關(guān)于乒乓球在地面彈跳的運動分析及數(shù)學(xué)建模

PAGE1PAGE1關(guān)于乒乓球在地面彈跳的運動分析及數(shù)學(xué)建模**********中學(xué)高*（*）班（************）指導(dǎo)老師：***（物理）、****（數(shù)學(xué)）摘要生活我經(jīng)常碰見這種現(xiàn)象，乒乓球向上拋起然后乒乓球會落地并且在地面上一直彈跳直到靜止。本文對這種現(xiàn)象背后的物理原理和小球的運動分析進行了細致深入的研究。乒乓球在地面彈跳，伴隨著能量轉(zhuǎn)換，表現(xiàn)形式為乒乓球運動狀態(tài)的變化。本文根據(jù)這種物理模型，搭建數(shù)學(xué)模型，并在Simulink平臺進行了仿真實驗驗證。Simulink仿真實驗，包括一階積分形式的仿真和二階積分形式的仿真，都驗證數(shù)學(xué)模型的正確性。根據(jù)這個模型，可以深入理解乒乓球落地彈跳的一般規(guī)律，加深對課本上勻加速直線運動和初等微積分的理解，并且可以將這種規(guī)律運用在生活的其他方面。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)建模Simulink運動分析

前言我們身邊有很多小球在地面反復(fù)彈跳最后靜止的現(xiàn)象，最典型的就是玩乒乓球的時候發(fā)現(xiàn)的乒乓球上拋落地然后多次彈跳直至停止。由于乒乓球體積和重量比較小，和空氣接觸面積不大，可以忽略空氣阻力。乒乓球的運動可以分為兩個部分，分別是勻加速直線運動部分和非彈性碰撞部分。乒乓球做勻加速直線運動時，包括垂直向上運動和向下自由落體，加速度都是恒定的，也就是重力加速度。不同的是，垂直向上運動時，速度在減小，而向下自由落體時，速度在加快。乒乓球從地面彈起的過程是非彈性碰撞部分，球在落地的瞬間要發(fā)生變形（由于這種變形很小，肉眼很難觀察到），但這種變形是可以恢復(fù)的,就像彈簧一樣,當這種變形達到極限開始恢復(fù)的瞬間,小球開始彈起。小球與地面的碰撞是非彈性碰撞，因此伴隨著機械能損失，導(dǎo)致的結(jié)果就是乒乓球彈起離開地面的速度要小于乒乓球剛剛接觸地面的速度。為了研究的方便，簡化乒乓球非線性碰撞部分的能力損失過程，假定乒乓球彈起離開地面的速度是乒乓球剛剛接觸地面的速度k%（0<k%<1）。通過分析可以知道乒乓球的運動軌跡將呈現(xiàn)，彈跳高度逐漸減小的反復(fù)碰撞。Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具，是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。Simulink可以用連續(xù)采樣時間、離散采樣時間或兩種混合的采樣時間進行建模，它也支持多速率系統(tǒng)，也就是系統(tǒng)中的不同部分具有不同的采樣速率。為了創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型，Simulink提供了一個建立模型方塊圖的圖形用戶接口(GUI)，這個創(chuàng)建過程只需單擊和拖動鼠標操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。本文用來驗證數(shù)學(xué)模型的正確性。分析及推導(dǎo)乒乓球運動學(xué)分析乒乓球在離開地面的時候，忽略空氣阻力，只受到地球?qū)ζ古仪虻闹亓。如圖1所示，其中乒乓球初始速度大小是（本文約定豎直向下是速度的正方向），初值位置是。圖1乒乓球初始狀態(tài)受力分析示意圖設(shè)乒乓球的質(zhì)量為m，加速度為a，重力加速度為g。根據(jù)牛頓第二定律得（1）根據(jù)重力于質(zhì)量的關(guān)系又可以得到（2）乒乓球向上拋棄到第一次觸地之前都是勻加速直線運動，加速度根據(jù)公式（1）和公式（2）可知，（3）。下面假設(shè)乒乓球第一次觸地的速度是。由于乒乓球做勻加速直線運動，從拋起到觸地的位移是，可知（4）根據(jù)公式（3）（4）可得根據(jù)前面說明，假定乒乓球彈起離開地面的速度是乒乓球剛剛接觸地面的速度k%（0<k%<1），設(shè)定第一次彈起的速度大小是，則。由于乒乓球在彈起到落地之間的運動過程，機械能守恒，也就是向上減速過程中，乒乓球的動能轉(zhuǎn)換成重力勢能，乒乓球下降過程中重力勢能轉(zhuǎn)換成動能，因此乒乓球第二次落地的速度大小。 同理乒乓球第二次彈起的速度，第三次落地的速度，以此類推。乒乓球第n+1次落地的速度和第n次反彈的速度相當，即。 綜上所述，乒乓球在第一次落地之后，一直做彈起、觸地、再彈起、再觸地……的反復(fù)運動，且乒乓球觸地速度每碰撞一次地面，速度按k%衰減一次?？梢援嫵銎古仪虻臅r間位置曲線如圖2所示。圖2乒乓球位置變化示意圖Simulink仿真驗證乒乓球彈跳模型是典型的連續(xù)時間動態(tài)變化過程，乒乓球觸地的時候，會發(fā)生速度衰減，衰減比例是k%。 連續(xù)動態(tài)變化過程可以由下面的表達式給出。，其中x和上面一樣表示小球位置，v表示小球速度，向下為正方向。乒乓球觸地的速度衰減過程可以由下面的表達式給出。表示乒乓球位置為0，即乒乓球觸地，，表示乒乓球反彈的速度相對于觸地前速度按比例k%衰減。在Simulink模型中，積分模塊是。加速度信號經(jīng)過一次積分后得到乒乓球的速度，乒乓球的速度經(jīng)過一次積分后得到乒乓球位置。為了研究方便，我們假定乒乓球的初始速度是10m/s，方向豎直向上。重力加速度是9.81，初始位置是10m，乒乓球碰撞地面時的速度衰減系數(shù)是80%。搭建的一階積分形式的仿真模型如圖3所示圖3一階積分形式的乒乓球彈跳模型 一階積分形式的Simulink仿真模型中，本文限定了乒乓球位置x>=0?？梢钥吹侥Ｐ椭杏袃蓚€一階積分模塊。分別是加速度積分得到速度，還有速度積分得到位置。位置初始信號和速度初始信號由兩個初始化模塊分別給出。仿真時間為20秒，運行完之后，通過點擊速度變化顯示器和位置變化顯示器可以得到，乒乓球的位置信息和乒乓球的速度信息。 一階積分形式的Simulink仿真模型得到的乒乓球位置隨時間變化曲線如圖4所示圖4乒乓球位置隨時間變化曲線一階積分形式的Simulink仿真模型得到的乒乓球速度隨時間變化曲線如圖5所示圖5乒乓球速度隨時間變化曲線 為了對比研究的方便，本文也建立的二階積分形式的Simulink仿真模型，模型結(jié)構(gòu)如圖6所示。圖6二階積分形式的Simulink仿真模型結(jié)論基于上述推算出來的數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB[3]仿真工具軟件，得到如下的圖形：圖1蹦極者重量、繩長與最大速度的關(guān)系圖2蹦極者重量、繩長與最大下落深度的關(guān)系圖3不同繩長時蹦極者重量與最大下落深度的關(guān)系圖4不同繩長時蹦極者重量與最大速度的關(guān)系圖5不同蹦極者重量時繩長與最大下落深度的關(guān)系圖6不同蹦極者重量時繩長與最大速度的關(guān)系由圖可見，在本文現(xiàn)有的數(shù)據(jù)條件下，空氣阻力對蹦極跳分析的影響不大（如果考慮蹦極者在下落過程中的翻滾等變化因素，空氣阻力對本模型的影響可能會更加復(fù)雜些）。一位蹦極者在蹦極過程中能夠獲得的最大速度、下落的最大深度和其本人體重以及彈簧繩長度成一個近似線性的關(guān)系。如果希望得到不同的刺激體驗，只需要準備不同長度的彈簧繩即可。而這一點可以通過在做準備工作時，限制彈簧繩可拉伸的長度段實現(xiàn)。因此不需要對現(xiàn)有的蹦極設(shè)施做過多修改，就可以提供可自由選擇的刺激程度。能夠讓更多的人接受，享受蹦極帶來的奇妙體驗。參考文獻[1]華東師范大學(xué)第一屆研究生數(shù)學(xué)建模賽題(2021.5.25)[2]趙也非，周自力，孫晶，《蹦極的數(shù)學(xué)建模及龍格－庫塔法求解方法》，2021[3]向?qū)Э萍季幹?，《MATLABv6.0程序設(shè)計與實例應(yīng)用》，中國鐵道出版社

