北京市西城區(qū)第四中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題(含解析)

北京市西城區(qū)第四中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（含解析）一、選擇題tan690o的值為（）A.3B.3C.333D.3【答案】C【分析】試題剖析：因3,故應(yīng)選C.3考點(diǎn)：引誘公式及運(yùn)用.2.設(shè)數(shù)列{a}是等差數(shù)列，若a+a+a＝12，則a+a++a＝（）n345127A.14B.21C.28D.35【答案】C【分析】【剖析】依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)獲得a44，再計(jì)算a1a2a77a4獲得答案.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a3a4a53a412a44；a1a2a77a428應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題考察了等差數(shù)列的性質(zhì)，意在考察學(xué)生對(duì)于數(shù)列性質(zhì)的靈巧運(yùn)用.3.設(shè)

R，則“

sin

cos

”是“

sin2

1”的（

）A.充分而不用要條件

B.必需而不充分條件C.充分必需條件

D.既不充分也不用要條件【答案】

C【分析】【剖析】sincos，得k4，得sin21建立；若sin21，得k，4得sincos，即可判斷.【詳解】若sincos，則tan1,k，得4sin2sin2k4sin1成立；反之，若2sin21，則22k2k4，得sincos，故?sincos?是“sin21?的充分必需條件.應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】此題考察充分條件與必需條件，屬基礎(chǔ)題.易錯(cuò)點(diǎn)是“sincos”推出“sin21”.abz12i，則z等于（4.定義：dadbc，若復(fù)數(shù)z知足1）ciiA.1+iB.1﹣iC.3+iD.3﹣i【答案】B【分析】【剖析】z1i，代入數(shù)據(jù)化簡獲得答案.依據(jù)定義獲得iziiz1z1i1i【詳解】依據(jù)題意知：zii12iiii應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】此題考察了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考察學(xué)生的計(jì)算能力.5.已知會(huì)合Mxx12,xR,Px5Z，則MIP等于（）1,xx1A.x0x3,xZB.x0x3,xZC.x1x0,xZD.x1x0,xZ【答案】B【分析】【剖析】解絕對(duì)值不等式可得會(huì)合M,解分式不等式可得會(huì)合P,即可求得MIP．【詳解】會(huì)合Mxx12,xR解絕對(duì)值不等式x1≤2,可得Mx1x3會(huì)合P51,xZxx15Z,可得Px1x4,xZ解分式不等式1,xx1則MPx1x3x1x4,xZx0x3,xZ應(yīng)選:B【點(diǎn)睛】此題考察了會(huì)合交集的簡單運(yùn)算,絕對(duì)值不等式與分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題．6.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)f(x)2x1,g(x)21x的圖象對(duì)于（）A.原點(diǎn)對(duì)稱B.x軸對(duì)稱C.y軸對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱【答案】C【分析】因?yàn)間(x)21xf(x)，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)于y軸對(duì)稱，應(yīng)選C．7.函數(shù)1（）（2，）處的切線是（）ylnx1在點(diǎn)2PkA.x﹣2＝0B.x﹣﹣1＝0C.x﹣2y﹣1＝0D.2x﹣2yyy﹣3＝0【答案】C【分析】【剖析】求導(dǎo)獲得y'1，當(dāng)x2時(shí)，y1,y'1，計(jì)算獲得切線方程.2x1221（x）1y'2時(shí)，y1,y'1【詳解】y2，當(dāng)x2x122故切線方程為：y1x21x2y1022應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題考察了求函數(shù)的切線方程，意在考察學(xué)生的計(jì)算能力.8.函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)f(2x)，且當(dāng)x(,1)時(shí)，(x1)f'(x)0，1設(shè)af(0)，bf()，cf(3)，則（）2A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】B【分析】【詳解】x∈（-∞，1）時(shí)，x-1＜0，由（x-1）?f'（x）＜0，知f'（x）＞0，所以（-∞，1）上f（x）是增函數(shù)．∵f（x）=f（2-x），f（3）=f（2-3）=f（-1）所以f（-1）＜（0）＜f(1)，2所以c＜a＜b．應(yīng)選B．9.已知fx是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)x0,2時(shí)，fxx2lnx，則f2019（）A.1B.0C.1D.2【答案】A【分析】【剖析】由函數(shù)yfx的周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得出f2019f1f1，代入分析式可得出f2019的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)yfx定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)x0,2時(shí)，fxx2lnx，f2019f45051f1f112ln11，應(yīng)選A.