太原理工大學(xué)大學(xué)物理第五版第9章課后題解答

9章真空中的靜電場(chǎng)(習(xí)題選解)補(bǔ)充 三個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷各放在長(zhǎng)為r的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上電荷-qQ(Q0)放在三角形的重心上為使每個(gè) f1-q負(fù)電荷受力為零，Q之值應(yīng)為多大？ f2q

Q-q -q為f，方向如圖所示，其大小為1q2

2

題6-1圖f 2 cos30 1 r2 r20 0中心處Q對(duì)上頂點(diǎn)電荷的作用力為f

f2

相反，如圖所示，其大小為 f 2

3 r r03

4r20由f f1

，得 Q q。3336-補(bǔ)充U的放射性衰變中跑出來(lái)的粒子的中心離殘核Th23r9.01015m（1）作用在粒子上的力為多大？（2）粒子的加速度為多大？解（1）由反應(yīng)238U234Th+4He，可知粒子帶兩個(gè)單位正電荷，即92 90

2Q2e3.21019C1Th離子帶90個(gè)單位正電荷，即Q2

1441019C它們距離為r9.01015m由庫(kù)侖定律可得它們之間的相互作用力為：QQ 3.210191441019F 1 2 (9.0109) 512Nr20

(9.01015)2（2）粒子的質(zhì)量為：m 2(m

m)2(1.6710271.671027)6.681027Kgn由牛頓第二定律得：

F 512a 7.661028msF 512m 6.681027如圖所示，有四個(gè)電量均為q106C的點(diǎn)電荷，分別放置在如圖所示的1，2，3，4點(diǎn)上，點(diǎn)1與點(diǎn)4距離等于點(diǎn)1232、43上的力。解：3個(gè)電荷與其它各

題9-1圖r

m。各電荷之間均22224用力大小相等，方向相反，兩力平衡。由3的力為1 qq

題9-1圖F 1 3

1.8102Nr20 13力的方向沿第1電荷指向第3電荷，與x軸成45 角。題略1 q2解 tanl2mgtansin20

(2lsin)20mg

mgtan0mgtan0ABCA點(diǎn)放置點(diǎn)電荷q1

1.8109CB點(diǎn)放置點(diǎn)電荷q 4.8109CBC0.04mAC0.03m，試求直角頂點(diǎn)CE。2解：A點(diǎn)電荷在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E，方向向下11 qE 11.8104Vm11 r20 1B點(diǎn)電荷在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E ，方2向向右1 q 9-3圖E 22.7104Vm12 r20 2C點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E

E2E21 23.24104E2E21 2E與CB夾角為tan

1EEE2 E 2arctan1E2

arctan 33.739-補(bǔ)充帶電，單位長(zhǎng)度上的電荷量為，試求距棒的一端垂直距離為dP點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：元dxP點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dEdq

題9-補(bǔ)充a圖dE r20

40

( x

d2)2

40

(x

d2)場(chǎng)強(qiáng)dExy軸的分量x2d2dE dEsix2d2xx2d2dE dEcox2d2y題9-補(bǔ)充b圖E

dx2x x

40

2(x2d2)32

1 000

2d(x2d2

240

(d)4d0E

dx10d2(dx10d2(x2d2)2y y

40

(x2d2)32

4d00P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng) E

4dE2E2E2x y2Ex方向與Y軸夾角為 ExEy

45如圖所示，一條長(zhǎng)為q任一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)。解：在坐標(biāo)原點(diǎn)0為rdqdrqdr2l該線元在帶電直線延長(zhǎng)線上距原點(diǎn)為x的

題9-4圖P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 題9-4圖dE dqP點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

(xr)20EdE EdE (

qdr

ld(xr) q 1ll2l(xr)2 l l(xr)2 l xrl0 0 0 l q ( 1 1)

ql ql xl xl l(x2l(x

l)20 0 0一根帶電細(xì)棒長(zhǎng)為xA為正的常數(shù)xxb2l處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在坐標(biāo)為x處取線元dx，帶電量為dqAxdx，該線元在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為dE，方向沿x軸正方向dE dq4

(b2lx)20整個(gè)帶電細(xì)棒在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為EdE2l0A

Axdx題9-5(b2lx)20b2lxb2l 2l

dx00

bx2A

[2ldblx)22lbl)dblx)]40A

0 2(bx)2 2l) 1(b2lx)0

(b2lx)22l A b

ln(b2lx)2

4

(ln

2 )0 0場(chǎng)強(qiáng)E方向沿x軸正方向

0 0 b l b如圖所示，一根絕緣細(xì)膠棒彎成半徑為R的半圓形。其上一半均勻帶電荷q，另一半均勻帶電荷q。求圓心O處的場(chǎng)強(qiáng)。題9-6圖解：以圓心為原點(diǎn)建立如圖所示Oxy坐標(biāo)，在膠棒帶正電部分任取一線元dlOA夾角為dqO點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度

