初中階段幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法

初中階段幾種重要的數(shù)學(xué)思想方法教育數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一般概括.它是從整體和思維的更高層次上指導(dǎo)學(xué)生有效地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，探尋解題的方向和途徑.通過概括、比較上升為數(shù)學(xué)能力，并通過數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生初步的科學(xué)方法論，提高思維素質(zhì)，增強(qiáng)思維能力。數(shù)學(xué)思想的教學(xué)使中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步走向現(xiàn)代化.初中課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想尚處于隱含、滲透的階段.畢業(yè)班復(fù)習(xí)輔導(dǎo)中有必要明確地突出其重要作用，使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到只有在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，才是科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，才具有很強(qiáng)的能動(dòng)作用和創(chuàng)造作用.一、轉(zhuǎn)化與化歸思想1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.數(shù)學(xué)中一切問題的解決(當(dāng)然包括解題)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.2.轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化等價(jià)轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果，不等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，不等價(jià)變形要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修改.3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便與解決.4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型（1）正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化；（2）常量與變量的轉(zhuǎn)化；（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化；（5）相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化；（6）實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.二、數(shù)形結(jié)合思想1.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老的、也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，因此它在數(shù)學(xué)中占有重要的地位.2.數(shù)形結(jié)合的解題方法特點(diǎn)是具有直觀性、靈活性、深刻性，并跨越各科的知識(shí)界限，有較強(qiáng)的綜合性.在復(fù)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，對(duì)鞏固和加深有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、打好基礎(chǔ)、提高能力是非常重要的.數(shù)形結(jié)合解題就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)的信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時(shí)，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，即化為幾何問題。從而利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢盡快地得到解題途徑，這對(duì)提高分析和解決問題的能力將有極大的幫助.數(shù)形結(jié)合的主要方法有：解析法、三角法、圖象法等.3.數(shù)形結(jié)合的主要途徑：（1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：即用代數(shù)方法研究幾何問題，這是解析幾何的基本特點(diǎn).（2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：即根據(jù)給出的“數(shù)式”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，用幾何方法解決代數(shù)問題.（3)數(shù)形結(jié)合：即用形研究數(shù)，用數(shù)研究形，相互結(jié)合，使問題變得直觀、簡捷、思路易尋.4、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，要注意兩點(diǎn)：（1)“形”中覓“數(shù)”：很多數(shù)學(xué)問題，需要根據(jù)圖形尋求數(shù)量關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形，使問題獲解.等,當(dāng)這些概念出現(xiàn)時(shí),一般要進(jìn)行分類討論.（2）公式分段表達(dá)在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常常要用到數(shù)學(xué)公式,若該公式是分段表達(dá)的,那么在應(yīng)用到這些公式時(shí),需分類討論。（3）實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),不論是化簡、求值還是論證,常常要進(jìn)行運(yùn)算,若在不同條件下實(shí)施這些運(yùn)算時(shí)會(huì)得到不同結(jié)果時(shí),會(huì)引起分類討論.（4）圖形位置不確定如果圖形的位置不確定,常常會(huì)引起分類討論,因此,如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結(jié)果時(shí),首先要有分類討論的意識(shí),其次要全面考察,分析各種可能的位置關(guān)系,然后合理分類討論,防止漏解.