第五節(jié)曲線和方程

第五節(jié)曲線和方程課件第一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

定義(教材P74)：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：

(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(點(diǎn)不比解多)(純粹性)

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．(解不比點(diǎn)多)(完備性)那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形)．第二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日在笛卡爾以前，人們對(duì)代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對(duì)于二元方程的研究較少，因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到二元方程f(x，y)=0的解都是不確定的．對(duì)于這種“不定方程f(x，y)=0”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒(méi)有意義的，是不必要的．笛卡爾卻對(duì)這個(gè)“沒(méi)有意義的課題”賦予了新的生命，1．坐標(biāo)法．第三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日他沒(méi)有把x，y看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把x看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學(xué))，讓x連續(xù)地變，則對(duì)每一個(gè)確定的x值，一般來(lái)說(shuō)都可以從方程f(x，y)=0算出相應(yīng)的y值(這就是函數(shù)思想的萌芽)．然后，他把這些點(diǎn)的集合構(gòu)成了一條曲線C．由這樣得出的曲線C和方程f(x，y)=0有非常密切的關(guān)系：

1．坐標(biāo)法．第四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；反之，方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上．這就是說(shuō)，曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．這個(gè)“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線方程的研究．1．坐標(biāo)法．第五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日這種通過(guò)研究方程的性質(zhì)，間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標(biāo)法(就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法)．根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，可以建立不同的坐標(biāo)系．最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系．在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標(biāo)系．1．坐標(biāo)法．第六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的一門(mén)學(xué)科，叫解析幾何．它是一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀(jì)初期．

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人．另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者．2．解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題第七頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義：一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來(lái)了．

解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開(kāi)端的標(biāo)志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的領(lǐng)域．2．解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問(wèn)題第八頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

(1)

根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；

(2)

通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)．本節(jié)主要通過(guò)例題的形式學(xué)習(xí)第一個(gè)問(wèn)題，即如何求曲線的方程．

3．平面解析幾何研究的主要問(wèn)題．第九頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例1設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)、(1，0)，若kMA

kMB=1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．x2+y2=1(x

±1)

說(shuō)明：所求的方程x2+y2=1后面應(yīng)加上條件x

±1．第十頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例2點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程．解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合RMQxOyP={M||MR|=|MQ|}，第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例2點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程．其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足．RMQxOyP={M||MR|=|MQ|}，因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以條件|MR|=|MQ|可寫(xiě)成|x|=|y|，即x±y=0①

第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

(1)由求方程的過(guò)程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解；下面證明①是所求軌跡的方程．

(2)設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1，y1)是方程①的解，那么x1±y1

=0，即即x±y=0①

|x1|=|y1|，而|x1|、|y1|正是點(diǎn)M1到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)M1到這兩條直線的距離相等，點(diǎn)M1是曲線上的點(diǎn)．第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如圖所示．點(diǎn)評(píng)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，能使求軌跡方程的過(guò)程較簡(jiǎn)單．所求方程的形式較“整齊”．x±y=0①

RMQxOy第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合；

(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式；

(5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．4．求簡(jiǎn)單曲線方程的一般步驟：第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)

1.點(diǎn)P到點(diǎn)F(4，0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，求點(diǎn)P的軌跡方程．y2=16x．

2.過(guò)點(diǎn)P(2，4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．x+2y

5=0．PBMAxOy第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合；

(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式；

(5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．(可省)小結(jié)：求簡(jiǎn)單曲線方程的一般步驟:第十七頁(yè)，共十