第三章隨機分析

第三章隨機分析2023/3/291第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、均方極限的定義證明:由柯西—許瓦茲不等式：3.1均方極限第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日3.1均方極限第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日

2、均方極限的性質(zhì)（1）均方極限的唯一性若則（2）均方極限的運算性質(zhì)為常數(shù)，則若3.1均方極限第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日3、均方收斂判定準則(1)柯西準則

設(shè)均方收斂的充要條件是：(2)均方收斂準則設(shè)則均方收斂的充要條件是：為常數(shù)。3.1均方極限第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1、設(shè)是相互獨立的隨機變量序列,其分布律為討論均方連續(xù)性.解:由于故不均方收斂.上述隨機變量序列的均方極限及其性質(zhì),可以推廣到二階矩過程上.3.1均方極限第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日設(shè)是二階矩過程,若則稱當時,均方收斂于X,記作3.1均方極限第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、均方連續(xù)的定義設(shè)是二階矩過程,若則稱在均方連續(xù).若則稱在T上均方連續(xù),或稱是均方連續(xù)的.在t處均方連續(xù),2、均方連續(xù)準則設(shè)是二階矩過程,是其相關(guān)函數(shù),則在處均方連續(xù)的充要條件是在連續(xù).3.2均方連續(xù)第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日證明：充分性，設(shè)連續(xù)則在由連續(xù)性，得即必要性，由均方極限的性質(zhì)有3.2均方連續(xù)第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日即由均方連續(xù)準則可知：若二階矩過程的相關(guān)函數(shù)對任意的在(t,t)處連續(xù),則它在上連續(xù).例2、設(shè)其中W(t)為維鈉過X(t)的均方連續(xù)性.過程,試討論X(t)解：3.2均方連續(xù)第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日顯然均方連續(xù)函數(shù).是連續(xù)函數(shù),所以3.2均方連續(xù)第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、均方導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)是二階矩過程,如果均方極限存在，則稱此極限為在點的均方導(dǎo)數(shù),記作稱點均方可導(dǎo)。在若對于均方可導(dǎo)，則稱是均方可導(dǎo)的.此時3.3均方導(dǎo)數(shù)第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日的均方導(dǎo)數(shù)是一個新的二階矩過程,記作稱為導(dǎo)數(shù)過程.類似地可定義二階以至高階導(dǎo)數(shù)過程.2、均方可導(dǎo)準則(1)廣義二階導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)二元函數(shù)若下列極限存在,則稱此極限為函數(shù)廣義二階導(dǎo)數(shù).點的3.3均方導(dǎo)數(shù)第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日(2)均方可導(dǎo)準則

二階矩過程在的充要條件為其可導(dǎo).廣義二階廣義二階導(dǎo)數(shù)存在的充分條件為關(guān)于s,t的二階混合的二階廣義導(dǎo)數(shù)等于它得二階混合偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),且證明:均方極限存在的充要條件為3.3均方導(dǎo)數(shù)第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日存在,而上式可表示為正是在處的二階廣義導(dǎo)數(shù).由均方可導(dǎo)準則可知:二階矩過程對任意廣義二階可導(dǎo).均方可導(dǎo)的條件為其相關(guān)函數(shù)3.3均方導(dǎo)數(shù)第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日3、均方導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)(1)設(shè)在t處均方可導(dǎo),則必在該處連續(xù),其逆不真.

(2)若則(3)(4)則(5)若為常隨機變量)上述性質(zhì)利用均方導(dǎo)數(shù)與均方極限的定義可直接證得.

4、均方導(dǎo)數(shù)過程與原過程數(shù)字特征間的關(guān)系3.3均方導(dǎo)數(shù)第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日若二階矩過程相關(guān)函數(shù)對任意的在(t,t)處廣義二階可導(dǎo),則在都存在,且(1)(2)(3)(4)其中3.3均方導(dǎo)數(shù)第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日例3、設(shè)的均值函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為求其導(dǎo)數(shù)過程的均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù).解:3.3均方導(dǎo)數(shù)第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、均方積分的定義設(shè)二階矩過程為定義在確定性函數(shù),將分成n個部分區(qū)間,一組分點是令作和式記若對于任意的及任一組分點,均方極限存在,且與對區(qū)間的分法與的取法無關(guān),則稱3.4均方積分第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日在上黎曼均方可積,均方極限值為在區(qū)間上的黎曼均方積分,記作稱為在上的均方積分過程。類似地廣義均方積分為:若f(t,u)僅為t的函數(shù)或為常數(shù),則Y(u)為一二階矩隨機變量.3.4均方積分第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日2、均方可積準則證明:由均方可積的定義知,均方可積,即均方極限存在,由均方收斂準則知設(shè)是二階矩過程,是函數(shù),則均方分存在的普通可積的充分條件是下列二重積3.4均方積分第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日上式即為二重積分若上述二重積分存在,則保證均方可積,充分性得證.例4、設(shè){N(t),t>0}是強度為其均方可積性。的波松過程，討論3.4均方積分第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日解:uu0s>ts<tts第一項積分顯然存在,第二項積分為3、均方積分的性質(zhì)(1)若是均方連續(xù)的二階矩過程,則在是均方可積的;3.4均方積分第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日(3)若二階矩過程在都均方可積,則對于任意常數(shù)在均方可積,且(2)若二階矩過程在則其均方積分在概率1下是唯一的.是均方可積的,在(4)若二階矩過程上均方可積,在也均方可積,且3.4均方積分第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日

4、積分過程與原過程數(shù)字特征間的關(guān)系設(shè)存在,則積分過程數(shù)字特征為:(1)均值函數(shù)(2)相關(guān)函數(shù)(3)協(xié)方差相關(guān)函數(shù)3.4均方積分第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日5、均方不定積分若二階矩過程上均方連續(xù),令在則稱為在上的不定積分.設(shè)二階矩過程在連續(xù),則其不定積分上均方可導(dǎo),且3.4均方積分第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日類似于牛萊公式有:例5、設(shè)是參數(shù)為的維納過程,求下列過程均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù).

解:導(dǎo)數(shù)過程設(shè)二階矩過程均方可導(dǎo),在連續(xù),則3.4均方積分第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日當同理,當3.4均方積分第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日是具有n階均方導(dǎo)數(shù)的隨機過程,為n階線性隨機微分方程,其中是復(fù)函數(shù).1、一階線性隨機微分方程的解設(shè)普通復(fù)函數(shù),均方連續(xù)的二階矩過程,則一階線性隨機微分方程3.5均方隨機微分方程第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日的解為2、一階線性隨機微分方程解的數(shù)學期望函數(shù)對(1)兩端取數(shù)學期望得解微分方程(2),其解為方程(1)的解的均值函數(shù).3、一階線性隨機微分方程解的相關(guān)函數(shù)并取數(shù)學期望得為求,將(1)兩端乘以3.5均方隨機微分方程第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日即(3)式中未知,為此將(1)兩端取共軛并乘以期望,得并取數(shù)學3.5均方隨機微分方程第三十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日即當