第十章 電磁輻射及原理

第十章電磁輻射及原理第一頁，共八十頁，2022年，8月28日1.電流元輻射

一段載有均勻同相的時變電流的導線稱為電流元，而且d<<l，l<<

，l<<r。Ild均勻同相電流是指導線上各點電流的振幅相等，且相位相同。內壁電流電流元第二頁，共八十頁，2022年，8月28日電流元周圍介質是無限大的均勻線性且各向同性的理想介質。利用矢量磁位A計算輻射場。rIlzyx

,

P(x,y,z)O式中式中第三頁，共八十頁，2022年，8月28日分析天線的電輻射特性，使用球坐標系較為方便。rIlzyx

,

又因電流僅具有z

分量，即。矢量位A

在球坐標系中的各分量為AzAr-A因此第四頁，共八十頁，2022年，8月28日由求得磁場強度各個分量為由，或者，根據磁場強度算出電場強度為

第五頁，共八十頁，2022年，8月28日可見，在球坐標系中，z

向電流元場強具有，及三個分量，而分量。電流元產生的電磁場為TM

波。

rIlzyx

,

EErH第六頁，共八十頁，2022年，8月28日近區(qū)中的電磁場稱為近區(qū)場，遠區(qū)中的電磁場稱為遠區(qū)場。在電磁場中，物體的幾何尺寸無關緊要，重要的是物體的波長尺寸，即以波長度量的尺寸。的區(qū)域稱為近區(qū)；的區(qū)域稱為遠區(qū)。第七頁，共八十頁，2022年，8月28日對于近區(qū)場。因，，則低次項可以忽略，且令，那么

近區(qū)場與靜態(tài)場完全相同，無滯后現象，所以近區(qū)場稱為似穩(wěn)場。電場與磁場的時間相位差為，復能流密度的實部為零。能量沒有單向流動，完全被束縛在源的周圍，因此近區(qū)場又稱為束縛場。

恒定電流元

Il電偶極子

ql第八頁，共八十頁，2022年，8月28日對于遠區(qū)場。因，，則高次項可以忽略，只剩下兩個分量和，得式中為周圍介質的波阻抗。電流元遠區(qū)場的特點：①傳播方向為

r

，電場及磁場均與r

垂直，遠區(qū)場為TEM波，電場與磁場的關系為。

②電場與磁場同相，復能流密度僅有實部，能量不斷向外輻射，所以遠區(qū)場又稱為輻射場。第九頁，共八十頁，2022年，8月28日③遠區(qū)場強振幅與距離r

一次方成反比，這種衰減不是介質的損耗引起的，而是球面波的自然擴散。④遠區(qū)場強振幅還與觀察點所處的方位有關，這種特性稱為天線的方向性。與方位角及

有關的函數稱為方向性因子，以f(,)表示。

z方向電流元具有軸對稱特點，場強與方位角

無關，即。z向電流元在

=0的軸線方向上輻射為零，在與軸線垂直的

=90方向上輻射最強。第十頁，共八十頁，2022年，8月28日

⑤電場及磁場的方向與時間無關，遠區(qū)場為線極化。當然，在不同的方向上極化方向不同。

除了上述線極化特性外，其余四種特性是一切尺寸有限的天線遠區(qū)場的共性，即一切有限尺寸的天線，其遠區(qū)場為TEM波，是一種輻射場，其場強振幅不僅與距離成反比，同時也與方向有關。天線的極化特性和天線的類型有關。接收天線的極化特性必須與被接收的電磁波的極化特性一致，稱為極化匹配。第十一頁，共八十頁，2022年，8月28日遠區(qū)場中也有電磁能量的交換部分。但是由于交換部分的場強振幅至少與距離r2

成反比，而輻射部分的場強振幅與距離r

成反比，因此，遠區(qū)中交換部分所占的比重很小，近區(qū)中輻射部分可以忽略。近區(qū)場遠區(qū)場ErO第十二頁，共八十頁，2022年，8月28日為了計算輻射功率Pr，可將遠區(qū)中的復能流密度矢量的實部沿半徑為r

