第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一篇流體力學(xué)基礎(chǔ)

緒論場(chǎng)論與正交曲線坐標(biāo)流體靜力學(xué)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)第一章第二章第三章第四章退出返回第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日一、微團(tuán)運(yùn)動(dòng)和整體運(yùn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)的全部范圍叫“流場(chǎng)”，經(jīng)過管道或明渠流動(dòng)的流場(chǎng)叫“通道流場(chǎng)”或“徑流流場(chǎng)”，繞過物體流動(dòng)的流場(chǎng)叫“繞流流場(chǎng)”。從微觀的角度來看，充滿流場(chǎng)的是流體的分子。但流體動(dòng)力學(xué)不討論微觀的分子運(yùn)動(dòng)，只討論宏觀的質(zhì)點(diǎn)和微團(tuán)運(yùn)動(dòng)。所謂流體的質(zhì)點(diǎn)，是指流場(chǎng)中極小的單元，在這個(gè)單元中流體的運(yùn)動(dòng)參量是相同的。嚴(yán)格來講，流體和固體不同，由于流體分子之間的作用力較固體小，它占有一定的空間，但可以不保持一定的形狀，并可以互相移位，所以運(yùn)動(dòng)中的流體，其分子之間的運(yùn)動(dòng)參量并不相同。由無數(shù)分子組成的流體質(zhì)點(diǎn)其參量也不會(huì)相同，但是可以認(rèn)為其中參量的差別非常小，可以看成是相同的。流體微團(tuán)是由質(zhì)點(diǎn)組成的，其中質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量的差別趨于微量，這樣在討論流場(chǎng)中參量變化規(guī)律時(shí)，從微團(tuán)出發(fā)便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。

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流體運(yùn)動(dòng)的描述

第1頁第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第2頁流場(chǎng)的整體運(yùn)動(dòng)由許許多多的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)所組成，各個(gè)微團(tuán)的流動(dòng)參量并不相同，因此在整體運(yùn)動(dòng)中各處的運(yùn)動(dòng)參量是不同的，而且相當(dāng)復(fù)雜。流體動(dòng)力學(xué)的基本理論都是從流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)出發(fā)而推導(dǎo)出來的。對(duì)于整體運(yùn)動(dòng)，采用參量的平均值（如平均流速、平均密度等）來描述，并加以必要的修正，然后通過試驗(yàn)驗(yàn)證，最后用于指導(dǎo)實(shí)踐。計(jì)算流體力學(xué)則是通過數(shù)值計(jì)算途徑直接將微團(tuán)理論應(yīng)用到整體運(yùn)動(dòng)中，解決整體運(yùn)動(dòng)的各種計(jì)算問題。二、研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法在描述流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常采用兩種方法。一種叫拉格朗日法，一種叫歐拉法。按笛卡爾正交坐標(biāo)系統(tǒng)特性，兩者區(qū)別如下：（一）拉格朗日法拉格朗日法是研究流場(chǎng)內(nèi)個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻其位置、流速、壓力的變化。也就是用不同質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間的變化來描述流體的運(yùn)動(dòng)。用這種方法可以表示和了解流體個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的各種參量隨時(shí)間的變化情況。第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第3頁因?yàn)槔窭嗜辗枋雒恳粋€(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所以必須把流場(chǎng)中連續(xù)存在的質(zhì)點(diǎn)加以區(qū)別。取某一起始時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)位置（a，b，c）作為區(qū)別該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)，稱為拉格朗日變數(shù)。質(zhì)點(diǎn)在流場(chǎng)中是連續(xù)存在的，所以拉格朗日變數(shù)在坐標(biāo)系中也是連續(xù)存在的。質(zhì)點(diǎn)的空間位置既隨不同質(zhì)點(diǎn)而異，又隨時(shí)間不同而變化，也就是說質(zhì)點(diǎn)的空間位置（x，y，z）是拉格朗日變數(shù)（a，b，c）和時(shí)間t的函數(shù)

例如

（4.1）

第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第4頁當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置為（a，b，c）。到其它位置，但是與（a，b，c）有關(guān)，這樣就可以區(qū)別不同的質(zhì)點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)情況。

時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)由（4.1）式可知，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也是（a，b，c）與t的函數(shù)

（4.2）這是因?yàn)閍，b，c不隨時(shí)間變化，所以、、、、、。

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流體運(yùn)動(dòng)的描述

第5頁同樣，質(zhì)點(diǎn)的加速度也是拉格朗日變數(shù)與時(shí)間的函數(shù)