【點(diǎn)睛】此題考察利用函數(shù)的奇偶性與周期性求值，對(duì)于自變量絕對(duì)值較大的函數(shù)值的求解，一般先利用周期性將自變量的絕對(duì)值變小，而后利用函數(shù)奇偶性求解，考察剖析問題和運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10.設(shè)函數(shù)f（x）3sinx，若存在222mf（x）的極值點(diǎn)x0知足x0+[f（x0）]＜m，則m的取值范圍是（）A.（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B.（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【分析】【剖析】求導(dǎo)獲得f'x3cosx，計(jì)算獲得x0mmk,kZ，代入式子化簡獲得mm2k2k3m230，取k0或k1時(shí)計(jì)算獲得答案.4【詳解】fx3sinx，則f'x3cosxmmm故f'x03cosx00x0kx0mmk,kZmmm22（）2m232m2mk2k2km230,kZx0[fx0]23m4當(dāng)k0或k1時(shí)得：3m230m2或m24應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題考察了極值，存在性問題，意在考察學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用能力.二、填空題111.函數(shù)f（）log（12x的定義域是_____．x1）21【答案】（，0）∪（0，+∞）．2【分析】【剖析】2x10依據(jù)定義域定義獲得（2x）0計(jì)算獲得答案.log112f1x【詳解】函數(shù)log（2x1）的定義域滿足：122x10x1，0,log1（2x1）022故答案：1，0,2【點(diǎn)睛】此題考察了函數(shù)定義域，意在考察學(xué)生的計(jì)算能力.12.曲線yex在點(diǎn)2,e2處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為.【答案】e22【分析】分析：依題意得y′=ex，所以曲線y=ex在點(diǎn)A（2，e2）處切線斜率等于e2，相應(yīng)切線方程是y-e2=e2（x-2），當(dāng)x=0時(shí)，y=-e2即y=0時(shí)，x=1，∴切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為：S1e21e22213.已知等比數(shù)列anS4=.的公比為2,前n項(xiàng)和為Sn,則a2【答案】152【分析】由等比數(shù)列的定義，S4=a1＋a2＋a3＋a4=a2＋a2＋a2q＋a2q2，qS41215的得a2q＋1＋q＋q=2.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一丈量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，則A，B兩點(diǎn)的距離為m【答案】502m【分析】50sin45o502由正弦定理得sin(180o105o45o)15.已知函數(shù)f(x)xlnxx2，且x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．給出以下幾個(gè)命題：①0x01；1e②x0；e③f(x0)x00；f(x0)x00此中正確的命題是__________．（填出全部正確命題的序號(hào)）【答案】①③．【分析】試題剖析：的定義域?yàn)?，，所以有，所以有即即，所以有；因?yàn)椋杂校键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用2x，＜16.設(shè)函數(shù)f（x））（），，（14xax2ax①若a＝1，則f（x）的最小值為_____；②若f（）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．x【答案】(1).﹣1(2).1a＜1，或a≥2．2【分析】【剖析】①分別計(jì)算x1和x1的最小值，比較獲得答案.②設(shè)h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），議論hx有一個(gè)零點(diǎn)和沒有零點(diǎn)兩種狀況，計(jì)算獲得答案2x，＜【詳解】①當(dāng)，a＝1時(shí)，f（x）x）（x（），412x1當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當(dāng)x1時(shí)，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x3）2﹣1，2當(dāng)1＜x＜3時(shí)，函數(shù)單一遞減，當(dāng)x＞3時(shí)，函數(shù)單一遞加，22故當(dāng)x3時(shí)，f（）min＝f（3）＝﹣1，故最小值為12x2②設(shè)（）＝2x﹣，（）＝4（﹣a）（﹣2）hxagxxxa若在x＜1時(shí)，h（x）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以a＞0，而且當(dāng)x＝1時(shí)，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，所以1a＜1，2x若函數(shù)h（x）＝2﹣a在x＜1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）與x軸無交點(diǎn)，g（x）無交點(diǎn)，所以不知足題意（舍去），當(dāng)h（1）＝2﹣a≤0時(shí)，即