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對內(nèi)對外行使權(quán)力的標志，也是公司名稱的法律體現(xiàn)，因此，必須對印章進行規(guī)范化、合理化的嚴格管理，以保證公司各項業(yè)務(wù)的正常運作，由公司指定專人負責管理。二、印章的種類公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門批準刻制的代表公司權(quán)力的印章。專用章，為方便工作專門刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專用章、財務(wù)專用章、業(yè)務(wù)專用章、倉庫簽收章等。3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定印章指定專人負責保管和使用，保管印章的地方(桌、柜等)要牢固加鎖，印章使用后要及時收存。財務(wù)專用章由財務(wù)部負責保管，向銀行備案的印章，應(yīng)由財務(wù)部會計、總經(jīng)辦分別保管。3、印章要注意保養(yǎng)，防止碰撞，還要及時清洗，以保持印跡清晰。4、一般情況下不得將印章攜出公司外使用，如確實因工作所需，則應(yīng)由印章管理員攜帶印章到場蓋章或監(jiān)印。5、印章管理人員離職或調(diào)任時，須履行印章交接手續(xù)。四、公章刻制印章需本公司法人代表批準，并由印章管理專責人負責辦理刻制并啟用并交由專人進行保管。五、印章的使用使用任何的印章，需由相應(yīng)負責人審核簽字。為方便工作，總經(jīng)理可授權(quán)印章管理專責人審核一般性事務(wù)用印。用印前印章管理人員須認真審核，明確了解用印的內(nèi)容和目的，確認符合用印的手續(xù)后，在用印登記簿上逐項登記，方可蓋章。3、對需要留存的材料，蓋印后應(yīng)留存一份立卷歸檔。4、不得在空白憑證、便箋上蓋章。5、上報有關(guān)部門的文件資料，未經(jīng)部門經(jīng)理、總經(jīng)理審簽，不得蓋章。6、以公司名義行文，未經(jīng)總經(jīng)理簽發(fā)，不得蓋章。7、按照合同會簽