立體幾何單元測試卷

立體幾何單元測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)1．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題：①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，m∥α，則m⊥β；④若m⊥α，m∥β，則α⊥β.其中為真命題的是()A．①③B．②③C．①④D．②④2．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()A.eq\f(8π,3)B.eq\f(8\r(2)π,3)C．8eq\r(2)πD.eq\f(32π,3)3．某個長方體被一個平面所截，得到幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為()A．4B．2eq\r(2)C.eq\f(20,3) D．84.如圖所示，正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，E為側棱PC的中點，則PA與BE所成的角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)5．如果底面直徑和高相等的圓柱的側面積是S，那么圓柱的體積等于A.B.C.D.6.如圖所示是一個直徑等于4的半球，現過半球底面的中心作一個與底面成80°角的截面，則截面的面積為()A.eq\f(π,2)B．πC．2π D．πsin80°7．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是A.若l⊥m，mα，則l⊥αB.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，mα，則l∥mD.若l∥α，m∥α，則l∥m8．二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A．150°B．45°C．60° D．120°9.如圖所示，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC10．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中點，G是DD1中點，F是BC上一點且FB＝eq\f(1,4)BC，則GB與EF所成的角為()A．30°B．120°C．60° D．90°11．已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，點P在線段BD1上，當∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為(A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,12)12.已知正三棱錐P—ABC的高PO為h，點D為側棱PC的中點，PO與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),3)，則正三棱錐P—ABC的體積為()A.eq\f(3\r(3),8)h3B.eq\f(2\r(3),8)h3C.eq\f(\r(3),8)h3 D.eq\f(3\r(3),4)h3二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．已知A、B、C、D為空間四個點，且A、B、C、D不共面，則直線AB與CD的位置關系是________．14．在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H，如果EH、FG相交于一點M，那么M一定在直線________上．15．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=______第15題圖16.判斷下列命題的正確性，并把所有正確命題的序號都填在橫線上__________①若直線a∥直線b，b平面α，則直線a∥平面α②在正方體內任意畫一條線段l，則該正方體的一個面上總存在直線與線段l垂直③若平面β⊥平面α，平面γ⊥α，則平面β∥平面γ④若直線a⊥平面α，直線b∥平面α，則直線b⊥直線a三、解答題(本大題共6小題，共70分17已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，如圖．(1)求證：MN∥面BB1C(2)求MN的長．18．(本小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點．(1)證明：PB∥平面ACM；(2)證明：AD⊥平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．19．(本小題滿分12分)如圖所示，在六面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求證：BF∥平面ACGD；(2)求二面角D－CG－F的余弦值．20.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=1，BC=2.（1）求證：A1C1⊥AB；（2）求點B1到平面ABC1的距離.21．(如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別為AE，AB的中點．(1)證明：PQ∥平面ACD；(2)求AD與平面ABE所成角的正弦值．22．(22．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求四面體B—DEF的體積．立體幾何單元測試卷答案1.C2.B3.D4.C5.D6.C7.B8.C9.C10.D11.B12.C13．異面14．BD15．16．②④17．解：(1)證明：作NP⊥AB于P，連接MP.NP∥BC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(A1M,A1B)，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN?面MPN，∴MN∥面BB1C(2)eq\f(NP,BC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(2),3)a,\r(2)a)＝eq\f(1,3)，NP＝eq\f(1,3)a，同理MP＝eq\f(2,3)a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝eq\r(\f(4,9)a2＋\f(1,9)a2)＝eq\f(\r(5),3)a.18.解析(1)連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O為BD的中點．又M為PD的中點，所以PB∥MO.因為PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因為∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)取DO中點N，連接MN，AN.因為M為PD的中點，所以MN∥PO，且MN＝eq\f(1,2)PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝eq\f(1,2)，所以DO＝eq\f(\r(5),2).從而AN＝eq\f(1,2)DO＝eq\f(\r(5),4).在Rt△ANM中，tan∠MAN＝eq\f(MN,AN)＝eq\f(1,\f(\r(5),4))＝eq\f(4\r(5),5)，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為eq\f(4\r(5),5).19．解析方法一：(1)設DG的中點為M，連接AM，FM.則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形．∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE.∵AB＝DE，∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四邊形ABFM是平行四邊形．∴BF∥AM.又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，且AD∩DG=D,∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF為所求二面角的平面角．連接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四邊形ACMD為平行四邊形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，∴MN＝eq\f(CM·MG,CG)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).在Rt△CMG中，∵MF＝2，MN＝eq\f(2\r(5),5)，∴FN＝eq\r(4＋\f(4,5))＝eq\f(2\r(30),5).∴cos∠MNF＝eq\f(MN,FN)＝eq\f(\f(2\r(5),5),\f(2\r(30),5))＝eq\f(\r(6),6).∴二面角D－CG－F的余弦值為eq\f(\r(6),6).方法二：由題意可得，AD，DE，DG兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)．(1)eq\o(BF,\s\up12(→))＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，eq\o(CG,\s\up12(→))＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(CG,\s\up12(→)).∴BF∥CG.又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)eq\o(FG,\s\up12(→))＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．設平面BCGF的法向量為n1＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(CG,\s\up12(→))＝y(tǒng)－2z＝0，,n1·\o(FG,\s\up12(→))＝－2x＋y＝0.))令y＝2，則n1＝(1,2,1)．則平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(1×1,\r(12＋22＋12)×\r(12＋02＋02))＝eq\f(\r(6),6).由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角D－CG－F的余弦值為eq\f(\r(6),6).20．17.證明：（1）連結，則又∵∴平面∴………4分又∵∴平面∴（2）由（1）知∵∵∴∴設所求距離為∵∴∴∴21．解：(1)證明：因為P，Q分別為AE，AB的中點，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ?平面ACD，從而PQ∥平面ACD.(2)如圖，連接CQ，DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因為DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝eq\f(1,2)EB＝DC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝eq\r(5)，DP＝1，sin∠DAP＝eq\f(\r(5),5)，因此AD和平面ABE所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5).22解：(1)證明：設AC與BD交于G，則G為AC中點，連接EG，GH，由于H為BC中點，故GH∥AB且G=eq\f(1,2)AB又∵EF綊eq\f(1,2)AB，∴EF綊GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，而EG?平面EDB，FH?平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)證明：由于四邊形