a≥2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)知足

x1＝a，x2＝2a，知足題意的綜上所述：

a的取值范圍是

1

a＜1，或

a≥2．2故答案為：

-1；

1

a＜1，或

a≥2．2【點(diǎn)睛】此題考察了函數(shù)的最值和函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考察學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.三、解答題已知：{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4組成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）令bn＝log2a3n+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N（2）Tn＝3（n2+n）2【分析】【剖析】（1）直接利用等比數(shù)列公式和等差中項(xiàng)公式計(jì)算獲得答案.（2）計(jì)算獲得b3n，直接利用等差數(shù)列乞降公式獲得答案.n【詳解】（1）{n}是公比q大于1等比數(shù)列，n為其前n項(xiàng)和，3＝7，可得a1（1++2）aSSqq＝7，①1232131q＝a112a+3，3a，a+4組成等差數(shù)列，可得6a＝a+3+a+4，即6a+aq+7，②由①②可得a1＝1，q＝2，則an＝2n﹣1，n∈N*；（2）bnlog2a3n1log223n3n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和n＝3（1+2++）＝31（）32+）．n2nn+12【點(diǎn)睛】此題考察了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列乞降，意在考察學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的綜合應(yīng)用.－π<，＝圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝.的8求φ；求函數(shù)y＝f(x)的單一增區(qū)間；畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．【答案】（1）3k,k5；（2）；（3）圖象看法析.488【分析】【詳解】解：（1）∵sin(2)1，∴4k,kZ．82∵0，∴3．4（2）ysin(2x3)．由2k2x32k,kZ4242得函數(shù)ysin(2x3,k5Z．)的單一增區(qū)間為[k],k488（3）由ysin(2x3)知4x03578888y21010222故函數(shù)yf(x)在區(qū)間[0,]上的圖象如下圖．19.已知函數(shù)f(x)xalnx(aR).（Ⅰ）當(dāng)a2時(shí)，求曲線yfx在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)fx的極值.【答案】(1)x＋y－2＝0；(2)當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處獲得極小值a－alna無極大【分析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－a.x(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)

＝x－2lnx

，f′(x)

＝1－

2

(x>0)

，x因此

f(1)

＝1，f′(1)

＝－

1，所以曲線

y＝f(x)

在點(diǎn)

A(1，f(1))

處的切線方程為

y－1＝－(x

－1)，即

x＋y－2＝0.(2)由f′(x)

＝1－

a＝

x

a

，x>0知：x

x①當(dāng)

a≤0時(shí)，f′(x)>0

，函數(shù)

f(x)

為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)

f(x)

無極值；②當(dāng)

a>0時(shí)，由

f′(x)

＝0，解得

x＝a，又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，進(jìn)而函數(shù)

f(x)

在x＝a處獲得極小值，且極小值為

f(a)

＝a－alna

，無極大值．綜上，當(dāng)

a≤0時(shí)，函數(shù)

f(x)

無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處獲得極小值a－alna，無極大值．20.在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別是a,b,c，若cosB4,b2.55（1）當(dāng)a,求角A的度數(shù)；（2）求ABC面積的最大值．3【答案】（1）A30.（2）3.【分析】【詳解】解：（1）QcosB43,Qab,sinBsinB55sinA52153sinA2,A(0,),A30.．．．．．．．．．．．5分sinA3,Q2325（2）QS1acsinB3ac,210Qb2a2c22accosB,4a2c28ac2ac8ac2ac3555得ac10ac3，S10所以

ABC面積的最大值為

3.．．．．．．．．．．．．．12分21.某制藥廠準(zhǔn)備投入適合的廣告費(fèi)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行宣傳，在一年內(nèi)，估計(jì)年銷量

Q（萬件）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為Q3x1（x≥0）．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為x13萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需后期再投入32萬元，若每件售價(jià)為“年均勻每件投入的150%”與“年均勻每件所占廣告費(fèi)的50%”之和（注：投入包含“年固定投入”與“后期再投入”）．（1）試將年收益w萬元表示為年廣告費(fèi)x萬元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費(fèi)投入100萬元時(shí)，公司損失仍是盈余？（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，公司年收益最大？【答案】（1）wx298x35,公司損失（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí)，公司年收益最（2x1）大【分析】【剖析】（1）先計(jì)算售價(jià)為996Qx，再計(jì)算收益為w996QxQx332Q，化簡2Q2Q獲得答案.（2）化簡獲得w1(x1)6450，利用均值不等式計(jì)算獲得答案.2x1【詳解】（1）由題意，每件售價(jià)為332Qx50%996QxQ150%Q2Q，則w996QxQx332Q996Qx2x664Qx298x35，2Q22(x1)則當(dāng)x＝100時(shí)，w10000980035＜0，故公司損失．2101（2）wx298x351(x1)6450508422(x1)2x1（當(dāng)且僅當(dāng)x＝7時(shí)等號(hào)建立）．故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬元時(shí)，公司年收益最大．【點(diǎn)睛】此題考察了函數(shù)和均值不等式的應(yīng)用，意在考察學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.22.已知：函數(shù)f（）＝2﹣ax2+3，此中a∈．xlnxxR（1）若f（1）＝2，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）若a＝﹣1，正實(shí)數(shù)x1，x2知足f（x1）+f（