的球面進行積分,式中,Sc

為遠區(qū)中的復能流密度矢量。即即得式中電流I為有效值。

若周圍為真空，波阻抗，則輻射功率為第十三頁，共八十頁，2022年，8月28日為了衡量輻射功率的大小，使用輻射電阻Rr，其定義為電流元的輻射電阻為可見，電流元的波長尺寸越大，則輻射能力越強。

例計算位于原點的x方向電流元的遠區(qū)場。

則各球面坐標分量為因，，解第十四頁，共八十頁，2022年，8月28日對于遠區(qū)場僅需考慮與距離r

一次方成反比的分量。遠區(qū)場是向正

r

方向傳播的TEM波。因此，電場強度E為rIlzyx

,

P(x,y,z)O求得遠區(qū)磁場強度為第十五頁，共八十頁，2022年，8月28日可見，x方向電流元的不同場分量的方向性因子不同，此結果與z方向電流元完全不同。但是，并不意味著天線的輻射特性發(fā)生變化。電流元在其軸線方向上輻射為零，在與軸線垂直的方向上輻射最強。改變天線相對于坐標系的方位，其方向性因子的表示式隨之改變。第十六頁，共八十頁，2022年，8月28日2.天線方向性

使用歸一化方向性因子描述方向性比較方便。式中，fm

為方向性因子的最大值。歸一化方向性因子的最大值Fm=1。式中，為最強輻射方向上的場強振幅。其定義為任何天線的輻射場振幅可用歸一化方向性因子表示為第十七頁，共八十頁，2022年，8月28日利用歸一化方向性因子繪制天線的方向圖。通常使用直角坐標系或極坐標系。

z方向電流元的方向性因子，，。若用極坐標系，在任何

等于常數的平面內，函數的變化軌跡為兩個圓。

yzyx在的平面內，以

為變量的函數的軌跡為一個圓。

第十八頁，共八十頁，2022年，8月28日將

等于常數的平面內的方向圖圍繞z

軸旋轉一周，即構成三維空間方向圖。計算機繪制的三維空間的立體方向圖更能形象地描述天線輻射場強的空間分布。xzyxyzrEEHH電流元第十九頁，共八十頁，2022年，8月28日輻射最強的方向稱為主射方向，輻射為零的方向稱為零射方向。具有主射方向的方向葉稱為主葉，其余稱為副葉。場強為主射方向上場強振幅的倍的兩個方向之間的夾角稱為半功率角，以表示；兩個零射方向之間的夾角稱為零功率角，以表示。2

0主射方向主葉后葉副葉零射方向零射方向12

0.5第二十頁，共八十頁，2022年，8月28日當有向天線在主射方向上與無向天線在同一距離處獲得相等場強時，無向天線所需的輻射功率與有向天線的輻射功率之比值稱為方向性系數D

，式中,為有向天線主射方向上的場強振幅。為無向天線的場強振幅。方向性愈強，D

值愈高。方向性系數常以分貝表示。即即第二十一頁，共八十頁，2022年，8月28日已知有向天線的輻射功率為式中,S

代表以天線為中心的閉合球面。無向天線向周圍空間均勻輻射，其輻射功率為求得已知電流元的，求得電流元的。第二十二頁，共八十頁，2022年，8月28日實際天線具有損耗，輸入功率PA大于輻射功率Pr。Pr與PA之比稱為天線的效率,天線的增益以G表示。增益是在相同的場強下，無向天線的輸入功率PA0與有向天線的輸入功率PA

之比,無向天線的效率，得地球站的大型拋物面天線增益高達50dB以上。即即第二十三頁，共八十頁，2022年，8月28日3.對稱天線對稱天線是一根中心饋電，長度可與波長相比擬的載流導線。

LLdzyxIm電流分布以中點為對稱，因此稱為對稱天線。若導線直徑d

<<，電流沿線分布可以近似認為具有正弦駐波特性。兩端開路，電流為零，形成電流駐波的波節(jié)。波腹Im的位置取決于對稱天線的長度。第二十四頁，共八十頁，2022年，8月28日對稱天線的半長為L，沿z

軸放置，中點為原點，電流分布函數可以表示為式中,Im

為電流駐波的波腹電流。對稱天線可以看成是由很多電流振幅不等但相位相同的電流元排成一條直線形成的。利用電流元的遠區(qū)場公式即可直接計算對稱天線的輻射場。LLdzyxIm第二十五頁，共八十頁，2022年，8月28日已知電流元產生的遠區(qū)電場強度為由于，可以認為組成對稱天線的每個電流元對于觀察點P的指向是相同的,zyxPrdz'z'z'cosr'各個電流元在P

