第十二章 動能定理

第十二章動能定理動量定理動量矩定理動能定理動量原理能量原理可以研究機(jī)械運動以機(jī)械運動的形式相互傳遞的情況。除了可以研究機(jī)械運動以機(jī)械運動的形式相互傳遞的情況外，還可以研究機(jī)械運動與其它形式的運動之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換的情況。1第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容 1 力的功 2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 3 動能定理 4 功率、功率方程、機(jī)械效率 5 勢力場、勢能、機(jī)械能守恒定律 6 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-1力的功力的功是力在一段路程上對物體作用的累積效應(yīng)的度量。1常力在直線運動中的功力的功是標(biāo)量,是過程量。單位:2變力在曲線運動中的功

元功3第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日弧坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式2變力在曲線運動中的功還可寫為:又:所以:變力在一段路程上的功

元功ijk4第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日4兩種常見力的功重力的功彈性力的功5第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日5作用于剛體上的力的功①剛體作平移時②剛體作定軸轉(zhuǎn)動時③剛體作平面運動時6第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日6 內(nèi)力的功質(zhì)點系中的質(zhì)點如圖所示。FAFBABrArB一對內(nèi)力滿足:drABxzyO即:所以，當(dāng)質(zhì)點系內(nèi)質(zhì)點間的距離可變化時，內(nèi)力的元功之和不為零。對剛體，內(nèi)力的元功之和恒為零。7第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日7約束力的功①光滑固定面約束②光滑鉸鏈支座約束、軸承dr∵∴∵∴8第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日③連接剛體的光滑鉸鏈(中間鉸)即：約束反力作功之和為零。④無重剛性桿約束（二力桿）與內(nèi)力的功類似，一對約束反力作功之和為零。9第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日⑤不可伸長的柔索因為:且繩不可伸長，有:理想約束約束反力作功為零或作功之和為零的約束。所以:10第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日8 摩擦力的功①支承面固定時無相對滑動時(靜摩擦力)dsFNF有相對滑動時(動摩擦力)②支承面運動時F’F無相對滑動時（靜摩擦力）有相對滑動時（動摩擦力）結(jié)論:一對靜摩擦力的功為零;一對動摩擦力作負(fù)功。11第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日③作用在純滾輪上的摩擦力的功如果不是純滾動，有相對滑動，則摩擦力作負(fù)功。接觸點為瞬心，滑動摩擦力作用點沒動，此時滑動摩擦力也不做功。12第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-2質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1質(zhì)點的動能動能是恒正的標(biāo)量，是瞬時量。單位:2質(zhì)點系的動能3剛體的動能剛體的動能應(yīng)根據(jù)剛體的運動情況來計算。13第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日(1)平動剛體的動能(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能所以，剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能為:14第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日設(shè)剛體作平面運動，如圖。由定軸轉(zhuǎn)動剛體動能的公式CpvC

rc(3)平面運動剛體的動能由平行軸定理，有:所以:即:15第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日4柯尼希定理質(zhì)點系的動能可表示為:注意：柯尼希定理只在以質(zhì)心為基點時成立，對 其它的基點不成立。即：質(zhì)點系的動能等于質(zhì)點系隨質(zhì)心平動的動

能與相對于質(zhì)心運動的動能之和。16第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-3動能定理1質(zhì)點的動能定理由牛頓第二定律兩邊點乘dr因為所以即所以17第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日所以質(zhì)點動能定理的微分形式將上式積分，得到質(zhì)點動能定理的積分形式18第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日2質(zhì)點系的動能定理對每一個質(zhì)點求和:交換求和與求微分的次序，有:可寫為:質(zhì)點系動能定理的微分形式積分得到:質(zhì)點系動能定理的積分形式19第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日rRCFT例1已知：鼓輪作純滾動，m,解：取輪為研究對象，受力如圖。計算動能sR,r,c,

FT=常數(shù),

=常數(shù),初始靜止。求：輪心的位移為s時，輪心C的速度和加速度。FNFmgvc設(shè)速度、角速度如圖。A20第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日計算動能計算力的功只有FT力作功將用vC

表示,有:rRCFTsFNFmgvcA21第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日計算力的功只有FT力作功積分可得全功:將

用s表示:得:因為:rRCFTsFNFmgvcAdsd22第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日由動能定理有:(1)動能力的功23第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日求加速度將(1)式兩邊對t求導(dǎo)，得:(1)24第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日例2(與習(xí)題類似)已知：A輪作純滾動：

m1,R,r,；均質(zhì)輪D:

