第四章流體運動學

第一篇流體力學基礎

緒論場論與正交曲線坐標流體靜力學流體運動學第一章第二章第三章第四章退出返回第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、微團運動和整體運動流體運動的全部范圍叫“流場”，經(jīng)過管道或明渠流動的流場叫“通道流場”或“徑流流場”，繞過物體流動的流場叫“繞流流場”。從微觀的角度來看，充滿流場的是流體的分子。但流體動力學不討論微觀的分子運動，只討論宏觀的質(zhì)點和微團運動。所謂流體的質(zhì)點，是指流場中極小的單元，在這個單元中流體的運動參量是相同的。嚴格來講，流體和固體不同，由于流體分子之間的作用力較固體小，它占有一定的空間，但可以不保持一定的形狀，并可以互相移位，所以運動中的流體，其分子之間的運動參量并不相同。由無數(shù)分子組成的流體質(zhì)點其參量也不會相同，但是可以認為其中參量的差別非常小，可以看成是相同的。流體微團是由質(zhì)點組成的，其中質(zhì)點的流動參量的差別趨于微量，這樣在討論流場中參量變化規(guī)律時，從微團出發(fā)便于進行數(shù)學處理。

第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第1頁第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第2頁流場的整體運動由許許多多的微團運動所組成，各個微團的流動參量并不相同，因此在整體運動中各處的運動參量是不同的，而且相當復雜。流體動力學的基本理論都是從流體微團運動出發(fā)而推導出來的。對于整體運動，采用參量的平均值（如平均流速、平均密度等）來描述，并加以必要的修正，然后通過試驗驗證，最后用于指導實踐。計算流體力學則是通過數(shù)值計算途徑直接將微團理論應用到整體運動中，解決整體運動的各種計算問題。二、研究流體運動的兩種方法在描述流體質(zhì)點運動時，通常采用兩種方法。一種叫拉格朗日法，一種叫歐拉法。按笛卡爾正交坐標系統(tǒng)特性，兩者區(qū)別如下：（一）拉格朗日法拉格朗日法是研究流場內(nèi)個別流體質(zhì)點在不同時刻其位置、流速、壓力的變化。也就是用不同質(zhì)點的運動參量隨時間的變化來描述流體的運動。用這種方法可以表示和了解流體個別質(zhì)點的各種參量隨時間的變化情況。第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第3頁因為拉格朗日法描述每一個流體質(zhì)點的運動，所以必須把流場中連續(xù)存在的質(zhì)點加以區(qū)別。取某一起始時刻時質(zhì)點的空間坐標位置（a，b，c）作為區(qū)別該質(zhì)點的標識，稱為拉格朗日變數(shù)。質(zhì)點在流場中是連續(xù)存在的，所以拉格朗日變數(shù)在坐標系中也是連續(xù)存在的。質(zhì)點的空間位置既隨不同質(zhì)點而異，又隨時間不同而變化，也就是說質(zhì)點的空間位置（x，y，z）是拉格朗日變數(shù)（a，b，c）和時間t的函數(shù)

例如

（4.1）

第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第4頁當時，質(zhì)點的坐標位置為（a，b，c）。到其它位置，但是與（a，b，c）有關，這樣就可以區(qū)別不同的質(zhì)點及其運動情況。

時，該質(zhì)點運動由（4.1）式可知，質(zhì)點的運動速度也是（a，b，c）與t的函數(shù)

（4.2）這是因為a，b，c不隨時間變化，所以、、、、、。

第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第5頁同樣，質(zhì)點的加速度也是拉格朗日變數(shù)與時間的函數(shù)

不同質(zhì)點的流體其壓力和密度也同樣是（a，b，c）與t的函數(shù)（4.3）

（4.4）

（4.5）第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第6頁由此可見，用拉格朗日法可以描述各個質(zhì)點在不同時刻的參量變化。因為拉格朗日法是追蹤個別質(zhì)點的描述方法，所以用它可以研究流體運動的軌跡和軌跡上各流動參量的變化。但是用這種方法研究整個流場的特性是不方便的。因而，除個別情況（如研究流體的波動和振蕩等）外，都不采用拉格朗日法。（二）歐拉法

