第四章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

第四章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)的意義何在？◆人們往往先假定某數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)特定的總體族（比如正態(tài)分布族）；◆而要確定是總體族的哪個(gè)成員（也就是其具體分布）則需要知道總體參數(shù)值（比如總體均值和總體方差）；◆于是，人們希望用相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量（比如樣本均值和樣本方差）來(lái)估計(jì)出相應(yīng)的總體參數(shù)，從而能夠確定總體的分布。第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、統(tǒng)計(jì)量、估計(jì)量、估計(jì)值

估計(jì)：根據(jù)現(xiàn)有信息對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行某種判斷。估計(jì)量：樣本的（不包含未知總體參數(shù)的）函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量；用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量(estimator，估計(jì)子)，如用于估計(jì)總體參數(shù)的樣本均值、樣本比率（成數(shù)）、樣本方差等。由于一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于不同的樣本取值不同，所以估計(jì)量也是隨機(jī)變量，并有其分布。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日估計(jì)值：如果樣本已經(jīng)得到，把數(shù)據(jù)帶入之后，估計(jì)量就有了一個(gè)數(shù)值，稱為該估計(jì)量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)(realization)或取值，也稱為一個(gè)估計(jì)值(estimate)?？梢?jiàn)，統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，是對(duì)樣本的一個(gè)變換。我們之所以進(jìn)行這種變換，是希望用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的某個(gè)參數(shù)。不過(guò)，在實(shí)際轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，一般來(lái)說(shuō)，會(huì)有一定的信息損失，也就是說(shuō)，統(tǒng)計(jì)量包含的信息比原始樣本本身包含的信息要少。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日這樣，就可能出現(xiàn)兩種結(jié)果：

一種結(jié)果是，抓住了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，刪繁就簡(jiǎn)，只丟掉了一些無(wú)關(guān)要旨的東西，保存了樣本中關(guān)于所要估計(jì)的總體參數(shù)的全部信息；另一種結(jié)果是，把樣本中關(guān)于所要估計(jì)的總體參數(shù)的信息喪失了或喪失很多，因此從這個(gè)統(tǒng)計(jì)量出發(fā)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷，還不如從樣本本身對(duì)總體進(jìn)行推斷。如果這個(gè)統(tǒng)計(jì)量滿足第一種情況，我們就說(shuō)它是充分統(tǒng)計(jì)量。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日二、點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimation)：用估計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值來(lái)近似相應(yīng)的總體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)(intervalestimation)：給出包括估計(jì)量在內(nèi)（有時(shí)是以估計(jì)量為中心）的一個(gè)區(qū)間；該區(qū)間被認(rèn)為很可能包含總體參數(shù)。點(diǎn)估計(jì)給出一個(gè)數(shù)字，用起來(lái)很方便；而區(qū)間估計(jì)給出一個(gè)區(qū)間，說(shuō)起來(lái)留有余地；不像點(diǎn)估計(jì)那么絕對(duì)。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日三、點(diǎn)估計(jì)用什么樣的估計(jì)量來(lái)估計(jì)參數(shù)呢？沒(méi)有限制。任何統(tǒng)計(jì)量，只要人們覺(jué)得合適就可以當(dāng)成估計(jì)量。比如，一位專家來(lái)學(xué)校進(jìn)行評(píng)估，想了解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的考試情況，在食堂碰到你，問(wèn)：你們班這門(mén)課的平均成績(jī)大概是多少？你說(shuō)：不太清楚。他只好又問(wèn)：那你考了多少？你說(shuō)：38。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日三、點(diǎn)估計(jì)那么，什么樣的估計(jì)量才算合適呢？從理論上來(lái)說(shuō)，一個(gè)合適的估計(jì)量至少要具備如下特點(diǎn)：

1、要能夠知道其概率分布；

2、要能夠根據(jù)現(xiàn)有條件算出估計(jì)量的值。那么，怎么樣比較不同估計(jì)量之間的好壞呢？第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1、無(wú)偏性(unbiasedness)