m2,r；B塊：

m3。求：aB。解:取整體為研究對象,求加速度可用動能定理的微分形式。計算一般位置的動能設(shè)速度、角速度如圖。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vB受力如圖。25第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日計算一般位置的動能將各速度、角速度用vB表示。設(shè)輪上E點的速度為vE。FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBvE26第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日將各速度關(guān)系代入動能表達(dá)式，有:計算元功只有B塊的重力作功,設(shè)B的位移為ds,則元功為:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds27第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日動能元功由兩邊同除dt，得:所以:FDyFDxm2gm1gm3gFNFvo12vBds28第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日例3已知：兩相同均質(zhì)桿,m,l,水平面光滑。初始靜止，高為h。設(shè)桿在鉛垂面內(nèi)落下。求：鉸鏈D與地面接觸時的速度。解：取整體為研究對象，mgmgFNAFNB計算動能初動能：D點下落到水平面時的動能受力如圖。29第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日計算動能初動能：D落到水平面時的動能:mgmgFNAFNBD落到水平面時的運動情況？因為:且:所以:C質(zhì)心C的軌跡為鉛垂線。D點的軌跡也為鉛垂線。D點速度鉛垂向下。vD30第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日D點的軌跡為鉛垂線。D點速度鉛垂向下.vDA點速度如圖,由vA和vD的AD桿的速度瞬心為A點。所以，D點下落到水平面時，系統(tǒng)的動能為:同理，DB桿的速度瞬心為B點。vAAD方向31第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日計算力的功mgmgFNAFNB動能由動能定理有:所以:32第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日例12-4已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運動，f,初靜止求：O走過S路程時ω、α33第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日圓盤速度瞬心為C,解：34第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日均不作功。35第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日注意：1、摩擦力Fd的功S是力在空間的位移，不是受力作用點的位移。將式(a)兩端對t求導(dǎo)，并利用得36第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：2、亦可將力系向點O簡化，即37第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-4功率、功率方程、機(jī)械效率1功率力的功率轉(zhuǎn)矩的功率2功率方程或:3機(jī)械效率38第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-5勢力場、勢能、機(jī)械能守恒定律1勢力場力場,勢力場有勢力的兩個特征:1力是位置的函數(shù),即:2作功與路徑無關(guān)。2勢能勢能的定義M0

零勢位置39第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日重力勢能彈性力勢能(以z0

處為零勢位置)(以變形量為0時的點為零勢位置)萬有引力場中的勢能若取無窮遠(yuǎn)處（r1

=∞）為零勢位置:第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日用勢能表示有勢力的功設(shè)質(zhì)點系在勢力場中，從I位置運動到II位置，需計算在此過程中有勢力所作的功。取M0為零勢位置，則現(xiàn)需求因為有勢力作功與路徑無關(guān)，所以因此:41第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日3機(jī)械能守恒定律設(shè)質(zhì)點系受到力全是有勢力，或在運動的過程中只有有勢力作功，則當(dāng)質(zhì)點系從I位置運動到II位置時，由動能定理，有：即:或:42第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時，鋼索的最大張力卡住前解：43第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日卡住前卡住時：解：44第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日得即由有45第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日§12-6質(zhì)點系普遍定理的綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用1 較復(fù)雜的問題需要綜合應(yīng)用兩個或兩個以上

的定理來求解；2 同一個問題可以用不同的定理來求解。要選 擇求解起來比較方便的定理。需要掌握各個定理的特點，以及該定理適合求解什么樣的問題。46第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日1基本公式動量定理動量矩定理動能定理守恒情況若若則則若則若則若只有有勢力作功，則47第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日動量定理動量矩定理動能定理2特點①

矢量式矢量式標(biāo)量式② 與F,v,a,t有關(guān)與M,,,t有關(guān)與F,v,s;M,,有關(guān)③ 只與外力主矢 有關(guān)與外力、內(nèi)力都有關(guān)④ 與約束力有關(guān)與約束力有關(guān)與理想約束力無關(guān)只與外力主矩有關(guān)48第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日3選用定理① 根據(jù)待求量分析若需求v~

s，~

，或a~

s，~的關(guān)系可考慮選用動能定理若需求v~

t，s~

t

的關(guān)系動量定理，質(zhì)心運動定理若需求~

t，~

t的關(guān)系動量矩定理，定軸轉(zhuǎn)動微分方程若需求約束反力質(zhì)心運動定理，平面運動微分方程， 求加速度部分，可配合用動能定理。49第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日② 根據(jù)受力的特點分析若或動量守恒，或質(zhì)心運動守恒若或動量矩守恒若只有有勢力作功機(jī)械能守恒③ 根據(jù)運動特點分析若剛體作平移質(zhì)心運動定理，或動能定理若剛體作定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動微分方程，或動能定理50第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日① 輪作純滾動時② 接觸處有相對滑動時③ 脫離時，接觸處的法向反力④ 突解約束問題，剛體從靜止進(jìn)入運動的瞬時:注意正負(fù)號4剛體平面運動微分方程解題的關(guān)鍵，在于正確列出補(bǔ)充方程。51第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日⑤ 列運動學(xué)補(bǔ)充方程的方法基點法經(jīng)常是利用某些點的加速度的方向已知(可判斷)。寫出質(zhì)心的運動方程，然后求導(dǎo)數(shù)。要注意如不一致，則需要加負(fù)號。由動能定理求出，求導(dǎo)后得到。由動量矩定理求出，積分后得到。52第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,ｋ，純滾動，于彈簧原長處無初速釋放。求