第七章曲線曲面生成

第七章曲線曲面生成第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實(shí)驗(yàn)、觀測(cè)或數(shù)值計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)來(lái)繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)中，要用到大量的曲線和曲面來(lái)描述其幾何形狀。表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的困難曲線曲面第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日工程上常用的曲線可以分為兩類:規(guī)則曲線不規(guī)則曲線(擬合曲線)。

7.1曲線的生成第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日規(guī)則曲線可以用函數(shù)或參數(shù)方程直接表示的曲線。二維平面x=f(t)y=g(t)空間曲線x=f(t)y=g(t)z=h(t)

參數(shù)t在一定區(qū)間變化，可以求得曲線上不同的坐標(biāo)點(diǎn)，連接這些坐標(biāo)點(diǎn)就能在屏幕上畫出曲線，t變化間隔越小，曲線畫得越精細(xì)。例如：橢圓x=acosθ

y=bsinθ

θ=0～360°變化△θ=1°第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

工程中除了用到前述的規(guī)則曲線外，還常常遇到這樣的情況：已知一些計(jì)算值或測(cè)試數(shù)據(jù)，要構(gòu)造一條光滑曲線，通過(guò)或貼近這些離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，這樣構(gòu)造出來(lái)的曲線稱為擬合曲線。擬合曲線

擬合曲線通常采用二次或三次參數(shù)曲線的形式，我們主要介紹三次擬合曲線。通過(guò)離散點(diǎn)貼近離散點(diǎn)第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日主要三類擬合曲線：Ferguson曲線三次Bezier曲線B樣條曲線擬合曲線第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)三次曲線段可以描述成：

P(t)=At3+Bt2+Ct+D=t3t2t1ABCD=t3t2t1MT0≤t≤1Ferguson曲線P(t)=P(0)=Q1=P(1)=Q1=P(0)=Q0=P(1)=Q1=3t22t100001111100103210MMMMMQ0Q0Q1Q1。。。。。。。第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Q0Q1Q0Q1=0001111100113210MQ0Q0Q1=2-211-3-3-2-200101010Q1M。。。。P(t)=t3t2t1Q0Q0Q12-211-3-3-2-200101010Q1。。0≤t≤1Ferguson曲線第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

Ferguson曲線需要知道起點(diǎn)、終點(diǎn)的切失，這在實(shí)際工作中很難確定，如果將切矢用位矢代替，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，Bezier就是從這點(diǎn)入手的。三次Bezier曲線的構(gòu)造:Q01=Q0+1/p*Q0Q0=p(Q01-Q0)Q10=Q1+1/p*Q1Q1=p(Q10-Q1)代入上式。。。。Bezier曲線Q0Q0Q1Q1。。Q01Q10。第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日P(t)=t3t2t12-pp-p2+p-3+2p-2pp3-p-pp001000Q0Q10Q1Q010≤t≤1P(t)=t3t2t12-211-33-2-100101000Q0Q1P(Q01-Q0)P(Q10-Q1)0≤t≤1Bezier曲線第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日由A0(t)+A1(t)+A2(t)+A3(t)＝1A0(t)≥0A1(t)≥0A2(t)≥0A3(t)≥0得出：0≤p≤3p=3時(shí)，逼近性最好。柯西條件:（滿足凸包性要求）＝A0(t)A1(t)A2(t)A3(t)Q0Q10Q11Q01=A0(t)Q0+A1(t)Q01+A2(t)Q10+A3(t)Q1P(t)Bezier曲線第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Y(t)=t3t2t13-630-33001000Y0Y1Y2Y3-13-310≤t≤1P(t)=t3t2t13-630-33001000Q0Q1Q2Q3-13-310≤t≤1X(t)=t3t2t13-630-33001000X0X1X2X3-13-310≤t≤1Bezier曲線第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日X(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3Y(t)=B0+B1t+B2t2+B3t3A0=x0A1=-3x0+3x1A2=3x0-6x1+3x2A3=-x0+3x1-3x2+x3B0～

B3計(jì)算式同上，只要將y0，y1，y2，y3代替x0，x1，x2，x3即可。Q0Q1Q2Q3Bezier曲線第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Bezier曲線的連接