點產生的遠區(qū)電場方向相同，合成電場為各個電流元遠區(qū)電場的標量和,即即第二十六頁，共八十頁，2022年，8月28日考慮到，可以近似認為。但是相位因子中的r不能以r代替。由于，可以認為若周圍為理想介質，那么遠區(qū)輻射電場為方向性因子為可見，方向性因子僅為方位角

的函數。

第二十七頁，共八十頁，2022年，8月28日2L=/22L=2L=22L=3/2半波天線全波天線第二十八頁，共八十頁，2022年，8月28日例根據輻射電阻及方向性系數的定義，計算半波天線的輻射電阻及方向性系數。解根據半波天線的遠區(qū)電場公式，求得輻射功率為若定義輻射電阻為，則第二十九頁，共八十頁，2022年，8月28日對稱天線的電流分布是不均勻的，因此選取不同的電流作為參考電流，輻射電阻的數值將不同。常取波腹電流或輸入端電流作為輻射電阻的參考電流，分別稱為以波腹電流或輸入端電流為參考的輻射電阻。求得半波天線的D=1.64。半波天線的輸入端電流等于波腹電流，因此上述輻射電阻可以認為是以波腹電流或輸入端電流為參考的輻射電阻。半波天線電流元由第三十頁，共八十頁，2022年，8月28日4.天線陣輻射

由多個簡單天線構成的復合天線稱為天線陣。調整單元天線的類型、數目、電流振幅及相位、取向及間隔，即可形成所需的方向性。若各個單元天線的類型和取向均相同，且以相等的間隔

d排列在一條直線上。各單元天線的電流振幅均為I

，但相位依次逐一滯后同一數值

，那么，這種天線陣稱為均勻直線式天線陣。Ixzydddn4312Ie-jIe-j2Ie-j3Ie-j(n-1)dcosr1r4r3r2rnP第三十一頁，共八十頁，2022年，8月28日對于遠區(qū)，若觀察距離遠大于天線陣的尺寸，可以認為各個單元天線對于觀察點的取向是相同的。因單元天線的取向一致，各個單元天線產生的遠區(qū)場方向相同，天線陣的合成場等于各個單元天線場的標量和,第

i個單元天線的輻射場可以表示為式中,Ci決定于天線類型。對于均勻直線式天線陣，因各單元天線類型相同，則。又因取向一致，故。即第三十二頁，共八十頁，2022年，8月28日求得n

元天線陣的合成場強的振幅為

令對于遠區(qū)可以認為第三十三頁，共八十頁，2022年，8月28日則n

元天線陣場強的振幅可以表示為式中,稱為陣因子。

上述均勻直線式天線陣沿z軸放置，因此方向性因子僅為方位角

的函數。若以表示天線陣的方向性因子，則式中,為單元天線的方向性因子;為陣因子。方向圖乘法規(guī)則第三十四頁，共八十頁，2022年，8月28日可見，陣因子與單元天線的數目n、間距

d

及相位差

有關。已知陣因子為適當地變更單元天線的數目、間距及電流相位，即可改變天線陣的方向性。根據給定的方向性，確定天線陣的結構，這是天線陣的綜合問題。第三十五頁，共八十頁，2022年，8月28日陣因子達到最大值的條件為kdcos為空間相位差，為時間相位差。因此，兩者相等時，陣因子達到最大值。

陣因子達到最大值的角度為可見，陣因子的主射方向決定于單元天線之間的電流相位差及其間距。連續(xù)地改變單元天線之間的電流相位差，即可連續(xù)地改變天線陣的主射方向，這就是相控陣天線的工作原理。第三十六頁，共八十頁，2022年，8月28日單元天線電流相位相同的天線陣稱為同相陣。由，得可見，若不考慮單元天線的方向性，則主射方向垂直于天線陣的軸線，這種天線陣稱為邊射式天線陣。若電流相位差，得可見，若不考慮單元天線的方向性，則主射方向指向電流相位滯后的一端，這種天線陣稱為端射式天線陣。