歐拉法是研究整個流場內(nèi)不同位置上的流體質(zhì)點的流動參量隨時間的變化。也就是用同一瞬時的全部流體質(zhì)點的流動參量來描述流體的運動。用這種方法不能表示個別質(zhì)點從起始到終了的全部運動過程。因為空間內(nèi)的同一個位置，在此時刻為一個質(zhì)點所占據(jù)，在另外時刻，則可能為另外一個質(zhì)點所占據(jù)。它不象拉格朗日法那樣，只要是同一個拉格朗日變數(shù)（a，b，c），不管在任何時刻都表示同一個質(zhì)點。但是歐拉法可以表示同一瞬時整個流場的參量，這在工程實際上是非常有用的。第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第7頁既然歐拉法是描述流場內(nèi)不同位置的質(zhì)點的流動參量隨時間的變化，所以流動參量是空間坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，對速度、壓力和密度為

（4.6）

（4.7）

（4.8）第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第8頁同樣因為質(zhì)點在流場內(nèi)是連續(xù)的，所以流體加速度的各分量為

（4.9）寫成矢量形式

（4.10）第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第9頁上式中稱為流體運動的局部加速度，或稱時變加速度，它是由速度加速度，它是由速度場的不均勻性引起的。質(zhì)點的總加速度等于兩者之和。場隨時間的變化引起的；稱為流體運動的遷移加速度，或稱位變流體質(zhì)點的物理量對于時間的變化率稱為該質(zhì)點物理量的導數(shù)，簡稱質(zhì)點導數(shù)。任一物理量B對時間的變化率可寫成把加速度分解成局部和遷移兩部分的做法，可以推廣到其它物理量如p、等。

（4.11）（三）兩種描述方法的關系拉格朗日法和歐拉法兩種表達式可以互換。例如，從拉格朗日法的坐標位置表達式（4.1），可以求出用x，y，z，t表示的拉格朗日變數(shù)a，b，c的關系式第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第10頁

將式（a）代入式（4.2），即可得到歐拉法的表達式（4.6）。反之，將歐拉法的質(zhì)點速度表達式（4.6）代入式（4.2），可得到（a）

（b）

第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第11頁將（b）式進行積分，則

式中C1，C2，C3為積分常數(shù)。因為按拉格朗日法，當（起始時刻）時，、、，所以（c）

據(jù)此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表達式

（e）（d）第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第一節(jié)

流體運動的描述

第12頁將（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表達式（4.1）。由于兩種方法的互換性，故它們在流體動力學的研究中都可采用。但歐拉法比較簡便，在討論整體流場的運動特性時大多采用該方法。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第1頁除了研究流體質(zhì)點的流動參量隨時間的變化情況外，為了使整個流場形象化，從而得到不同流場的運動特性，還要研究同一瞬時質(zhì)點與質(zhì)點間或同一質(zhì)點在不同時刻流動參量的關系，也就是質(zhì)點參量的綜合特性。前者稱為流線研究法，后者稱為跡線研究法。一、跡線跡線就是流體質(zhì)點運動的軌跡線。在一般情況下，只有以拉格朗日法表示流體質(zhì)點運動時才能作出跡線。跡線的特點是：對于每一個質(zhì)點都有一個運動軌跡，所以跡線是一族曲線，而且跡線只隨質(zhì)點不同而異，與時間無關。在以歐拉法表示流體運動特性時，可以用歐拉法與拉格朗日法的互換求出描述跡線的方程式。例如，一個流場的歐拉表達式為