所謂無(wú)偏性，就是指我們所選定的估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)量，這時(shí)統(tǒng)計(jì)量的值才能在真實(shí)值上下擺動(dòng)，從而保證用它來(lái)估計(jì)被估計(jì)參數(shù)在理論上沒(méi)有偏差。在統(tǒng)計(jì)中，人們一般不用樣本方差S2n來(lái)估計(jì)總體方差，正是因?yàn)橛脴颖痉讲頢2n來(lái)估計(jì)總體方差是有偏（差）的，而用樣本修正方差S2n-1來(lái)估計(jì)總體方差是沒(méi)有偏（差）的。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

2、一致性(consistency)

隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。即：

設(shè)為未知參數(shù)θ的估計(jì)量，當(dāng)n→∞時(shí)，要求依概率收斂于θ，即第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

2、一致性(consistency)第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

3、有效性(efficiency)

若和均為的無(wú)偏估計(jì)，且，則稱無(wú)偏估計(jì)比更有效。若是的無(wú)偏估計(jì)的最有效者，即具有最小方差，則稱是的最小方差無(wú)偏估計(jì)。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日四、區(qū)間估計(jì)(IntervalEstimation)

當(dāng)描述一個(gè)人的體重時(shí)，你一般可能不會(huì)說(shuō)這個(gè)人是76.35公斤，你會(huì)說(shuō)這個(gè)人是七八十公斤，或者是在70公斤到80公斤之間。這個(gè)范圍就是區(qū)間估計(jì)的例子。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日置信度與置信區(qū)間：置信度的概念是大量重復(fù)抽樣時(shí)的一個(gè)漸近概念。類似于“我們目前得到的置信度為95%的置信區(qū)間以概率0.95覆蓋總體真值”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。實(shí)際上應(yīng)該說(shuō)“重復(fù)類似的抽樣所得到的大量區(qū)間中有大約95%的覆蓋總體真值(該真值可能永遠(yuǎn)未知)。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

這里的置信區(qū)間（如72，78）是固定的，而總體真值也是固定的值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包含；這當(dāng)中沒(méi)有任何概率可言。至于區(qū)間（72，78）是否覆蓋總體真值，除非一個(gè)不漏地調(diào)查所有的人，否則永遠(yuǎn)也無(wú)法知道。第一節(jié)參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、總體方差已知時(shí)對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)例

CJW公司是一家專營(yíng)體育設(shè)備和附件的郵購(gòu)公司。該公司竭盡全力向顧客提供最優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量，CJW公司每月都要隨機(jī)地抽取一個(gè)郵購(gòu)顧客的樣本，并與被抽到的樣本中的每個(gè)顧客進(jìn)行聯(lián)系，詢問(wèn)他們一系列有關(guān)CJW公司服務(wù)水平的問(wèn)題，根據(jù)顧客給出的答案計(jì)算出該顧客的滿意分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)的范圍從0分（可能的最差等級(jí)）到100分（可能的最好等級(jí)）。在此基礎(chǔ)上，公司進(jìn)一步計(jì)算出滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值作為CJW公司所有顧客總體的滿意分?jǐn)?shù)均值的點(diǎn)估計(jì)。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

前面每個(gè)月的調(diào)查顯示：盡管各個(gè)月的樣本滿意分?jǐn)?shù)的均值都有變化，但是，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差卻穩(wěn)定在20分左右。因此，我們就假定總體的標(biāo)準(zhǔn)差為20分。最近，CJW公司對(duì)100名顧客進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果表明：顧客滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為82。試給出滿意分?jǐn)?shù)總體均值的區(qū)間估計(jì)（置信度95%）。

解：根據(jù)題意可知，n=100，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=20，樣本均值為82。根據(jù)中心極限定理可知，。因此可反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求解。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日二、總體方差未知時(shí)對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)當(dāng)總體服從正態(tài)分布、方差б2未知時(shí)，則用樣本方差代替б2。考慮到樣本方差S2的有偏性和樣本修正方差的無(wú)偏性，為提高推斷的準(zhǔn)確性，用樣本修正方差S2n-1來(lái)代替б2進(jìn)行估計(jì)。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日考察統(tǒng)計(jì)量