第三十七頁，共八十頁，2022年，8月28日三種二元陣的方向圖

0d=/200d=/20–2d=/4根據方向圖乘法規(guī)則即可理解這些二元陣方向圖的形成原因。第三十八頁，共八十頁，2022年，8月28日例由四個相互平行的半波天線構成直線式四元天線陣。單元天線的間距為半波長，單元天線的電流同相，但電流振幅分別為，，試求與單元天線垂直的平面內的方向性因子。

yz1234zyx1234解這是一個非均勻的直線式天線陣，不能直接應用前述的均勻直線式天線陣公式。

但是單元天線②和③可以分別分解為兩個電流均為I的半波天線。第三十九頁，共八十頁，2022年，8月28日根據方向圖乘法規(guī)則，上述四元天線陣在yz平面內的方向性因子等于均勻直線式三元同相陣的陣因子與二元同相陣的陣因子的乘積。式中即該四元天線陣可以分解為兩個均勻直線式三元同相陣。兩個三元陣又構成一個均勻直線式二元同相陣。第四十頁，共八十頁，2022年，8月28日5.電流環(huán)輻射

電流環(huán)是一個載有均勻同相時變電流的導線圓環(huán)，其圓環(huán)半徑a<<

，且a<<r

。

設電流環(huán)周圍空間為無限大的均勻線性且各向同性的介質。建立直角坐標系，令電流環(huán)的中心位于坐標原點，且電流環(huán)所在平面與xy

平面一致。zyxaP.r第四十一頁，共八十頁，2022年，8月28日因結構對稱于z軸，電流環(huán)的場強與角度無關。為簡單起見，令觀察點P位于xz平面。

線電流產生的矢量位為根據幾何關系，近似求得式中為電流環(huán)的面積。zyxrareyxaeee-exr第四十二頁，共八十頁，2022年，8月28日可見，電流環(huán)產生的電磁場為TE波。由，求得電流環(huán)的磁場為再由，求得電流環(huán)的電場為第四十三頁，共八十頁，2022年，8月28日方向性因子可見，與z向電流元的方向性因子完全一樣。

電流環(huán)所在平面內輻射最強，垂直于電流環(huán)平面的z

軸方向為零。zy對于遠區(qū)場，因，只剩下及兩個分量.rISzyx

,

HES第四十四頁，共八十頁，2022年，8月28日電流環(huán)的輻射功率和輻射電阻分別為電流元及電流環(huán)的場強公式非常類似。電流元H

-電流環(huán)E;電流元E

-電流環(huán)H

rIlzyx

,

EHrISzyx

,

HE第四十五頁，共八十頁，2022年，8月28日例復合天線由電流元及電流環(huán)流構成。電流元的軸線垂直于電流環(huán)的平面。試求該復合天線的方向性因子及輻射場的極化特性。解令復合天線位于坐標原點，且電流元軸線與z

軸一致。E

=E1yxI1zI2電流環(huán)產生的遠區(qū)電場為E

=E2電流元產生的遠區(qū)電場為

第四十六頁，共八十頁，2022年，8月28日合成遠區(qū)電場為若I1與I2的相位差為，則合成場為線極化。因，兩個電場分量相互垂直，振幅不等，相位相差。復合天線的方向性因子仍為。E

=E1yxI1zI2E

=E2若I1與I2相位相同，合成場為橢圓極化。第四十七頁，共八十頁，2022年，8月28日6.對偶原理

電荷與電流是產生電磁場的惟一源。自然界中至今尚未發(fā)現任何磁荷與磁流存在。但是對于某些電磁場問題，引入假想的磁荷與磁流是有益的。引入磁荷與磁流后，麥克斯韋方程修改為

式中，J

m(r)為磁流密度；

m(r)為磁荷密度。磁荷守恒定律為第四十八頁，共八十頁，2022年，8月28日現將電場及磁場分為兩部分：一部分是由電荷及電流產生的電場及磁場；另一部分是由磁荷及磁流產生的電場及磁場，由于麥克斯韋方程是線性的，它們分別滿足的電磁場方程如下：

