《數(shù)學(xué)物理方程》1.4高維波動方程的柯西問題

§4高維波動方程的柯西問題福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院－江飛:183059505921.膜振動方程的導(dǎo)出*物理模型：彈性固體薄片.*理想化假設(shè)：b.膜的平衡位置在一平面內(nèi)，膜上各點在垂直這一平面的方向上作微小振動，膜所受到的外力均與該平面垂直.c.膜是柔軟的，它對彎曲形變不會產(chǎn)生任何抵抗力.a.膜可以視為一張曲面，密度均勻分布，設(shè)面密度為.編輯ppt*在理想化假設(shè)下的張力性質(zhì)：薄膜上任一點的張力是常值.此時在膜上點沿某方向作一個截口，則該膜位于兩側(cè)的部分分別對于對方有單位強度為的拉力，拉力的方向與曲面法向垂直，又與方向垂直.下面我們?nèi)∧ど弦粔K小曲面進行分析，其投影記為.*推導(dǎo)想法：受力分析與沖量定理.*目標(biāo)函數(shù)：相對于平衡位置位移.編輯ppt符號說明：為的邊界.為的投影.為在點的切線方向，為在點的法線方向，為的切線方向，為的法線方向.回顧曲線切線與曲面切線方向：設(shè)曲線方程為則在的切線方向為編輯ppt設(shè)其上任意曲線方程為設(shè)曲面方程為：將其代入曲面方程，并對兩邊關(guān)于求導(dǎo)，可得設(shè)曲線方程為則在的切線方向為故過曲面上點的切面的法向方向為滿足的方程為：其曲面點的法線方向為編輯ppt張力的方向與的方向一致.曲線逆時針方向為正(1)建立方向矢量之間的關(guān)系.由于的方向為曲面法線的方向可取為的方向為故的方向可進一步取為編輯ppt故的方向可取為其中編輯ppt由于以及都是小量，故曲線逆時針方向為正由此可知，張力在垂直向上方向的分量是(2)建立小曲面所受到的沖量表達式.編輯ppt曲線順時針方向為正故沿著曲線積分，可得小曲面所受的張力合力為小曲面上所受外力的合力為所以在時間段內(nèi)作用于小曲面的沖量為(3)應(yīng)用沖量定理.其導(dǎo)致的動量變化為編輯ppt*附二維分部積分公式格林公式（面積分化成曲線積分）:設(shè)

是以光滑曲線為邊界的平面單連通區(qū)域，函數(shù)

和在

及

上連續(xù)并具有對和連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則成立下面我們以格林公式為基礎(chǔ)推導(dǎo)二維分部積分公式，關(guān)于三維分部積分將在第三章進一步介紹.一維分部積分公式編輯ppt下面把第二曲線積分化成第一曲線積分：令則其中表示單位外法向量.編輯ppt注意到記則有涉及第一曲線積分與散度形式的格林公式:特別地,其中記并且編輯ppt曲線逆時針方向為正利用沖量定理可得假設(shè)利用格林公式及NL公式,可得從而編輯ppt其標(biāo)準(zhǔn)形式為其中稱為自由項,受外力的振動稱為強迫振動,無外力作用稱為自由振動.膜振動方程(2D波動方程)2.定解條件的提法類似于弦振動方程,膜振動方程的定解條件同樣有邊界條件和初始條件.*初始條件編輯ppt*邊界條件(1)第一類邊界條件:膜的邊界固定或依照一已知函數(shù)隨時間而變化或(2)第二類邊界條件:膜邊界可以在一個光滑的柱面上自由滑動,不受摩擦力作用或考慮更一般地(3)第三類邊界條件:將膜固定在彈性支承上其中為已知正數(shù).或考慮更一般地編輯ppt*柯西問題*電磁波或聲波的運動方程或齊次情況3.球平均法考慮3D波動方程的柯西問題編輯ppt假設(shè)初始是有對稱,下面尋找球?qū)ΨQ解假設(shè)初始是有對稱,下面尋找球?qū)ΨQ解類似地,編輯ppt代入波動方程可得代入柯西問題可得1D波動方程令可得該想法為何不能應(yīng)用到2D情況?編輯ppt下面我們把上述想法進一步應(yīng)用一般初始情況(Poisson&FritzJohn).設(shè)為半徑的球面上的平均值考慮函數(shù)在以為心、以其中表示球面上的面積微元.引理4.1設(shè)則其球平均函數(shù)且滿足方程與初始條件編輯ppt預(yù)備結(jié)論及其證明提要(1)證只需考慮其它情況類似或利用平移變換.記表示上半球面，半徑的圓，表示以為球心，以為則下半球面類似.編輯ppt積分號與求導(dǎo)可交換：令則(2)證利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性，可得有利用微分中值定理，存在滿足表示閉球編輯ppt(3)證利用第一曲面積分化成重積分，其中曲面微元數(shù)學(xué)分析下：p.308與331編輯ppt對求二階導(dǎo)數(shù)（利用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性），然后相加可得而由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有利用變量替換可得（涉及曲面積分化成重積分）證其中表示上點的單位外法向量的第分量.編輯ppt利用格林公式可得其中是由圍成的球.再對求一次導(dǎo)，可得由此即得編輯ppt令利用積分中值定理，可得由此即得注對進行偶延拓后，仍有編輯ppt引理4.2則記是的解，且與初始條件編輯ppt證對表達式兩邊求導(dǎo)，可得利用（1）即得（1）編輯ppt將往方向作偶延拓，則在上，仍有視為參數(shù)，則滿足利用達朗貝爾公式可解出，從而結(jié)果編輯ppt設(shè)那么三維波動方程的柯西定理4.1問題存在唯一的解（泊松公式）證首先的解為編輯ppt利用和關(guān)于的偶性，有結(jié)果對上式關(guān)于取極限，即得下面計算右邊的極限.利用中值定理，可得編輯ppt故的表達式為編輯ppt下面驗證（3）是柯西問題（2）的解.（2）（3）故滿足編輯ppt（2）顯然類似于，我們可得也滿足柯西問題中方程（2）,故滿足柯西問題中方程（2）.另一方面，利用疊加原理，即知是柯西問題（2）的解.編輯ppt4.降維法下面考慮對應(yīng)的2D波動方程記則反之，如果問題（5）有一個與無關(guān)的解，則（4）（5）必滿足（4）.這種利用高維波動方程柯西問題的解得出低維波動方程柯西問題解的方法稱為降維法.編輯ppt利用泊松公式，可得為了利用曲面積分化成平面區(qū)域上的重積分，這里我們是用面積微元與其投影面積的關(guān)系得出高斯曲率系數(shù)：編輯ppt利用上述關(guān)系，上下半球面的積分都可化成同一圓上的積分：編輯ppt5.非齊次波動方程柯西問題的解一般的非齊次波動方程的柯西問題則問題（6）的解，由上述兩個問題的解疊加而成.可利用半齊化法拆解成和（7）故問題（6）的解歸結(jié)成求解問題（7）的解.（6）編輯ppt可利用齊次化原理求解問題（7），即先求（7）的解，然后關(guān)于積分，