第三章晶體對稱

第三章晶體對稱第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日對稱性

對稱是一個很常見的現(xiàn)象。在自然界我們可觀察到五瓣對稱的梅花、桃花，六瓣的水仙花、雪花、松樹葉沿枝干兩側對稱，槐樹葉、榕樹葉又是另一種對稱……在人工建筑中，北京的古皇城是中軸線對稱，在化學中，我們研究的分子、晶體等也有各種對稱性，有時會感覺這個分子對稱性比那個分子高，如何表達、衡量各種對稱？數(shù)學中定義了對稱元素來描述這些對稱。第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、對稱的概念

對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復。如圖I一4—3是由兩個全等的三角形組成，但它并不是對稱圖形。因此，對稱的圖形還必須符合另一個條件，那就是這些相同的部分，通過一定的操作(如旋轉、反映、反伸)可以發(fā)生重復，如圖I一4—1蝴碟的兩個相同的部分可以通過垂直平分它的鏡面的反映，彼此重合；圖I一4—2的花冠通過圍繞一報垂直它井通過它中心的直線旋轉，可以多次重復其原來的形象。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、晶體對稱的特點1.所有晶體均有對稱性因為晶體具有格子構造，格子構造本身就是質點在三維空間周期性重復出現(xiàn)。2.晶體對稱受空間格子構造規(guī)律的限制3.晶體對稱不僅外形上對稱，其物理、化學性質也體現(xiàn)在對稱上第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、對稱操作和對稱要素欲使對稱圖形中相同部分重復，必須通過一定的操作，這種操作就稱之為對稱操作。在進行對稱操作時所憑借的輔助幾何要素(點、線、面)稱為對稱要素。晶體外形可能存在的對稱要素和相應的對稱操作如下：第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日1．對稱面(P)對稱面是一個假想的平面；相應的對稱操作為對于比平面的反映。它將圖形平分為互為鏡像的兩個相等部分。對稱面以P表示，在晶體中可以無或有一個或幾個對稱面（最多有9個，立方體中）。第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日晶體中對稱面與晶面、晶棱可能有如下關系：1)垂直并平分晶面；

2)垂直晶棱并通過它的中心，

3)包含晶棱。第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2．對稱軸對稱軸是一條假想的直線；相應的對稱操作是圍繞此直線的旋轉。當圖形圍繞此直線旋轉一定角度后，可使相等部分重復。旋轉一周重復的次數(shù)稱為軸次(n）。重復時所旋轉的最小角度稱基轉角a，兩者之間的關系為n＝360／a。對稱軸以L表示，軸次n寫在它的右上角，寫作Ln。第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日晶體外形上可能出現(xiàn)的對稱軸如圖

I－4－I所列。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日

一次對稱軸L1無實際意義，因為晶體圍繞任一直線旋轉360度。軸可以恢復原狀。軸次高于2的對稱軸，稱高次軸。圖I一4—6舉例繪出了晶體中對稱軸L2L3L4和L6。第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日

晶體中不可能出現(xiàn)五次或高于六次的對稱軸。這是由于它們不符合空間格子的規(guī)律。在空間格子中，垂直對稱軸一定有面網(wǎng)存在，圍繞該對稱軸轉動所形成的多邊形應法符合于該面網(wǎng)上結點所圍成的網(wǎng)孔。第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日圖1－13垂直對稱軸的面網(wǎng)的網(wǎng)孔

abcdf分別表示L2L3L4L6的面網(wǎng)的網(wǎng)孔，符合格子構造，egh分別表示的面網(wǎng)的網(wǎng)孔，不符合格子構造第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日從書中圖1-13可以看出，圍繞L2、L3、L4、L6所形成的多邊形，都能毫無間隙地布滿平面，都可能符合空間格子的網(wǎng)孔。但垂直L5、L7和L8所形成的正五邊形、正七邊形和正八邊形卻不能毫無間隙地布滿平面，不符合空間格子的網(wǎng)孔，所以在晶體中不可能存在五次及高于六次的對稱軸，這一規(guī)律，稱為晶體的對稱定律。第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

在一個晶體中，可以無也可以有一種或幾種對稱軸，而每一種對稱軸也可以有一個或多個。如立方體有3L44L36L2(圖I一4—8)。在晶體中，對稱軸可能出露的位置為晶面的中心、晶棱的中點或角項〔圖I－4－8a)。第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3．對稱中心(C)對稱中心是一個假想的點；相應的對稱操作是對此點的反伸(或稱倒反)。如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端，必定可以找到對應點。