在T中，分子，分母中。因此，T～t（n-1）。因此，要以95%的置信度求出μ的置信區(qū)間，只需借鑒б2已知的做法，反查t分布表，找到一個(gè)對(duì)稱區(qū)間[-t，t]，使P（-t﹤T﹤t）=0.95即可。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日經(jīng)整理，總體均值μ的置信區(qū)間為：在大樣本情況下，也可以用正態(tài)分布代替t分布，也就是用Zα/2代替上式中的tα/2即可。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

練習(xí)：下表是工商07級(jí)1班、2班某門(mén)課的考試成績(jī)。試根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)求管理學(xué)院2007級(jí)學(xué)生該門(mén)課程成績(jī)均值的置信區(qū)間（置信度為95%）。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

思考：如果這樣做正確的話，隱含的前提假設(shè)是什么？第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日總體方差未知時(shí)對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)：當(dāng)總體服從正態(tài)分布、方差б2未知時(shí)，則用樣本方差代替б2?？紤]到樣本方差S2的有偏性和樣本修正方差的無(wú)偏性，為提高推斷的準(zhǔn)確性，用樣本修正方差S2n-1來(lái)代替б2進(jìn)行估計(jì)。

考慮：在這里，我們?yōu)槭裁匆印翱傮w服從正態(tài)分布”這個(gè)條件，要是總體不服從正態(tài)分布呢？會(huì)有什么問(wèn)題？第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

1、總體均值μ已知時(shí)的區(qū)間估計(jì)

2、總體均值μ未知時(shí)的區(qū)間估計(jì)第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

例從自動(dòng)機(jī)床加工的零件中抽取10件，測(cè)得其長(zhǎng)度為（單位：mm）：12.5，12.12，12.01，12.28，12.09，12.03，12.01，12.11，12.06，12.14。設(shè)零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，求零件長(zhǎng)度的方差的置信區(qū)間（置信度95%）。解：第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日四、兩正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N（μ1，σ12）、N（μ2，σ22），其樣本均值差

1、σ12、σ22都已知時(shí)μ1-μ2的區(qū)間估計(jì)

第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

2、σ12=σ22=σ2，但σ2未知時(shí)μ1-μ2的區(qū)間估計(jì)

第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

同理，在大樣本條件下，。因此，總體比例也可參照總體均值的方法進(jìn)行估計(jì)。第二節(jié)總體指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩種方法，只不過(guò)角度不同。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思路是：事先對(duì)總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷是否能推翻原假設(shè)。我認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的零件的平均長(zhǎng)度為4厘米！第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的特點(diǎn)：

采用邏輯上的反證法；

依據(jù)統(tǒng)計(jì)上的小概率原理。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

例：某廠生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)件，其長(zhǎng)度為4厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1厘米。進(jìn)行工藝改革后，抽查了100個(gè)零件，測(cè)得樣本平均長(zhǎng)度為3.94厘米。試以95%的把握程度，檢驗(yàn)該廠進(jìn)行工藝改革前后生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的長(zhǎng)度是否發(fā)生了顯著變化。

解：1、區(qū)間估計(jì)的方法～Z（0，1）；P（-1.96＜＜1.96）=0.95

即：-1.96＜μ＜＋1.963.94-1.96×0.1/10＜μ＜3.94＋1.96×0.1/10

計(jì)算得：3.9204＜μ＜3.9596

可見(jiàn)，工藝改革后該廠的標(biāo)準(zhǔn)件長(zhǎng)度發(fā)生了顯著變化。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

解：2、假設(shè)檢驗(yàn)的方法假設(shè)工藝改革后標(biāo)準(zhǔn)件長(zhǎng)度沒(méi)有明顯變化，也即μ=4厘米。應(yīng)有：

即P（-1.96＜＜1.96）=0.95

此為小概率事件。小概率事件發(fā)生說(shuō)明原假設(shè)是錯(cuò)誤的，工藝改革前后標(biāo)準(zhǔn)件長(zhǎng)度發(fā)生了顯著變化。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日二、假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程均值

X=20總體

我認(rèn)為人口的平均年齡是50歲1、提出假設(shè)