Q2，Q3，Q4位于同一條直線才能保證兩Bezier曲線段光滑連接。Bezier曲線不足：特征多邊形的邊數(shù)與曲線的次數(shù)有關(guān)。Bezier曲線是一個(gè)整體的逼近方案（牽一發(fā)動(dòng)全身）。

Q0Q1Q3Q2Q5Q4Q6第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

三次B樣條曲線對(duì)三次Bezier曲線進(jìn)行改進(jìn)，它克服了Bezier曲線的不足，同時(shí)保留了Bezier曲線的直觀性和凸包性，是一種工程設(shè)計(jì)中更常用的擬合曲線。三次B樣條曲線的構(gòu)造:由前面可知，三次參數(shù)曲線可以表示成：P(t)=A0(t)Q0+A1(t)Q1+A2(t)Q2+A3(t)Q3(1)A0(t)，A1(t)，A2(t)，A3(t)是待定參數(shù)

B樣條曲線P1由Q0，Q1，Q2，Q3確定P2由Q1，Q2，Q3，Q4確定Q0Q1Q3Q2Q4P1P2第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日P1(1)=P2(0)P1(1)=P2(0)P1(1)=P2(0)A0(t)+A1(t)+A2(t)+A3(t)=1A0(t)，A1(t)

，A2(t)，A3(t)≥0確定A0(t)，A1(t)

，A2(t)，A3(t)

代入（1）式P(t)=t3t2t13-630-30301410Q0Q1Q2Q3-13-310≤t≤11/6。。。。。。

對(duì)于B樣條曲線來(lái)說(shuō)，特征多邊形每增加一個(gè)頂點(diǎn)，就相應(yīng)增加一段B樣條曲線。因此，B樣條曲線很好地解決了曲線段的連接問(wèn)題。B樣條曲線第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日X(t)=t3t2t1X0X1X2X30≤t≤1Y(t)=t3t2t1Y1Y2Y30≤t≤11/61/6X(t)=A0+A1t+A2t2+A3t3Y(t)=B0+B1t+B2t2+B3t3展開：3-630-30301410-13-313-630-30301410-13-31Y0B樣條曲線第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日其中：A0=(x0+4x1+x2)/6A=-(x0-x2)2A2=(x0-2x1+x2)/2A3=-(x0-3x1+3x2-x3)/6B0～

B3計(jì)算式同上，只要將y0，y1，y2，y3代替x0，x1，x2，x3即可。編程步驟：（a）計(jì)算A0～A3，B0～

B3

（b）將t在0～1之間變化，計(jì)算相應(yīng)X(t),Y(t)（c）將坐標(biāo)點(diǎn)X(t),Y(t)逐點(diǎn)相連。B樣條曲線第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

由于三次B樣條曲線的始點(diǎn)和終點(diǎn)都不在原來(lái)的角點(diǎn)上，如要使曲線的始點(diǎn)從Q0開始，并以Q4為終點(diǎn)，則只要在Q0點(diǎn)之前外延一個(gè)角點(diǎn)Q-1，使Q-1位于Q-1Q0的延長(zhǎng)線上，并且Q-1Q0=Q0Q1。采用相同的方法使曲線的終點(diǎn)通過(guò)Q4。Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q-1Q5三次B樣條曲線的邊界問(wèn)題第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日B樣條曲線的適用范圍

對(duì)于特征多邊形的逼近性

二次B樣條曲線優(yōu)于三次B樣條曲線三次Bezier曲線優(yōu)于二次Bezier曲線

相鄰曲線段之間的連續(xù)性

二次B樣條曲線只達(dá)到一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)三次B樣條曲線則達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

角點(diǎn)的修改對(duì)曲線形狀的影響

Bezier曲線：修改一個(gè)角點(diǎn)將影響整條曲線的形狀。B樣條曲線：修改一個(gè)角點(diǎn)只影響該角點(diǎn)所在位置前后三段曲線的形狀。第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日角點(diǎn)重疊和角點(diǎn)共線(*)

二重角點(diǎn)

若要使B樣條曲線與特征多邊形相切，可運(yùn)用二重角點(diǎn)的方法。Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q（0-1）P0第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