第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第2頁

由于

則

這就是質(zhì)點的軌跡微分方程式，即跡線微分方程式，其中t是獨立變量。

（4.12）例題4.1設有一流場，其歐拉表達式為

求此流場的跡線方程式。第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第3頁

解

求解上述微分方程，得到

當時，，，，代入上式得到

將A，B，C值代入前式得到

這就是流場中的跡線方程式，也就是質(zhì)點空間坐標的拉格朗日表達式，它表示一跡線族。若某一個質(zhì)點，當時其起始位置，則這個質(zhì)點的跡線方程式為

，，第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第4頁

若將連續(xù)的不同時間t代入上式，得到一系列空間坐標（x，y，z），由此可描繪出該質(zhì)點的軌跡。二、流線

任一時刻t，流場中每一點均可沿該點速度方向作一微元線段，這些線段的連線構(gòu)成一簇曲線，這些曲線中的每一條均稱為流線。所以流線上任意一點的切線方向就是該點的流速方向。根據(jù)上述流線的特性可以推導出流線方程式。設流線上任一點M（x，y，z）的速度為w，坐標軸上的三個分速度wx，wy，wz，w的方向余弦為

，，而在M點的切線T與坐標軸之間夾角的余弦為

，，第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第5頁

是在M點流線上的微元弧長，，，為由于流線的切線T與速度w重合，所以兩者與坐標軸的夾角余弦應相等，即，，在坐標軸方向上的分量。由此可得

這就是流線微分方程式。積分上式時，t保持不變，可得到兩個曲面方程，（4.13）它們的交線即為時刻t的流線方程。例題4.2設有流場，其速度矢為，求時通過點（1，1，1）的流線方程。第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第6頁

解：此流場中的流線微分方程式為

保持t不變，積分上式得到

t=0時，x=1，y=1，z=1，則C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流線

方程式為第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第7頁

跡線和流線都是流場中的曲線族，都與流體運動有關，但它們代表了不同的概念。流線表示在某一瞬時流場中各流動質(zhì)點的運動傾向，既反映質(zhì)點在當時的流速大小，又反映其流動方向，即反映了流動速度向量。速度向量是隨時間改變的，流線也必然隨時間改變。跡線是某個流體質(zhì)點在一段時間內(nèi)經(jīng)過的路程。質(zhì)點是沿著跡線運動的，并不沿著流線運動。從流線與跡線方程也可以看出通過某質(zhì)點的流線與該質(zhì)點的跡線是不同的。跡線方程以時間t為自變量，流線方程中時間t是給定量，t不同，流線方程也不同。對于穩(wěn)定流動，流場中任何點的流動參量不隨時間改變，流線和跡線是一致的。因為這時流線已經(jīng)不隨時間而改變，也就是說，不管任何時刻，質(zhì)點都是沿著流線在運動，所以流線也就是跡線。第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第8頁

三、流管l圖4.1流管在流場內(nèi)取任意封閉曲線l（圖4.1），通過曲線l上每一點連續(xù)地作流線，則流線族構(gòu)成一個管狀曲面，叫做流管。因為流管是由流線組成的，所以流管上各點的流速都沿其切線方向，而不穿過流管表面。所以流體不能由外面進入流管，也不能由流管向外流出。流管就象剛體管壁一樣，把流體的運動局限在流管之內(nèi)（或流管之外）。實際管道流動中，緊貼管壁的那一層流體也構(gòu)成流管。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第1頁

一、環(huán)量和旋度如圖4.2所示，在流場內(nèi)取任意封閉曲線l，曲線上任一點B的速度w沿曲線切線方向的分速度為wl，靠近B點取微元弧長為沿曲線，則稱L的環(huán)量，以Г表示

（4.14）計算環(huán)量的積分方向是按逆時針方向為正，因此環(huán)量也可以按右手法則決定其正負。如果用向量表示，則

（4.15）

，

在直角坐標系中所以

（4.16）第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第2頁

dlwlMo圖4.2環(huán)量和旋度ABwl在流場內(nèi)取一點M（圖4.2），曲面A包含M點，為曲面在M點的法線單位向量，曲面的周線為l，則環(huán)量與旋度有下列關系當與的方向一致時，有