拒絕假設(shè)別無(wú)選擇3、作出決策2、抽取隨機(jī)樣本第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日二、假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程假設(shè)檢驗(yàn)的具體步驟：第一，提出原假設(shè)(nullhypothesis)和備擇假設(shè)(alternativehypothesis)；第二，確定合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；第三，規(guī)定顯著性水平α；第四，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)現(xiàn)值；第五，統(tǒng)計(jì)決策。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日原假設(shè)的設(shè)定原則：在假設(shè)檢驗(yàn)中，一般要設(shè)立一個(gè)原假設(shè)（nullhypothesis）；而設(shè)立該假設(shè)的動(dòng)機(jī)主要是企圖利用人們掌握的反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)來(lái)找出假設(shè)和現(xiàn)實(shí)的矛盾，從而否定這個(gè)假設(shè)。也就是說(shuō)，假設(shè)檢驗(yàn)都是以否定原假設(shè)為目標(biāo)。如否定不了，那就說(shuō)明證據(jù)不足，無(wú)法否定原假設(shè)。但這不等于原假設(shè)正確，而是“沒(méi)有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)”，因此不能“接受原假設(shè)”。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日需要注意的問(wèn)題：

1、零假設(shè)和備擇假設(shè)在我們涉及的假設(shè)檢驗(yàn)中并不對(duì)稱。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布是從零假設(shè)導(dǎo)出的。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日需要注意的問(wèn)題：

2、多數(shù)軟件直接給出p值，而不給出α。p值(p-value)是在零假設(shè)下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取其實(shí)現(xiàn)值及(沿著備擇假設(shè)的方向)更加極端值的概率。如果p值很小，意味著在零假設(shè)下小概率事件發(fā)生。給定p值有很多方便之處。比如α=0.05，而假定所得到的p值等于0.001。這時(shí)如果采用p值作為新的顯著性水平，即新的α=0.001，于是就可以說(shuō)，在顯著性水平為0.001時(shí)，拒絕零假設(shè)。這樣，拒絕零假設(shè)時(shí)犯錯(cuò)誤的概率實(shí)際只是α=0.001而不是原來(lái)的α=0.05。在這個(gè)意義上，p值又稱為觀測(cè)的顯著性水平(observedsignificantlevel)，或者一個(gè)原假設(shè)可被拒絕的最低（最?。╋@著性水平。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日需要注意的問(wèn)題：

3、對(duì)于同一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，往往都有多個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；而且人們還在構(gòu)造更優(yōu)良的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。人們不可能把所有的目前存在的和將來(lái)可能存在的檢驗(yàn)都實(shí)施。因此，只能夠說(shuō)，按照目前的證據(jù)，不足以拒絕零假設(shè)而已。后面將會(huì)用例子說(shuō)明“接受零假設(shè)”的說(shuō)法是不妥當(dāng)?shù)?。第三?jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日三、假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤（決策風(fēng)險(xiǎn)）第一類錯(cuò)誤：拒真錯(cuò)誤。原假設(shè)為真，但由于樣本的隨機(jī)性落入拒絕區(qū)域，使我們做出錯(cuò)誤決策。小概率事件只是發(fā)生的概率很小，但并非絕對(duì)不發(fā)生。犯這類錯(cuò)誤的概率就是小概率事件發(fā)生的概率。第二類錯(cuò)誤：納偽錯(cuò)誤。原假設(shè)為假，但由于樣本的隨機(jī)性落入接受區(qū)域，使我們做出錯(cuò)誤決策。在樣本容量一定時(shí)，降低犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率。要同時(shí)降低犯第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率，必須增大樣本容量。第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日陪審團(tuán)審判裁決實(shí)際情況無(wú)罪有罪無(wú)罪正確錯(cuò)誤有罪錯(cuò)誤正確H0檢驗(yàn)決策實(shí)際情況H0為真H0為假接受H01-a第二類錯(cuò)誤(b)拒絕H0第一類錯(cuò)誤(a)功效(1-b)假設(shè)檢驗(yàn)就好像一場(chǎng)審判過(guò)程假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程H0:無(wú)罪第三節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的一般問(wèn)題第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（一）總體方差已知時(shí)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