不同質(zhì)點(diǎn)的流體其壓力和密度也同樣是（a，b，c）與t的函數(shù)（4.3）

（4.4）

（4.5）第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第6頁由此可見，用拉格朗日法可以描述各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的參量變化。因?yàn)槔窭嗜辗ㄊ亲粉檪€(gè)別質(zhì)點(diǎn)的描述方法，所以用它可以研究流體運(yùn)動(dòng)的軌跡和軌跡上各流動(dòng)參量的變化。但是用這種方法研究整個(gè)流場(chǎng)的特性是不方便的。因而，除個(gè)別情況（如研究流體的波動(dòng)和振蕩等）外，都不采用拉格朗日法。（二）歐拉法

歐拉法是研究整個(gè)流場(chǎng)內(nèi)不同位置上的流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量隨時(shí)間的變化。也就是用同一瞬時(shí)的全部流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量來描述流體的運(yùn)動(dòng)。用這種方法不能表示個(gè)別質(zhì)點(diǎn)從起始到終了的全部運(yùn)動(dòng)過程。因?yàn)榭臻g內(nèi)的同一個(gè)位置，在此時(shí)刻為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)，在另外時(shí)刻，則可能為另外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。它不象拉格朗日法那樣，只要是同一個(gè)拉格朗日變數(shù)（a，b，c），不管在任何時(shí)刻都表示同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。但是歐拉法可以表示同一瞬時(shí)整個(gè)流場(chǎng)的參量，這在工程實(shí)際上是非常有用的。第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第7頁既然歐拉法是描述流場(chǎng)內(nèi)不同位置的質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量隨時(shí)間的變化，所以流動(dòng)參量是空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)，對(duì)速度、壓力和密度為

（4.6）

（4.7）

（4.8）第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第8頁同樣因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在流場(chǎng)內(nèi)是連續(xù)的，所以流體加速度的各分量為

（4.9）寫成矢量形式

（4.10）第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第9頁上式中稱為流體運(yùn)動(dòng)的局部加速度，或稱時(shí)變加速度，它是由速度加速度，它是由速度場(chǎng)的不均勻性引起的。質(zhì)點(diǎn)的總加速度等于兩者之和。場(chǎng)隨時(shí)間的變化引起的；稱為流體運(yùn)動(dòng)的遷移加速度，或稱位變流體質(zhì)點(diǎn)的物理量對(duì)于時(shí)間的變化率稱為該質(zhì)點(diǎn)物理量的導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)稱質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。任一物理量B對(duì)時(shí)間的變化率可寫成把加速度分解成局部和遷移兩部分的做法，可以推廣到其它物理量如p、等。

（4.11）（三）兩種描述方法的關(guān)系拉格朗日法和歐拉法兩種表達(dá)式可以互換。例如，從拉格朗日法的坐標(biāo)位置表達(dá)式（4.1），可以求出用x，y，z，t表示的拉格朗日變數(shù)a，b，c的關(guān)系式第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第10頁

將式（a）代入式（4.2），即可得到歐拉法的表達(dá)式（4.6）。反之，將歐拉法的質(zhì)點(diǎn)速度表達(dá)式（4.6）代入式（4.2），可得到（a）

（b）

第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第11頁將（b）式進(jìn)行積分，則

式中C1，C2，C3為積分常數(shù)。因?yàn)榘蠢窭嗜辗?，?dāng)（起始時(shí)刻）時(shí)，、、，所以（c）

據(jù)此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表達(dá)式

（e）（d）第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第一節(jié)

流體運(yùn)動(dòng)的描述

第12頁將（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表達(dá)式（4.1）。由于兩種方法的互換性，故它們?cè)诹黧w動(dòng)力學(xué)的研究中都可采用。但歐拉法比較簡(jiǎn)便，在討論整體流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)特性時(shí)大多采用該方法。第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第1頁除了研究流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量隨時(shí)間的變化情況外，為了使整個(gè)流場(chǎng)形象化，從而得到不同流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)特性，還要研究同一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)間或同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻流動(dòng)參量的關(guān)系，也就是質(zhì)點(diǎn)參量的綜合特性。前者稱為流線研究法，后者稱為跡線研究法。一、跡線跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。在一般情況下，只有以拉格朗日法表示流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)才能作出跡線。跡線的特點(diǎn)是：對(duì)于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，所以跡線是一族曲線，而且跡線只隨質(zhì)點(diǎn)不同而異，與時(shí)間無關(guān)。在以歐拉法表示流體運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，可以用歐拉法與拉格朗日法的互換求出描述跡線的方程式。例如，一個(gè)流場(chǎng)的歐拉表達(dá)式為