（4.17）此式說明在流場中一點取與該點旋度方向一致的微元曲面，則該曲面單位面積的環(huán)量與曲面趨近點的旋度的絕對值相等。第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日表示沿l的平均角速度。當A→0時，M與o重合，M點的旋度等于周線l上各點對M點角速度平均值的兩倍，或者說某一點的角速度等于該點旋度的一半。這樣便建立了流場的旋度與該點角速度的關系。旋度僅與流場中位置有關，即視流速特性而定，與質(zhì)點的跡線無關。

第四章流體運動學退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第3頁

下面討論旋度的物理意義。當A→0時，曲面A趨近于平面，可以認為，則

（4.18）式中二、通量和散度在流場內(nèi)取任意曲面A（圖4.3），n為其法線。單位時間內(nèi)流過A的流體體積叫做曲面A的通量或流量，以Q表示。（4.19）

第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果在流場中封閉曲面A包圍的體積為，則當→0時，單位體積的通量叫做M點的散度，以第四章流體運動學退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第4頁

圖4.4六面體微團xyzo表示

(4.20）

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第5頁

按式（4.20）的定義

（4.21）

這就是散度在直角坐標系中的計算式。上面推導中，包含M點的封閉曲面形狀是任意的，而在推導式（4.21）時，包含M點的微小六面體的方位也是任意的，所以散度只與M點位置有關，即僅是坐標（x，y，z）的函數(shù)。第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第四節(jié)微元流體線的運動

第1頁

在研究流體運動特性時，除了分析流線和流束外，還必須了解流動參量與流體運動方式的關系。流體的運動方式，除了有和剛體運動相同的平移運動和旋轉(zhuǎn)運動外，還有形狀變化和體積變化。微團的形狀變化叫切變運動，微團體積的變化叫膨脹運動。所以流體微團有上述四種可能的運動。這四種運動都可以通過流動參量表示出來。在研究流體微團運動之前，先研究微元流體線的運動。在某時刻t，在流場中任取一段微元流體線（圖4.5）。該微元流體線上各質(zhì)點的運動速度并不相同，若A點的運動速度為wx、wy、wz，則B點的運動速度為第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第2頁

第四節(jié)微元流體線的運動

圖4.5微元流體線的運動

owxAzxyBwx+wxwy+wywz+wzwywzr顯然流體線的變形包含著伸縮和轉(zhuǎn)動，現(xiàn)討論如下。一、微元流體線的線變形速率定義：單位時間內(nèi)微元流體線的相對伸長率稱為線變形速率。由于故可按定義分別寫出、、的線變形速率，并分別以、、表示。的線變形速率可寫成

（4.22）第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第3頁

第四節(jié)微元流體線的運動

同理可寫出y、z方向的線變形速率：

（4.23）

（4.24）二、微元流體線的轉(zhuǎn)動速率定義：微元流體線的轉(zhuǎn)動角速度稱為轉(zhuǎn)動速率。一條微元流體線段可以有兩個轉(zhuǎn)動自由度，例如既可以在xoz平面內(nèi)繞y軸轉(zhuǎn)動，又可以在xoy平面內(nèi)繞z軸轉(zhuǎn)動。、在xoz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動為例，如圖4.6所示，按定義，繞y軸向z軸方向轉(zhuǎn)動的角速度為以