即第四十九頁，共八十頁，2022年，8月28日比較上述兩組方程，獲得以下對應關系：

這個對應關系稱為對偶原理。若已求出電荷及電流產生的電磁場，只要將其式中各個對應參量用對偶原理的關系置換以后，獲得的表示式即是具有相同分布特性的磁荷與磁流產生的電磁場。第五十頁，共八十頁，2022年，8月28日那么，z

方向磁流元Ilm產生的遠區(qū)場應為已知z

方向電流元Il的遠區(qū)場公式為rIlzyx

,

EH電流元rIm

lzyx

,

HE磁流元rISzyx

,

HE電流環(huán)第五十一頁，共八十頁，2022年，8月28日引入磁荷m

及磁流Im

后，兩個積分形式的麥克斯韋方程修改為

前述邊界條件也必須加以修正,但僅涉及電場強度的切向分量和磁場強度的法向分量，式中為表面磁流密度；為表面磁荷密度；由媒質①指向媒質②，如下圖所示。

1,12,2etenE1tE2tB1nB2n即第五十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

已知磁導率的理想導磁體，其內部不可能存在任何電磁場，但其表面可以存在假想的表面磁荷與磁流。HHEE理想導磁體理想導電體那么，理想導磁體的邊界條件為第五十三頁，共八十頁，2022年，8月28日7.鏡像原理

靜態(tài)場的鏡像原理同樣也適用于求解時變電磁場的邊值問題，但也僅能用于某些特殊的波源和邊界。設時變電流元Il位于無限大的理想導電平面附近，且垂直于該平面，如下圖所示。,IlIl,,I'l'引入的鏡像源必須保持原有的邊界條件。第五十四頁，共八十頁，2022年，8月28日E0r0E+E鏡像電流元為，且令，。正弦時變電流與時變電荷的關系為。時變電流元的電荷積累在電流元的兩端，上端電荷，下端電荷，如下左圖所示。-qqEIlIl-qq-q'q'I'l'這些電荷及電流分別在邊界上產生的電場強度，如上右圖所示。第五十五頁，共八十頁，2022年，8月28日由于引入鏡像源以后，整個空間變?yōu)榫鶆驘o限大的空間，因此可以通過矢量位

A

及標量位

計算場強。式中電流元Il

產生的電場強度為類似可以求得鏡像電流元產生的電場為式中第五十六頁，共八十頁，2022年，8月28日對于邊界平面上任一點已設，故。又，水平分量相互抵消，合成電場的方向垂直于邊界平面，滿足原有的邊界條件。由于鏡像電流元的方向與原來的電流元方向相同，這種鏡像電流元稱為正像。類似可以證明位于無限大理想導電平面附近的水平電流元的鏡像電流元為負像。E0r0E+EIl-qq-q'q'I'l'第五十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

電流元磁流元

鏡像法的求解可歸結為二元天線陣的求解。

對于實際地面，也可應用鏡像原理。但是，由于地面為非理想導電體，嚴格分析表明，只有當天線的架空高度以及觀察點離開地面的高度遠大于波長時，且僅對于遠區(qū)場的計算才可應用。？？理想導電平面附近磁流元的鏡像關系恰好與電流元情況完全相反，如下圖所示。第五十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

上半空間任一點場強可以認為是直接波

E1

與來自地面反射波

E2

之合成，且認為E1

與E2

的方向一致。因此，合成場為直接波與反射波的標量和，即直接波反射波r1r2地面E1E2由于地面處于天線的遠區(qū)范圍，天線的遠區(qū)場具有TEM波性質，反射系數R

可以近似看成是平面波在平面邊界上的反射系數。式中，R

為地面反射系數。實際地面對天線的影響歸結為一個非均勻二元天線陣。

第五十九頁，共八十頁，2022年，8月28日例利用鏡像原理，計算垂直接地的長度為l、電流為I

的電流元的輻射場強、輻射功率及輻射電阻。地面當作無限大的理想導電平面。IlIlE0,00,0解對于無限大的理想導電平面，垂直電流元的鏡像為正像。因此，上半空間的場強等于長度為2l