（5）圖形的形狀不同當(dāng)圖形的形狀不確定時(shí),要對(duì)各種可能出現(xiàn)的形狀進(jìn)行分析討論.（6）字母系數(shù)參與引起分類討論字母系數(shù)的出現(xiàn),常常會(huì)使問題出現(xiàn)多種不同情況影響了問題結(jié)果,從而引起分類討論.（7）條件不唯一引起分類討論由于條件不唯一,可能引起方程類型不確定,曲線種類不確定,位置關(guān)系不確定,形狀不確定等出現(xiàn),需要對(duì)不同情況合理分類,正確討論.總而言之,分類討論思想的本質(zhì)是邏輯劃分,可以用集合的觀點(diǎn)依據(jù)同一性、互斥性、層次性正確分類,并依據(jù)一定步驟合理地進(jìn)行分類討論,分類討論即是一種思想,又是一種策略,還是一種方法,它廣泛應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的問題解決中.四、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0.可以說，函數(shù)的研究離不開方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)的單調(diào)性、對(duì)稱性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是中考考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；如列表、規(guī)律探究等都可以看成n的函數(shù)，用函數(shù)方法解決。函數(shù)研究是數(shù)學(xué)的主線，它用聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)研究、描述客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依存關(guān)系，形成變量數(shù)學(xué)的一大重要基礎(chǔ)和分支。函數(shù)思想以函數(shù)知識(shí)做基石，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象間的數(shù)量關(guān)系，使函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用得到極大的擴(kuò)展，豐富并優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，給數(shù)學(xué)解題帶來一股很強(qiáng)的創(chuàng)新能力。因此，越來越成為數(shù)學(xué)中考的長考不衰的熱點(diǎn)。函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系十分密切。解方程f(x)＝0就是求函數(shù)y＝f(x)當(dāng)函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值；求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y＝f(x)與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)；合參數(shù)的方程f(x,y,t)=0和參數(shù)方程更是具有函數(shù)因素，屬能隨參數(shù)的變化而變化的動(dòng)態(tài)方程。它所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)不是一些孤立的點(diǎn)，而是具有某種共性的幾何曲線。正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫。函數(shù)思想在中考中的應(yīng)用主要是函數(shù)的概念。性質(zhì)及圖像的應(yīng)用，包括顯化、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、建立函數(shù)關(guān)系解題四個(gè)方面。方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程、不等式或它們的混合組，通過解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問題獲解。包括待定系數(shù)法，換元法、轉(zhuǎn)換法和構(gòu)造方程法四個(gè)方面。1．顯化函數(shù)關(guān)系在方程、不等式、最值、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問題中，將原有隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來，從而使用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)方法使問題獲解．2．轉(zhuǎn)換函數(shù)關(guān)系在函數(shù)性態(tài)、曲線性質(zhì)或不等式的綜合問題、恒成立問題中逆求參數(shù)的取值范圍，按照原有的函數(shù)關(guān)系很難奏效時(shí)，靈活轉(zhuǎn)換思維角度，放棄題設(shè)的主參限制，挑選合適的主變?cè)?，揭示它與其它變?cè)暮瘮?shù)關(guān)系，切人問題本質(zhì)，從而使原問題獲解．3．構(gòu)造函數(shù)關(guān)系在數(shù)學(xué)各分支形形色色的數(shù)學(xué)問題或綜合題中，將非函數(shù)問題的條件或結(jié)論、通過類比、聯(lián)想、抽象、概括等手段，構(gòu)造某些函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想和方法使原問題獲解，是函數(shù)思想解題的更高層次的體現(xiàn)，構(gòu)造時(shí)，要深入審題，充分發(fā)掘題設(shè)中可類比、聯(lián)想的因素，促進(jìn)思維遷移．4.建立函數(shù)關(guān)系對(duì)于實(shí)際問題，在正確過好事理關(guān)，文理關(guān)，明白題意后，根據(jù)題目的要求，選擇相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，是函數(shù)思想應(yīng)用的一個(gè)熱點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)．

5.待定系數(shù)法

把題目中待定的未知數(shù)（或參數(shù)）和已知數(shù)的等量關(guān)系揭示出來，建立方程（組）求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用．

6.轉(zhuǎn)換方程形式把題目中給定的方程根據(jù)題意轉(zhuǎn)換形式，凸現(xiàn)其隱含條件，充分發(fā)揮其方程性質(zhì)，有關(guān)方程的解的定理（如韋達(dá)定理，判別式、實(shí)根分布的充要條件）使原問題獲解，是方程思想應(yīng)用的又一個(gè)方面．7.構(gòu)造方程法分析題目中的未知量，根據(jù)條件布列關(guān)于未知數(shù)的方程（組），使原問題得到解決，叫構(gòu)造方程法，