（4.25）第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第4頁

第四節(jié)微元流體線的運動

圖4.6微元流體線的轉(zhuǎn)動

owxxzxwzz同理繞y軸向x軸方向轉(zhuǎn)動的角速度為

同樣可得到其它平面內(nèi)的相應微元流體線的轉(zhuǎn)動角速度

（4.27）

（4.28）

（4.29）

（4.30）

（4.26）第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第1頁

第五節(jié)流體微團的運動一、平均轉(zhuǎn)動速率定義：過某流體質(zhì)點M的所有流體線的轉(zhuǎn)動速度的平均值稱為該質(zhì)點的平均轉(zhuǎn)動速率。以xoy平面為例，過質(zhì)點M作半徑為dr的圓，圓周線上的速度如圖4.7所示。沿圓周上的速度環(huán)量Γ為式中

，，，且有代入上式得

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第2頁

第五節(jié)流體微團的運動Mdr圖4.7流體微團平均轉(zhuǎn)動速率owxxydxwydydlld由于、、、與、無關，且與無關，則上式積分結(jié)果為由（4.18）式可知

而

，所以得到同理可得到繞x、y軸的平均轉(zhuǎn)動速率為繞z軸的平均轉(zhuǎn)動速率為

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第3頁

第五節(jié)流體微團的運動由此得到流體微團的整體平均轉(zhuǎn)動速率為

（4.31）因為只是流場中某點（即微團極點M）的坐標和時間的函數(shù)，所以微團的旋轉(zhuǎn)速度也只是極點坐標和時間的函數(shù)，其數(shù)值等于極點M附近的點對M點的旋轉(zhuǎn)速度的平均值。如果微團內(nèi)各點的旋轉(zhuǎn)速度都等于則微團只有轉(zhuǎn)動，不發(fā)生變形；否則微團除去轉(zhuǎn)動外，還會發(fā)生變形，即發(fā)生切變運動。二、角變形速率——切變速率微團的角變形是由于微團內(nèi)各點對M點的旋轉(zhuǎn)角速度不均勻引起的。單位時間的角變形叫做切變速率或角變形速率，通常以線相對轉(zhuǎn)動速率表示。第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第4頁

第五節(jié)流體微團的運動圖4.8流體微團的角變形

owxxyxwyyMz以xoy平面內(nèi)的微元流體線、為例（圖4.8），向y軸轉(zhuǎn)動，向x軸轉(zhuǎn)動的絕對轉(zhuǎn)動角速度為，M點的旋轉(zhuǎn)角速度為第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第5頁

第五節(jié)流體微團的運動、相對M點的轉(zhuǎn)動角速度為

同理，其它兩個平面內(nèi)的流體線的相對轉(zhuǎn)動角速度為

可見，，，，即線相對轉(zhuǎn)動速率具有對稱性。第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第6頁

第五節(jié)流體微團的運動上述六式可寫成

為正時，微元體角變形減小，稱為收縮切變；為負時，微元體角變形增大，稱為擴展切變。微團的切變速率可寫成

（4.32）和旋轉(zhuǎn)速度相同，微團的切變速率也只是M點的坐標和時間的函數(shù)。三個線變形速率和六個角變形速率構(gòu)成一個二階對稱張量

式（4.33）中，當時為線變形速率張量；當時為角變形速率張量。（4.33）第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第7頁團的體積為

第五節(jié)流體微團的運動三、體積膨脹速率定義：單位時間內(nèi)微元流體團的體積膨脹稱為體積膨脹速率。在t時刻，微元流體團的體積為

在時刻，微元流體

按上述定義，體積膨脹速率為

（4.34）可見，體積膨脹速率等于線變形速率之和。對于不可壓縮流體，流體的體積不會發(fā)生變化，因此對應的體積膨脹速率為零，即

（4.35）第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第8頁

第五節(jié)流體微團的運動此時，雖然流體的線變形速率可以不等于零，但三個微元線段的線變形速率之和等于零。四、流體微團速度分解定理如圖4.5所示，流場中任取一微元流體線段A、B的速度差為（略去高階微量）

（4.36），其端點由于流體微團整體轉(zhuǎn)動引起的相對運動速度為

（4.37）

第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運動學退出返回第9頁

第五節(jié)流體微團的運動

式（4.36）可寫成

這