例：公司欲購(gòu)進(jìn)一批零件。根據(jù)合同規(guī)定，零件使用壽命平均不能低于1000天。為檢驗(yàn)零件質(zhì)量，公司隨機(jī)抽取100個(gè)，測(cè)得平均壽命為960天。若零件使用壽命服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為60天。公司是否該購(gòu)買這批零件？（顯著性水平＝0.05）第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

解：假設(shè)H0：≥1000；H1：＜1000。則～Z（0，1）查表可知，P（＞-1.645）=1-0.05

經(jīng)計(jì)算，可見(jiàn)該廠的零件平均壽命低于1000天，不應(yīng)購(gòu)買。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日一、總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（二）總體方差未知時(shí)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

當(dāng)總體服從正態(tài)分布、方差б2未知時(shí)，則用樣本方差S2代替б2?？紤]到S2的有偏性和樣本修正方差S2n-1=

的無(wú)偏性，為提高推斷的準(zhǔn)確性，用S2n-1代替б2進(jìn)行檢驗(yàn)。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

在大樣本情況下，變量T的分子，分母服從。因此，有T～t（n-1）。

同時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行變形，還有：

因此，也可以直接用樣本方差的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

例：自動(dòng)裝車系統(tǒng)裝車的重量服從正態(tài)分布，每車標(biāo)準(zhǔn)重量為1000噸。某日隨機(jī)抽查9車，測(cè)得樣本平均重量為986噸，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為24噸。試問(wèn)在0.05的顯著性水平上，能否認(rèn)為這天自動(dòng)裝車系統(tǒng)工作不正常？

解：假設(shè)H0：=1000；H1：≠1000。則～t（n-1）計(jì)算得：==-1.65

查表知，當(dāng)自由度為8時(shí)，P（-2.306≤T≤2.306）=1-0.05?？梢?jiàn)，沒(méi)有理由認(rèn)為自動(dòng)裝車系統(tǒng)工作不正常。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

例：一個(gè)大米加工廠賣給超市一批標(biāo)明10kg重的大米。而該超市懷疑該廠家缺斤短兩，對(duì)10包大米進(jìn)行了稱重，得到下列數(shù)據(jù)（單位：千克）：9.93，9.83，9.76，9.95，10.07，9.89，10.03，9.97，9.89，9.87。這里假定打包的大米重量服從正態(tài)分布。由于發(fā)生分歧，于是大米加工廠老板、大米加工廠律師、超市分別對(duì)大米重量的均值進(jìn)行了檢驗(yàn)。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1、加工廠老板取了樣本的頭兩個(gè)數(shù)—9.93和9.83進(jìn)行t檢驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算得：樣本均值9.88kg，p=0.1257，因此在α＝0.05的水平上“接受零假設(shè)”；

2、超市用樣本全部數(shù)據(jù)進(jìn)行t檢驗(yàn)，計(jì)算得到：樣本均值9.92kg，p=0.0106，因此在α=0.05的水平上“拒絕零假設(shè)”；第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第五十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日3、加工廠律師用了全部數(shù)據(jù)，但使用中位數(shù)符號(hào)檢驗(yàn)（注意對(duì)于正態(tài)分布，對(duì)中位數(shù)的檢驗(yàn)等價(jià)于對(duì)均值的檢驗(yàn)），通過(guò)計(jì)算得到：p=0.0547，因此在α=0.05的水平上“接受零假設(shè)”。并認(rèn)為，“既然三個(gè)檢驗(yàn)中有兩個(gè)都接受零假設(shè)，就應(yīng)該接受”。第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第五十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日評(píng)價(jià)：

1、加工廠老板實(shí)際上減少了作為證據(jù)的數(shù)據(jù)，因此使得“證據(jù)不足，無(wú)法拒絕零假設(shè)”，而不應(yīng)該“接受零假設(shè)”；

2、律師雖用了全部數(shù)據(jù)，但用了不同的方法。他也只能夠說(shuō)“在這個(gè)檢驗(yàn)方法下，證據(jù)不足以拒絕零假設(shè)”而不能說(shuō)“接受零假設(shè)”；第四節(jié)總體指標(biāo)的假設(shè)檢驗(yàn)第五十二頁(yè)，共五十八頁(yè)