對稱中心以字母C來表示。第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日一個具有對稱中心的圖形，其相對應的面、棱、角部體現(xiàn)為反向平行。如圖I－4－10a，C為對稱中心，ABD與A1B1D1為反向平行，圖I－4－10b因ABA’B’與A1B1A1'B1'各自尚存在對中心，所以兩者既為反向平行，也為正向平行。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日反伸操作”可與“反映操作”做對比，兩者不同之點僅在于反伸憑借一個點，反映憑借一個面。第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日分子對稱性的對稱元素與對稱操作對稱元素對稱操作名稱符號對稱面L從平面的一側反映到另一側對稱心C所有原子以對稱心互相反演倒轉軸Lin繞軸一次或多次轉動，并對直線上一點反伸映轉軸Lsn繞軸轉動后，對垂直于軸的平面反映第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日四、對稱型及其晶體分類第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日1.對稱型概念晶體中全部對稱要素的組合稱晶體的對稱型，也稱點群。對稱型寫法：①先對稱軸L（按高到低順序）②其后為對稱面P③最后寫對稱中心C比如：立方體的對稱型為3L44L36L29PC第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.32種對稱型A類：27種，高次軸不多于1個的對稱型。B類：5種，高次軸多于一個的對稱型。第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.晶體的分類三斜晶系（L1

、C）低級晶族單斜晶系（有一個L2

或P）（不含高次軸）斜方晶系（L2或P多于一個）三方晶系（有一個L3）三大晶族中級晶族四方晶系（有一個L4或L4i）（有一個高次軸）六方晶系（有一個L6或L6i）

高級晶族等軸晶系（有4個L3）（有多個高次軸）第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日根據(jù)晶體對稱的特點可以對晶體進行合理的科學分類。

晶體分類體系：三大晶族、七大晶系、三十二晶類

首先，把屬于同一對稱型的晶體歸為一類，稱為晶類。晶體中存在32對稱型，亦即有32晶類。

根據(jù)是否有高次軸以及有一個或多個高次軸，把32個對稱型歸納為低、中、高級三個晶族。

在各晶族中，再根據(jù)對稱特點劃分晶系，晶系共有七個。它們是屬于低級晶族的三斜晶系(無對稱軸和對稱面)、單斜晶系(二次軸和對稱面各不多于一個)和斜方晶系(二次軸或對稱面多于一個)；屬于中級晶族的四方晶系(有一個四次軸)、三方晶系(有一個三次軸)和六方晶系(有一個六次軸)；屬于高級晶族的等軸晶系(有四個三次軸)。第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日低級晶族（無高次軸）三斜晶系（無L2，無P）單面晶類平行雙面晶類單斜晶系（L2或P不多于1個）軸雙面晶類反映雙面晶類斜方柱晶類斜方晶系（L2或P多于1個)斜方四面體晶類斜方單錐晶類斜方雙錐晶類第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日中級晶族（只有一個高次軸）三方晶系（有一個L3

）三方單錐晶類三方偏方面體晶類復三方單錐晶類菱面體晶類復三方偏三角面體晶類第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日四方晶系（有一個L4或L4i）四方單錐晶類四方偏方面體晶類四方雙錐晶類復四方單錐晶類復四方雙錐晶類四方四面體晶類復四方偏三角面體晶類第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日六方晶系（有一個L6或L6i）三方雙錐晶類復三方雙錐晶類六方單錐晶類六方偏方面體晶類六方雙錐晶類復六方單錐晶類復六方雙錐晶類第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日高級晶族（有數(shù)個高次軸）

等軸晶系（有四個L3）五角三四面體晶類偏方復十三面體晶類六四面體晶類五角三八面體晶類六八面體晶類第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日對稱型的國際符號（1）對稱型中對稱要素的國際符號對稱型國際符號所采用的對稱要素為對稱面、對稱軸和旋轉反伸軸，對應符號分別為：對稱面：m；一次、二次、三次、四次和六次旋轉軸分別為：1、2、3、4、6；一次、二次、三次、四次和六次旋轉反伸軸分別為：、、、、。由于L1i=C，L2i=P，在國際符號中用表示對稱中心C，用m表示L2i。旋轉反伸軸國際符號的讀法為，先讀旋轉軸次，再讀“一橫”。例如讀為“四，一橫”。第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日（2）對稱型國際符號的表示方法對稱型的國際符號不超過三位，書寫順序有嚴格規(guī)定，隨晶系的不同而不同，具體順序見表1-3。國際符號的書寫方法就是按表中要求的順序寫出各方向所含的對稱要素符號。對稱面的方向是其法線的方向。當軸向與對稱面法線處同一方向時用分式表示，軸次作分子，對稱面作分母，例如四次軸和對稱面法線方向一致，此方向的國際符號寫成4/m。第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日對稱型國際符號中三個位的取向晶系第Ⅰ方向第Ⅱ