精選條件極值問題和乘數(shù)法講義

（優(yōu)選）條件極值問題與乘數(shù)法當(dāng)前1頁，總共41頁。光的折射問題空氣水··ABabc問：光線沿何路徑由A到B？物理：光線依時(shí)間最短路線行進(jìn)！C求t的最小值！當(dāng)前2頁，總共41頁。條件極值以前討論的極值問題對(duì)自變量只有定義域限制，有時(shí)，除受自變量定義域限制外,還受到其他的限制.例如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V

的長方體開口水箱，試問水箱的長、寬、高各為多少時(shí)，其表面積最小？為此，設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z

,則表面積為依題意，上述的長、寬、高不僅要符合定義域的要求：

x>0,y>0,z>0,而且還須滿足條件當(dāng)前3頁，總共41頁。這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值.條件極值問題的一般形式是等式約束：即在條件組：的限制下，求目標(biāo)函數(shù)的極值.當(dāng)前4頁，總共41頁。條件極值的一種求解方法是代入法.

例如，在上述例子中，由條件解出代入目標(biāo)函數(shù)中，然后求這個(gè)函數(shù)的無條件極值.得到思路：將條件極值化為無條件極值！當(dāng)前5頁，總共41頁。條件極值的幾何解釋當(dāng)前6頁，總共41頁。當(dāng)前7頁，總共41頁。然而在一般情形下，這種方法往往是行不通的，因?yàn)橐獜臈l件組

下面介紹的拉格朗日乘數(shù)法是求條件極值的一種有效方法.解出m

個(gè)變?cè)３Ｊ遣豢赡艿?當(dāng)前8頁，總共41頁。拉格朗日乘數(shù)法則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,由極值的必要條件，知極值點(diǎn)x0

必滿足設(shè)

記故有因即當(dāng)前9頁，總共41頁。引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)L稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格

極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.想法：把上面的條件極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一般極值點(diǎn)問題構(gòu)造一個(gè)函數(shù)使得其極值點(diǎn)就是上面函數(shù)的條件極值點(diǎn)當(dāng)前10頁，總共41頁。1.作拉格朗日函數(shù)利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)在條件下的極值步驟如下：2.求拉格朗日函數(shù)的極值先求解拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程組：再考察駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)當(dāng)前11頁，總共41頁。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組例如,求函數(shù)下的極值.在條件可得到條件極值的可疑點(diǎn).當(dāng)前12頁，總共41頁。例.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V

的長方體開口水箱,問

求x,y,z令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,

下水箱表面積最小.使在條件水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？⑴⑵⑶⑷當(dāng)前13頁，總共41頁。⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合題意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得當(dāng)前14頁，總共41頁。得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為當(dāng)前15頁，總共41頁。思考:當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對(duì)稱性可知,當(dāng)前16頁，總共41頁。例.拋物面這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)解

被平面求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長與最短距離.截成一個(gè)橢圓.在條件下的最大值、最小值問題.應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)當(dāng)前17頁，總共41頁。令L

的一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零，則有⑴⑵⑶⑷⑸⑴－⑵得不合題意，舍去；當(dāng)前18頁，總共41頁。則代入⑷式后，再將⑷代入⑸得解得這就是拉格朗日函數(shù)的駐點(diǎn)，由于f

在有界閉集上連續(xù)，故所求問題存在最大值與最小值.當(dāng)前19頁，總共41頁。計(jì)算得所以該橢圓到原點(diǎn)的最長距離為最短距離得：計(jì)算當(dāng)前20頁，總共41頁。例

試求函數(shù)在條件下的最小值,并由此導(dǎo)出相應(yīng)的不等式.解

設(shè)并使當(dāng)前21頁，總共41頁。由此方程組易得下面給出是條件最小值的理由.都使得故存在又設(shè)由于為一有界閉集,為連續(xù)函數(shù),因此在當(dāng)前22頁，總共41頁。上存在最大值和最小值.而在及上,f的值已大于故f

在S

上的最小值必在的內(nèi)部取得.又因內(nèi)部只有惟一可疑點(diǎn)所以必定有最后,在不等式中,用代入,就得到一個(gè)新的不等式:當(dāng)前23頁，總共41頁。經(jīng)整理后,就是“調(diào)和平均不大于幾何平均”

這個(gè)著名的不等式:當(dāng)前24頁，總共41頁。當(dāng)前25頁，總共41頁。當(dāng)前26頁，總共41頁。當(dāng)前27頁，總共41頁。當(dāng)前28頁，總共41頁。當(dāng)前29頁，總共41頁。當(dāng)前30頁，總共41頁。當(dāng)前31頁，總共41頁。當(dāng)前32頁，總共41頁。當(dāng)前33頁，總共41頁。當(dāng)前34頁，總共41頁。注意應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法求解條件極值問題，產(chǎn)生的方程組變量個(gè)數(shù)可能比較大，似乎解這個(gè)方程組往往是很困難的。但注意我們可以利用變量之間的關(guān)系（也就是問題給出的條件），找到解方程組的簡便的方法，而不要用死板的方法去解方程組。當(dāng)前35頁，