第一講二重積分三重積分

第一講二重積分三重積分第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日二重積分三重積分第一類曲線積分第二類曲線積分第一類曲面積分第二類曲面積分總和2012104142011114152010441018200944410222008941320074410182006412143020051215272004441220第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、二重積分的定義與可積性三、二重積分的應(yīng)用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的概念與性質(zhì)第九章第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日曲頂柱體體積:平面薄板的質(zhì)量:一定義如果在D上可積,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日7.(二重積分的中值定理)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使連續(xù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8.二重積分的對稱性定理（1）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，f(x,y)為y的奇偶函數(shù)，則第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，f(x,y)為x的奇偶函數(shù)，

(3)輪換對稱性：（4）如果積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日(5)如果積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩部分為第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日真題研討第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日例1.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日例2設(shè)D是平面上以（1,1),（-1,1）,（-1，-1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計算法第九章第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分若D為X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日設(shè)則特別,對機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三節(jié)一、三重積分的概念和性質(zhì)二、三重積分的計算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三重積分第九章第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日定義.

設(shè)稱為體積元素,

在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日對稱性的應(yīng)用關(guān)于yoz面對稱，第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日若區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x,y,z)關(guān)于(x,y,z)是奇函數(shù)，則第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日二、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日3.利用球坐標(biāo)計算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日考研真題研討第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日三重積分的計算更要關(guān)注利用球坐標(biāo)或柱面坐標(biāo)的計算，在第二類曲面積分中，常常利用高斯公式來解決問題，而高斯公式的應(yīng)用很多時候都用球坐標(biāo)或者柱面坐標(biāo)來計算。第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例3.

計算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日其中為由例4.計算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例5.

計算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日例6.設(shè)計算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日例7.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日第三節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動慣量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束重積分的應(yīng)用第九章第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日二.曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日若光滑曲面方程為則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日三.若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日四如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日五、