初三數(shù)學《二次函數(shù)》知識點總結(jié)和經(jīng)典習題(附答案)

初三數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．六、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式（交點式）：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．（同左異右b為0對稱軸為y軸）3.常數(shù)項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置．十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．.②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有．拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；二次函數(shù)對應練習試題一、選擇題1.二次函數(shù)的頂點坐標是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（）A.B.C.D.3.函數(shù)和在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號;②當和時,函數(shù)值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個5.已知二次函數(shù)的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關于的一元二次方程的兩個根分別是（）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7.方程的正根的個數(shù)為（）A.0個B.1個C.2個.3個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A.B.C.或D.或二、填空題9．二次函數(shù)的對稱軸是，則_______。10．已知拋物線y=-2（x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______.11．一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可）。12．拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b=,c=。14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).三、解答題：15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,).(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)當x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關系式（0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2計算．這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？（2）在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5：4的點P的坐標。18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？（4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由．二次函數(shù)應用題訓練1、心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（分）之間滿足函數(shù)關系：y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30).（1）當x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步增強？當x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步減弱？（2）第10分鐘時，學生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時，學生的接受能力最強？2、如圖,已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?3、如圖,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開始,沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動;點Q從點B開始,沿著BC邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果P,Q同時出發(fā),問經(jīng)過幾秒鐘△PBQ的面積最大?最大面積是多少?4、如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式;(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少.5、如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設它的長度為xm.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足關系：m=140－2x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關系式;(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)專題復習圖像特征與a、b、c、△符號的關系1、已知二次函數(shù)，如圖所示，若，，那么它的圖象大致是（）yyyyxxxxABCD2、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3、已知二次函數(shù)的圖象如下，則下列結(jié)論正確的是（）ABCD4、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正確的個數(shù)是（）A．0個B．1個C．2個D．3個5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1，則點M（b，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A、，B、，C、，D、，7、已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示，那么下列判斷不正確的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、關于x的方程ax+bx+c=0的根是x1=-1，x2=58、已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①b-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4二次函數(shù)對應練習試題參考答案一，選擇題、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空題、9．10．＜-311．如等（答案不唯一）12．113．-8714．15三、解答題15．(1)設拋物線的解析式為,由題意可得解得所以(2)或-5(2)16．（1）由已知得，，解得當時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃后1秒離地15米．（2）由題意得，＝，可知頂點的橫坐標，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升．17．（1）直線與坐標軸的交點A（3，0），B（0，－3）．則解得所以此拋物線解析式為．（2）拋物線的頂點D（1，－4），與軸的另一個交點C（－1，0）.設P，則.化簡得當＞0時，得∴P（4，5）或P（－2，5）當＜0時，即，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（－2，5）．18．（1）=60（噸）．（2），化簡得：．（3）．紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元．（4）我認為，小靜說的不對．理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說，當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當月利潤最大時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對．二次函數(shù)應用題訓練參考答案1、（1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.2、過A作AM⊥BC于M,交DG于N,則AM==16cm.設DE=xcm,S矩形=ycm2,則由△ADG∽△ABC,故,即,故DG=(16-x).∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,從而當x=8時,y有最大值9