第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第2頁

由于

則

這就是質(zhì)點(diǎn)的軌跡微分方程式，即跡線微分方程式，其中t是獨(dú)立變量。

（4.12）例題4.1設(shè)有一流場(chǎng)，其歐拉表達(dá)式為

求此流場(chǎng)的跡線方程式。第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第3頁

解

求解上述微分方程，得到

當(dāng)時(shí)，，，，代入上式得到

將A，B，C值代入前式得到

這就是流場(chǎng)中的跡線方程式，也就是質(zhì)點(diǎn)空間坐標(biāo)的拉格朗日表達(dá)式，它表示一跡線族。若某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)其起始位置，則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的跡線方程式為

，，第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第4頁

若將連續(xù)的不同時(shí)間t代入上式，得到一系列空間坐標(biāo)（x，y，z），由此可描繪出該質(zhì)點(diǎn)的軌跡。二、流線

任一時(shí)刻t，流場(chǎng)中每一點(diǎn)均可沿該點(diǎn)速度方向作一微元線段，這些線段的連線構(gòu)成一簇曲線，這些曲線中的每一條均稱為流線。所以流線上任意一點(diǎn)的切線方向就是該點(diǎn)的流速方向。根據(jù)上述流線的特性可以推導(dǎo)出流線方程式。設(shè)流線上任一點(diǎn)M（x，y，z）的速度為w，坐標(biāo)軸上的三個(gè)分速度wx，wy，wz，w的方向余弦為

，，而在M點(diǎn)的切線T與坐標(biāo)軸之間夾角的余弦為

，，第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第5頁

是在M點(diǎn)流線上的微元弧長(zhǎng)，，，為由于流線的切線T與速度w重合，所以兩者與坐標(biāo)軸的夾角余弦應(yīng)相等，即，，在坐標(biāo)軸方向上的分量。由此可得

這就是流線微分方程式。積分上式時(shí)，t保持不變，可得到兩個(gè)曲面方程，（4.13）它們的交線即為時(shí)刻t的流線方程。例題4.2設(shè)有流場(chǎng)，其速度矢為，求時(shí)通過點(diǎn)（1，1，1）的流線方程。第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第6頁

解：此流場(chǎng)中的流線微分方程式為

保持t不變，積分上式得到

t=0時(shí)，x=1，y=1，z=1，則C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流線

方程式為第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第7頁

跡線和流線都是流場(chǎng)中的曲線族，都與流體運(yùn)動(dòng)有關(guān)，但它們代表了不同的概念。流線表示在某一瞬時(shí)流場(chǎng)中各流動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)傾向，既反映質(zhì)點(diǎn)在當(dāng)時(shí)的流速大小，又反映其流動(dòng)方向，即反映了流動(dòng)速度向量。速度向量是隨時(shí)間改變的，流線也必然隨時(shí)間改變。跡線是某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程。質(zhì)點(diǎn)是沿著跡線運(yùn)動(dòng)的，并不沿著流線運(yùn)動(dòng)。從流線與跡線方程也可以看出通過某質(zhì)點(diǎn)的流線與該質(zhì)點(diǎn)的跡線是不同的。跡線方程以時(shí)間t為自變量，流線方程中時(shí)間t是給定量，t不同，流線方程也不同。對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)，流場(chǎng)中任何點(diǎn)的流動(dòng)參量不隨時(shí)間改變，流線和跡線是一致的。因?yàn)檫@時(shí)流線已經(jīng)不隨時(shí)間而改變，也就是說，不管任何時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)都是沿著流線在運(yùn)動(dòng)，所以流線也就是跡線。第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第二節(jié)跡線、流線、流管

第8頁

三、流管l圖4.1流管在流場(chǎng)內(nèi)取任意封閉曲線l（圖4.1），通過曲線l上每一點(diǎn)連續(xù)地作流線，則流線族構(gòu)成一個(gè)管狀曲面，叫做流管。因?yàn)榱鞴苁怯闪骶€組成的，所以流管上各點(diǎn)的流速都沿其切線方向，而不穿過流管表面。所以流體不能由外面進(jìn)入流管，也不能由流管向外流出。流管就象剛體管壁一樣，把流體的運(yùn)動(dòng)局限在流管之內(nèi)（或流管之外）。實(shí)際管道流動(dòng)中，緊貼管壁的那一層流體也構(gòu)成流管。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第1頁

