn)可以通過(guò)在做準(zhǔn)備工作時(shí)，限制彈簧繩可拉伸的長(zhǎng)度段實(shí)現(xiàn)。因此不需要對(duì)現(xiàn)有的蹦極設(shè)施做過(guò)多修改，就可以提供可自由選擇的刺激程度。能夠讓更多的人接受，享受蹦極帶來(lái)的奇妙體驗(yàn)。參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)第一屆研究生數(shù)學(xué)建模賽題(2021.5.25)[2]趙也非，周自力，孫晶，《蹦極的數(shù)學(xué)建模及龍格－庫(kù)塔法求解方法》，2021[3]向?qū)Э萍季幹?，《MATLABv6.0程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用》，中國(guó)鐵道出版社

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對(duì)內(nèi)對(duì)外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱(chēng)的法律體現(xiàn)，因此，必須對(duì)印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項(xiàng)業(yè)務(wù)的正常運(yùn)作，由公司指定專(zhuān)人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類(lèi)公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門(mén)批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。專(zhuān)用章，為方便工作專(zhuān)門(mén)刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專(zhuān)用章、財(cái)務(wù)專(zhuān)用章、業(yè)務(wù)專(zhuān)用章、倉(cāng)庫(kù)簽收章等。3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定印章指定專(zhuān)人負(fù)責(zé)保管和使用，保管印章的地方(桌、柜等)要牢固加鎖，印章使用后要及時(shí)收存。財(cái)務(wù)專(zhuān)用章由財(cái)務(wù)部負(fù)責(zé)保管，向銀行備案的印章，應(yīng)由財(cái)務(wù)部會(huì)計(jì)、總經(jīng)辦分別保管。3、印章要注意保養(yǎng)，防止碰撞，還要及時(shí)清洗，以保持印跡清晰。4、一般情況下不得將印章攜出公司外使用，如確實(shí)因工作所需，則應(yīng)由印章管理員攜帶印章到場(chǎng)蓋章或監(jiān)印。5、印章管理人員離職或調(diào)任時(shí)，須履行印章交接手續(xù)。四、公章刻制印章需本公司法人代表批準(zhǔn)，并由印章管理專(zhuān)責(zé)人負(fù)責(zé)辦理刻制并啟用并交由專(zhuān)人進(jìn)行保管。五、印章的使用使用任何的印章，需由相應(yīng)負(fù)責(zé)人審核簽字。為方便工作，總經(jīng)理可授權(quán)印章管理專(zhuān)責(zé)人審核一般性事務(wù)用印。用印前印章管理人員須認(rèn)真審核，明確了解用印的內(nèi)容和目的，確認(rèn)符合用印的手續(xù)后，在用印登記簿上逐項(xiàng)登記，方可蓋章。3、對(duì)需要留存的材料，蓋印后應(yīng)留存一份立卷歸檔。4、不得在空白憑證、便箋上蓋章。5、上報(bào)有關(guān)部門(mén)的文件資料，未經(jīng)部門(mén)經(jīng)理、總經(jīng)理審簽，不得蓋章。6、以公司名義行文，未經(jīng)總經(jīng)理簽發(fā)，不得蓋章。7、按照合同會(huì)簽