北京市第四十三中學(xué)高二數(shù)學(xué)12月月考試題含解析

PAGE17-北京市第四十三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)12月月考試題（含解析）滿分150分時(shí)間90分鐘一．選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，解不等式即可.【詳解】由題意可得：，解得：或，所以函數(shù)的定義域是，故選：C2.直線的傾斜角的大小為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程可求斜率，從而可得傾斜角．【詳解】設(shè)直線x-y+1=0的傾斜角為θ，則tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：設(shè)圓的方程為，且圓過原點(diǎn)，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點(diǎn)：圓的一般方程.4.直線截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的方程直接求出圓心及半徑，再求出圓心到直線距離，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑及半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，求得半弦長(zhǎng)與弦長(zhǎng).【詳解】由圓得該圓的圓心為，半徑為，故圓心到直線的距離，故弦長(zhǎng)，故選：D.【點(diǎn)睛】圓的弦長(zhǎng)的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：.5.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程求出，然后求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】由雙曲線得，，故選：C.6.已知橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)易得，，結(jié)合離心率的概念即可得結(jié)果.【詳解】∵橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，∴，又∵，∴，可得，∴橢圓的離心率為，故選：D.7.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的方程可變?yōu)閤2y故其準(zhǔn)線方程為y故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題關(guān)鍵是記準(zhǔn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，別誤認(rèn)為p＝1，因看錯(cuò)方程形式馬虎導(dǎo)致錯(cuò)誤．8.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A.或 B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于的不等式組求解即可.【詳解】有題意可知，解得或.故選：D.9.在△中，，，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由題意可知，，根據(jù)正弦定理得.故選：A.10.設(shè)橢圓（）離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）A.必在圓內(nèi) B.必在圓上C.必在圓外 D.以上三種情形都有可能【答案】A【解析】【分析】先利用離心率得到，，代入方程整理得，利用韋達(dá)定理，代入點(diǎn)，得到，即可判斷.【詳解】∵橢圓的離心率，∴，，∴，∵，∴，又該方程有兩個(gè)實(shí)根分別為和，∴，，∴，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故選：A.二．填空題（本大題共8小題，每題5分，共40分，把答案填在橫線上）11.不等式的解集是_____________【答案】或【解析】分析】將一元二次不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式可解得結(jié)果.【詳解】由得，所以或.故答案為：或12.直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則直線l的方程是______．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)與已知直線垂直的直線系方程可設(shè)與直線2x﹣3y+4=0垂直的直線方程為﹣3x﹣2y+c=0，再把點(diǎn)（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【詳解】∵所求直線方程與直線2x﹣3y+4=0垂直，∴設(shè)方程為﹣3x﹣2y+c=0∵直線過點(diǎn)（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直線方程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互相垂直的兩直線方程之間的關(guān)系，以及待定系數(shù)法求直線方程，屬于基礎(chǔ)題．13.已知且，則x的值是__________【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解.【詳解】由且，得，解得，故答案為：14.已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為______．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，直接計(jì)算結(jié)果.【詳解】的周長(zhǎng)，由橢圓方程可知，所以的周長(zhǎng).故答案為：2015.雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)______________，漸近線方程________________【答案】(1).，(2).【解析】【分析】求出雙曲線中的，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程.【詳解】雙曲線中的，，所以，，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為，即.故答案為：，；.16.拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為________.【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離．考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.17.如圖正方體的棱長(zhǎng)為，以下結(jié)論正確的是____________①異面直線與所成的角為②直線與垂直③直線與平行④三棱錐的體積為【答案】①②④【解析】【分析】連接，，，則可得出為等邊三角形，則與所成角等于與所成角，其大小為；證明，再由可得；證明平面，得出，從而證得；最后計(jì)算出.【詳解】對(duì)于①，連接，，，則根據(jù)正方體的特點(diǎn)可知，且，則三角形為等邊三角形，所以與所成角等于與所成角，其大小為，故①正確；對(duì)于②，如圖所示，因?yàn)?，又，所以，故②正確；對(duì)于③，由②可知，又，且，平面，平面，所以平面，所以，則，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接，則三棱錐的體積為，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線間的夾角、空間直線間位置關(guān)系的判斷等，解答本題的關(guān)鍵在于：（1）用定義法求解異面直線夾角時(shí)，注意要將線進(jìn)行平移轉(zhuǎn)化，找到異面直線夾角的平面角，然后通過解三角形求解夾角的大小或夾角余弦值的大?。唬?）注意運(yùn)用空間平行關(guān)系、垂直關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理判斷空間兩條直線間的位置關(guān)系.18.已知曲線C的方程，有以下說法：①曲線C過原點(diǎn)②曲線C與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)③曲線C關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱④為曲線C上任意一點(diǎn)，則其中全部正確的是_______________【答案】②③④【解析】【分析】將原點(diǎn)做標(biāo)代入可判斷①錯(cuò)誤；令，求解的根的個(gè)數(shù)判斷②是否正確；針對(duì)和兩類情況分類討論，根據(jù)解析式及性質(zhì)判斷③是否正確；再將原式化為，判斷是否成立.【詳解】對(duì)于①，將原點(diǎn)代入可判斷①錯(cuò)誤；對(duì)于②，令得，，解得，則曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍€與曲線的圖象都關(guān)于軸對(duì)稱，則曲線C的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；而當(dāng)與時(shí)，解析式互為相反數(shù)，故其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以③正確；對(duì)于④，由得，因?yàn)?，則，故④正確.故答案為：②③④.三．解答題（本大題共4小題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.已知圓截直線的弦長(zhǎng)為．（Ⅰ）求圓的半徑；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）5；（Ⅲ）或．【解析】【分析】（Ⅰ）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)勾股定理列式可解得結(jié)果；（Ⅲ）分類討論切線的斜率是否存在，利用待定系數(shù)法可求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）圓可化為所以圓C的半徑為5．（Ⅱ）圓心到直線的距離為所以由勾股定理，得，即，又因?yàn)樗詀=5．（Ⅲ）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，顯然它和圓相切；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，因?yàn)榇酥本€與圓C相切，所以，解得因此，切線為或．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線方程時(shí)，要注意直線的斜率是否存在，這里容易漏掉切線的斜率不存在的情形.20.已知橢圓的焦點(diǎn)為和，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）；（2）最大值【解析】【分析】（1）通過橢圓的定義即得結(jié)論；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，三角形的面積公式，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意知：，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）聯(lián)立，消去并整理得：，，解得：，由題意知：，設(shè)，由韋達(dá)定理得：，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，所以的面積，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是直線與圓錐曲線的綜合題；聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.21.如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）所以直線、斜率之和為定值2．【解析】【分析】（1）運(yùn)用離心率公式和，，關(guān)系，解方程可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）把直線的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意知，，結(jié)合，解得，橢圓的方程為；（2）由題設(shè)知，直線的斜率不為0，則直線的方程為，代入，得，由已知，設(shè)，，，則，，從而直線與的斜率之和：．所以直線、斜率之和為定值2．【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22.如圖,四棱錐中,平面,,.,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在線段上是否存在一點(diǎn),使得⊥.若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，見解析【解析】【分析】（I）通過證明，證得平面.（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值列方程，解方程求得的值.（III）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，推出矛盾，由此判斷滿足條件的點(diǎn)不存在.【詳解】(Ⅰ)證明:因?yàn)槠矫?,所以平面.又因?yàn)槠矫?所以.在中,,是的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?所以平面.(Ⅱ)解:因?yàn)槠矫?所以,.