一、環(huán)量和旋度如圖4.2所示，在流場(chǎng)內(nèi)取任意封閉曲線l，曲線上任一點(diǎn)B的速度w沿曲線切線方向的分速度為wl，靠近B點(diǎn)取微元弧長(zhǎng)為沿曲線，則稱L的環(huán)量，以Г表示

（4.14）計(jì)算環(huán)量的積分方向是按逆時(shí)針方向?yàn)檎虼谁h(huán)量也可以按右手法則決定其正負(fù)。如果用向量表示，則

（4.15）

，

在直角坐標(biāo)系中所以

（4.16）第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第2頁

dlwlMo圖4.2環(huán)量和旋度ABwl在流場(chǎng)內(nèi)取一點(diǎn)M（圖4.2），曲面A包含M點(diǎn)，為曲面在M點(diǎn)的法線單位向量，曲面的周線為l，則環(huán)量與旋度有下列關(guān)系當(dāng)與的方向一致時(shí)，有

（4.17）此式說明在流場(chǎng)中一點(diǎn)取與該點(diǎn)旋度方向一致的微元曲面，則該曲面單位面積的環(huán)量與曲面趨近點(diǎn)的旋度的絕對(duì)值相等。第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日表示沿l的平均角速度。當(dāng)A→0時(shí)，M與o重合，M點(diǎn)的旋度等于周線l上各點(diǎn)對(duì)M點(diǎn)角速度平均值的兩倍，或者說某一點(diǎn)的角速度等于該點(diǎn)旋度的一半。這樣便建立了流場(chǎng)的旋度與該點(diǎn)角速度的關(guān)系。旋度僅與流場(chǎng)中位置有關(guān)，即視流速特性而定，與質(zhì)點(diǎn)的跡線無關(guān)。

第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第3頁

下面討論旋度的物理意義。當(dāng)A→0時(shí)，曲面A趨近于平面，可以認(rèn)為，則

（4.18）式中二、通量和散度在流場(chǎng)內(nèi)取任意曲面A（圖4.3），n為其法線。單位時(shí)間內(nèi)流過A的流體體積叫做曲面A的通量或流量，以Q表示。（4.19）

第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日如果在流場(chǎng)中封閉曲面A包圍的體積為，則當(dāng)→0時(shí)，單位體積的通量叫做M點(diǎn)的散度，以第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第4頁

圖4.4六面體微團(tuán)xyzo表示

(4.20）

第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第三節(jié)環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義

第5頁

按式（4.20）的定義

（4.21）

這就是散度在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算式。上面推導(dǎo)中，包含M點(diǎn)的封閉曲面形狀是任意的，而在推導(dǎo)式（4.21）時(shí)，包含M點(diǎn)的微小六面體的方位也是任意的，所以散度只與M點(diǎn)位置有關(guān)，即僅是坐標(biāo)（x，y，z）的函數(shù)。第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第四節(jié)微元流體線的運(yùn)動(dòng)

第1頁

在研究流體運(yùn)動(dòng)特性時(shí)，除了分析流線和流束外，還必須了解流動(dòng)參量與流體運(yùn)動(dòng)方式的關(guān)系。流體的運(yùn)動(dòng)方式，除了有和剛體運(yùn)動(dòng)相同的平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)外，還有形狀變化和體積變化。微團(tuán)的形狀變化叫切變運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)體積的變化叫膨脹運(yùn)動(dòng)。所以流體微團(tuán)有上述四種可能的運(yùn)動(dòng)。這四種運(yùn)動(dòng)都可以通過流動(dòng)參量表示出來。在研究流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)之前，先研究微元流體線的運(yùn)動(dòng)。在某時(shí)刻t，在流場(chǎng)中任取一段微元流體線（圖4.5）。該微元流體線上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度并不相同，若A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為wx、wy、wz，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第2頁

第四節(jié)微元流體線的運(yùn)動(dòng)

圖4.5微元流體線的運(yùn)動(dòng)

owxAzxyBwx+wxwy+wywz+wzwywzr顯然流體線的變形包含著伸縮和轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)討論如下。一、微元流體線的線變形速率定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)微元流體線的相對(duì)伸長(zhǎng)率稱為線變形速率。由于故可按定義分別寫出、、的線變形速率，并分別以、、表示。的線變形速率可寫成