三重角點(diǎn)

若要使B樣條曲線產(chǎn)生一個(gè)尖點(diǎn)，可運(yùn)用三重角點(diǎn)的方法。Q1Q4Q3Q2Q5P1P2Q0P0Q6P4P5第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

三角點(diǎn)共線

若要使B樣條曲線產(chǎn)生反向弧切接的效果，可運(yùn)用三角點(diǎn)共線的方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

四角點(diǎn)共線

若要使B樣條曲線段之間切接入一段直線，可運(yùn)用四角點(diǎn)共線的方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。。Q5P3第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日我們知道三次B樣條曲線的第i段為

三次B樣條曲線反求(*)Pi,3(t)=t3t2t11/63-630-30301410-13-31Qi-1QiQi+1Qi+2則Pi,3(t)的兩端位置為：Pi,3(0)=1/6(Qi-1+4Qi+Qi+1)Pi,3(1)=1/6(Qi+4Qi+1+Qi+2)第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Qm+1QmQm-1Q-1Q0Q1開曲線:考慮自由端情況P”0,3

(0)=Q-1–2Q0+Q1=0P”m-1,3(1)=Qm-1–2Qm+Qm+1=0得到：Q-1=2Q0–Q1Qm+1=2Qm–Qm-1

這樣一個(gè)m段的三次B樣條曲線由m+1個(gè)點(diǎn)，再加上兩個(gè)人工點(diǎn)Q-1，Qm+1共m+3個(gè)點(diǎn)完全決定。

三次B樣條曲線反求(*)第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日P0（0）=P0,3(0)=1/6(2Q0-Q1+4Q0+Q1)=Q0Pm-1（1）=Pm-1,3(1)=1/6(Qm-1+4Qm+2Qm-Qm-1)=Qm對(duì)于矩陣為：1660P0(0)P1(0)……Pm-1(0)Pm-1(1)141………06Q0Q1……Qm-1Qm=……………

三次B樣條曲線反求(*)第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日閉曲線:Q-1=QmQm+1=Q0對(duì)應(yīng)的矩陣為：41……1P0(0)P1(0)……Pm-1(0)Pm(0)141…1……………141Q0Q1……Qm-1Qm=Qm+1QmQm-1Q-1Q0Q116114…………

三次B樣條曲線反求(*)第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第七章曲線曲面的生成7.1曲線的生成7.2曲面的生成第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日7.2曲面平面曲線：空間曲線：P(t)=P(t)=[x(t),y(t)][x(t),y(t)，z(t)]r(u,w)=x(u,w),y(u,w),z(u,w)參數(shù)t參數(shù)u,w

在汽車、飛機(jī)、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)和放樣工作中，曲面的應(yīng)用非常廣泛，這些部門對(duì)曲面的研究十分重視。從某種意義上講，曲面的表示可以看作是曲線表示方法的延伸和擴(kuò)展。例如：曲面：第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日常見的擬合曲面有三種：

Coons曲面，Bezier曲面B樣條曲面，我們主要介紹三次曲面。擬合曲面第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

Coons曲面

Coons曲面是用四個(gè)角點(diǎn)處的位矢、切矢和扭矢等信息來(lái)控制的。在描述Coons曲面時(shí)，采用由Coons本人創(chuàng)造的一套記號(hào)，從而使表達(dá)式間接明了。曲面r(u,w)記作uw四角點(diǎn)位矢記作：00=r(0,0)01=r(0,1)01=r(1,0)11=r(1,1)00011011XYZuw0u1u0w1w[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]uw=第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日00u=r(u,w)

U=0W=0u01u=r(u,w)

U=0W=1u10u=r(u,w)

U=1W=0u11u=r(u,w)

U=1W=1u四角點(diǎn)沿w方向切矢記作：00w=r(u,w)

U=0W=0w01w=r(u,w)

U=0W=1w10w=r(u,w)

U=1W=0w11w=r(u,w)

U=1W=1w四角點(diǎn)沿u方向切矢記作：第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日00uw=r(u,w)

U=0W=0u01uw=2r(u,w)