的電流元產生的輻射場，可見，場強振幅提高一倍。

IlE

0

,0即第六十頁，共八十頁，2022年，8月28日接地的電流元僅向上半空間輻射，計算輻射功率時僅需沿上半球面進行積分，對應的輻射電阻為可見，輻射電阻也提高一倍。中波廣播電臺使用的懸掛式垂直導線或自立式鐵塔，可以看成是一種垂直接地天線。對于中波波段，地面可近似當作導電體。天線附近的地面鋪設導電網，以提高電導率。即第六十一頁，共八十頁，2022年，8月28日磁棒天線接收信號時，磁棒應與電磁波的到達方向垂直，而且磁棒必須水平放置。如果磁棒垂直于地面，接收效果顯著變壞。短波波段使用水平半波天線。由于架空高度能與波長達到同一量級，地面的影響歸結為一個二元天線陣。調整天線的架空高度，即可在鉛垂面內形成具有一定仰角的主射方向，以便將電磁波射向地面上空的電離層，依靠電離層反射進行遠距離傳播。第六十二頁，共八十頁，2022年，8月28日8.互易原理

設區(qū)域V內充滿各向同性的線性介質，其中兩組同頻源

及

分別位于有限區(qū)域Va

及Vb

內。兩組源及其場滿足的麥克斯韋方程分別為第六十三頁，共八十頁，2022年，8月28日由，麥克斯韋方程可以求得下面兩個方程：上兩式分別稱為互易原理的微分形式和積分形式。互易原理描述了兩組同頻源及其場強之間的關系。因此，若已知一組源與其場的關系，利用互易原理可以建立另一組源與其場的關系。

第六十四頁，共八十頁，2022年，8月28日若閉合面S僅包圍源a或源b，則分別得到下列結果：若閉合面S不包括任何源，則上述面積分為零，若閉合面S包括了全部源，則上述面積分也為零。即第六十五頁，共八十頁，2022年，8月28日無論S

的大小如何，只要S

包圍了全部源，它都等于右端對的積分。

可見，前式左端的面積分應為常量。為了求出這個常量，令S面無限地擴大至遠區(qū)范圍，由于遠區(qū)場具有TEM波特性，即。代入前式，則左端面積分被積函數中兩項相互抵消，導致面積分為零，即上式成立。稱為洛倫茲互易定理。第六十六頁，共八十頁，2022年，8月28日既然上式成立，那么下式右端體積分為零，或寫為此式稱為卡森互易定理。

即上述互易定理成立并不要求空間是均勻的?？梢宰C明，當V中局部區(qū)域內存在理想導電體或理想導磁體時，卡森互易定理應該仍然成立。第六十七頁，共八十頁，2022年，8月28日根據矢量混合積公式，可得上兩式中及均表示相應場強的切向分量。那么，在遠區(qū)閉合面S與理想導電體表面或理想導磁體表面包圍的區(qū)域中，卡森互易定理仍然成立。S第六十八頁，共八十頁，2022年，8月28日例利用互易定理，證明位于有限尺寸的理想導電體表面附近的切向電流元沒有輻射作用。

解鏡像法是否可用？

令電流元與Ea

平行，在電流元附近產生的電場為Eb，應用卡森互易定理，得第六十九頁，共八十頁，2022年，8月28日故只可能

。但是考慮到電流元

Il=(JdS)l=JdV，求得得。但，第七十頁，共八十頁，2022年，8月28日9.惠更斯原理

包圍波源的閉合面上各點場都可作為二次波源，它們共同決定面外場，這就是惠更斯原理。這些二次波源稱為惠更斯元。

S源ESHSEPHP閉合面上全部ES,HS共同決定閉合面外EP及HP

。為了導出EP

,HP與ES,HS

之間的定量關系，令場點P位于閉合面S與S之間的無源區(qū)V中。

xVSSrP源

z

y

Oenenr'r–r'第七十一頁，共八十頁，2022年，8月28日可以證明，與的關系式為上式稱為基爾霍夫公式。因為它是通過直角坐標分量利用標量格林定理導出的，故又稱為標量繞射公式。式中自由空間格林函數。還有其他公式描述惠更斯原理。第七十二頁，共八十頁，2022年，8月28日惠更斯原理意味電磁能量由波源到達場點的過程中電磁波傳播占據一定的空間，而不是沿一條線傳播。閉合面上各點的惠更斯元對于空間某點場強的貢獻有所不同，主要貢獻來自于閉合面上面對場點的惠更斯源。認為到達場點的電磁能量僅沿一條線傳播的觀點即是幾何光學的射線原理。