（4.22）第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第3頁

第四節(jié)微元流體線的運(yùn)動(dòng)

同理可寫出y、z方向的線變形速率：

（4.23）

（4.24）二、微元流體線的轉(zhuǎn)動(dòng)速率定義：微元流體線的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度稱為轉(zhuǎn)動(dòng)速率。一條微元流體線段可以有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，例如既可以在xoz平面內(nèi)繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，又可以在xoy平面內(nèi)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。、在xoz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)為例，如圖4.6所示，按定義，繞y軸向z軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為以

（4.25）第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第4頁

第四節(jié)微元流體線的運(yùn)動(dòng)

圖4.6微元流體線的轉(zhuǎn)動(dòng)

owxxzxwzz同理繞y軸向x軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

同樣可得到其它平面內(nèi)的相應(yīng)微元流體線的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

（4.27）

（4.28）

（4.29）

（4.30）

（4.26）第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第1頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)一、平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率定義：過某流體質(zhì)點(diǎn)M的所有流體線的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的平均值稱為該質(zhì)點(diǎn)的平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率。以xoy平面為例，過質(zhì)點(diǎn)M作半徑為dr的圓，圓周線上的速度如圖4.7所示。沿圓周上的速度環(huán)量Γ為式中

，，，且有代入上式得

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第2頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)Mdr圖4.7流體微團(tuán)平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率owxxydxwydydlld由于、、、與、無關(guān)，且與無關(guān)，則上式積分結(jié)果為由（4.18）式可知

而

，所以得到同理可得到繞x、y軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率為繞z軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率為

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第3頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)由此得到流體微團(tuán)的整體平均轉(zhuǎn)動(dòng)速率為

（4.31）因?yàn)橹皇橇鲌?chǎng)中某點(diǎn)（即微團(tuán)極點(diǎn)M）的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，所以微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)速度也只是極點(diǎn)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，其數(shù)值等于極點(diǎn)M附近的點(diǎn)對(duì)M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度的平均值。如果微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)速度都等于則微團(tuán)只有轉(zhuǎn)動(dòng)，不發(fā)生變形；否則微團(tuán)除去轉(zhuǎn)動(dòng)外，還會(huì)發(fā)生變形，即發(fā)生切變運(yùn)動(dòng)。二、角變形速率——切變速率微團(tuán)的角變形是由于微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)對(duì)M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度不均勻引起的。單位時(shí)間的角變形叫做切變速率或角變形速率，通常以線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)速率表示。第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第4頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)圖4.8流體微團(tuán)的角變形

owxxyxwyyMz以xoy平面內(nèi)的微元流體線、為例（圖4.8），向y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，向x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的絕對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，M點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度為第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第5頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)、相對(duì)M點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

同理，其它兩個(gè)平面內(nèi)的流體線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

可見，，，，即線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)速率具有對(duì)稱性。第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第6頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)上述六式可寫成

為正時(shí)，微元體角變形減小，稱為收縮切變；為負(fù)時(shí)，微元體角變形增大，稱為擴(kuò)展切變。微團(tuán)的切變速率可寫成

（4.32）和旋轉(zhuǎn)速度相同，微團(tuán)的切變速率也只是M點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。三個(gè)線變形速率和六個(gè)角變形速率構(gòu)成一個(gè)二階對(duì)稱張量

式（4.33）中，當(dāng)時(shí)為線變形速率張量；當(dāng)時(shí)為角變形速率張量。（4.33）第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第7頁團(tuán)的體積為

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)三、體積膨脹速率定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)微元流體團(tuán)的體積膨脹稱為體積膨脹速率。在t時(shí)刻，微元流體團(tuán)的體積為

在時(shí)刻，微元流體

按上述定義，體積膨脹速率為

（4.34）可見，體積膨脹速率等于線變形速率之和。對(duì)于不可壓縮流體，流體的體積不會(huì)發(fā)生變化，因此對(duì)應(yīng)的體積膨脹速率為零，即

（4.35）第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第8頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)此時(shí)，雖然流體的線變形速率可以不等于零，但三個(gè)微元線段的線變形速率之和等于零。四、流體微團(tuán)速度分解定理如圖4.5所示，流場(chǎng)中任取一微元流體線段A、B的速度差為（略去高階微量）

（4.36），其端點(diǎn)由于流體微團(tuán)整體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為

（4.37）

第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)退出返回第9頁

第五節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)

式（4.36）可寫成

這