U=0W=1u10uw=2r(u,w)

u11uw=2r(u,w)

u四角點(diǎn)處的扭矢記作：U=1W=0U=1W=1十六個(gè)控制信息寫成矩陣：C＝0001101100u01u10u11u00uw01uw

10uw11uw

00w01w10w11w=角點(diǎn)位矢w向切矢u向切矢扭矢第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

曲面的形狀、位置與切失、位矢有關(guān)，與扭矢無(wú)關(guān)。扭矢只反映曲面的凹凸程度。Coons曲面是雙三次曲面，其方程為：uw=U?M?C?MT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)式中：U=u3u2u11W=w3w2w11M=2-211-33-2-100101000TMT=-23001-2101-1002-301

Coons曲面第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日寫成X，Y，Z三個(gè)方向的分量形式:x(u,w)=U?

M?

Cx?

MT?

WTy(u,w)=U?

M?

Cy?

MT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)z(u,w)=U?

M?

Cz?

MT?

WT

Coons曲面第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

Bezier曲面

Coons曲面得扭矢往往不易理解，使用不方便。另外，要構(gòu)造一張曲面，已知條件矢切矢和扭矢，在工程中也是不太現(xiàn)實(shí)。Bezier曲面很好地克服了這一困難。

Bezier曲面是Bezier曲線的擴(kuò)展，Bezier曲面的邊界線就是由四條Bezier曲線構(gòu)成的。三次Bezier曲線段由四個(gè)控制點(diǎn)確定，三次Bezier曲面片則由４×４控制點(diǎn)確定。16個(gè)控制點(diǎn)組成一個(gè)矩陣：B=Q00Q10Q20Q30

Q01Q11Q21Q31

Q02Q12Q22Q32Q03Q13Q23Q33Q00Q10Q20Q30Q01Q31Q32Q02Q03Q33Q13Q23Q11Q21Q12Q22wu第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

曲面的形狀、位置由邊界上的四個(gè)角點(diǎn)決定。中間四個(gè)角點(diǎn)只反映曲面的凹凸程度。v(u,w)=U?

N?B?

NT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)

Bezier曲面得表達(dá)式：式中U=u3u2u11WT=w3w2w11T3-630-33001000-13-31N==NT（與Bezier曲線相同）

Bezier曲面第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日寫成Ｘ，Ｙ，Ｚ三個(gè)方向分量得形式：X(u,w)=U?

N?Bx?

NT?

WTY(u,w)=U?

N?By?

NT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)Z(u,w)=U?

N?Bz?

NT?

WT

Bezier曲面第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Ｂ樣條曲面

Ｂ樣條曲面也是Ｂ樣條曲線的推廣，與三次Bezier曲面一樣，三次Ｂ樣條曲面片也是由4×4控制點(diǎn)確定的。

同樣，16個(gè)控制點(diǎn)寫成如下矩陣形式：B=Q00Q10Q20Q30

Q01Q11Q21Q31

Q02Q12Q22Q32Q03Q13Q23Q33

與三次Ｂ樣條曲線一樣，三次Ｂ樣條曲面也很好地解決了曲面片之間的連接問(wèn)題。Q00Q10Q20Q30Q01Q31Q32Q02Q03Q33Q13Q23Q11Q21Q12Q22wu第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日Ｂ樣條曲面的表達(dá)式為：v(u,w)=U?

N?B?

NT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)U、W、B矩陣與Bezier曲面是一樣的。3-630-30301410-13-311/6N=（與Ｂ樣條曲線相同）寫成X，Y，Z三個(gè)方向的分量形式:x(u,w)=U?

N ?

Bx?

NT?

WTy(u,w)=U?

N?

By?

NT?

WT(0≤u≤1,0≤w≤1)z(u,w)=U?

N?

Bz?

NT?

WT第四十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日VoidB_face(float*Bx,*By,*Bz,*projection_matrix44;floatFx,Fy)

//繪制B樣條曲面的程序，16個(gè)控制點(diǎn)的x,y,z坐標(biāo)分別

//在4x4的矩陣Bx,By,Bz中,projection_matrix44為投影變換矩陣,

//Fx,Fy為投影后平移量

{floatN[4][4],Nt[4][4],U[1][4],Wt[4][1],temp_prod