2qdlRdE dq

2q dl

q dR20

2R30

22R20把場(chǎng)強(qiáng)dExy軸的分量dE dEsinxdE dEcosyE

q sind q2 x x2

22R20

22R202E dE q cos q2

題9-6圖y y 02R20

22R20同理膠棒帶負(fù)電部分在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E沿x軸方向的分量E 與Ex x

大小相等，方y(tǒng)向相同；沿y軸方向的分量E與y

大小相等，方向相反，互相抵消，故點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為EyEE2Ex

q2R20

方向沿x軸正向。如圖所示，兩條平行的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，相距為d為和，求：兩線構(gòu)成的平面的中垂面上的場(chǎng)強(qiáng)分布；y2(d2)2解在兩線構(gòu)成平面的中垂直面上任取一點(diǎn)P距兩線構(gòu)成平面為yy2(d2)2E 1 d2 120

(y2 )24E 2 d2 120

(y

)24

題9-7圖yE1PEEyE1PEE2+-d/2θθo-d/2x互抵消EE E1x 2

EcosE1 d

cos2 22

題9-7圖 d2 1 d2 1(d

y2)2(4

y2)2 x軸正方向d220

( y249-89-8求兩無(wú)限大均勻帶電平板的電場(chǎng)分布已知：求：分布2兩無(wú)限大帶電平板產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小分別為E +2方向如圖紅色0E —20方向如圖藍(lán)色太原理工大學(xué)大學(xué)物理由疊加原理，兩極板間場(chǎng)強(qiáng)由疊加原理，兩極板間場(chǎng)強(qiáng)E E E + —2 兩板外，左側(cè)020220x軸正向E E1E 2202—+2x軸正向兩板外，右側(cè)00E 3E E+—20— 2220x軸負(fù)向0太原理工大學(xué)大學(xué)物理一無(wú)限大均勻帶電平面，電荷面密度為，在平面上開(kāi)一個(gè)半徑為R洞，求在這個(gè)圓洞軸線上距洞心rP的場(chǎng)強(qiáng)。解：平面，相當(dāng)于一個(gè)無(wú)限大均勻帶電平面又加了一塊帶異號(hào)電荷，面密度相同的圓盤。距洞心rP點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E E Ep 式中E為無(wú)限大均勻帶電平面在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 題9-9圖E 0方向垂直于平面向外ER的均勻帶負(fù)電圓盤在其軸線上距中心為rP盤上取半徑為r，寬為drP點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)dE

rdq

0

(r2

r2)32

40

(r2

r2)32EdE dr [ R0 EdE dr [ R0(r2r2(r2r2)320

(r2

r2)120rR2r2 rR2r220r故 E E EP

2(R20

r2)12

方向垂直平面向外用細(xì)的不導(dǎo)電的塑料棒彎成半徑為50cm的圓弧，棒兩端點(diǎn)間的空隙為2cm，棒上均勻分布著3.12109C的正電荷，求圓心處場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。解：有微小間隙的帶正電圓弧棒，等效于一個(gè)相同半徑的帶正電圓環(huán)加個(gè)弧長(zhǎng)等于間隙的帶負(fù)電小圓弧棒。由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，圓心O場(chǎng)強(qiáng)EE0 圓棒

EAB對(duì)于均勻帶正電的圓環(huán)，由于對(duì)稱性在圓心O的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，E 0。圓環(huán)上一帶負(fù)電小圓弧棒相對(duì)于圓心O看成一個(gè)點(diǎn)電荷，電量為：

題9-10圖q q dl2Rq 1 qE dlAB

4R20

4R20

2Rqdl m1qdl2R30圓心處場(chǎng)強(qiáng)E0

EAB

m1，方向指向空隙。題略解（1）點(diǎn)電荷在立方體的中心，由高斯定理知：通過(guò)立方體表面的電通量為EdSq0則通過(guò)該立方體任一個(gè)面的電通量為q 。60（2）點(diǎn)電荷在立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，以該頂點(diǎn)為中心作一邊長(zhǎng)為2a的立方體，由高斯定理知：通過(guò)立方體表面的電通量為EdSq0則通過(guò)該立方體任一個(gè)面的電通量為q 。2409-補(bǔ)充 用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，求證無(wú)限大均勻帶平面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E0

（提示：把無(wú)限大平面分成一個(gè)個(gè)圓環(huán)或一條條細(xì)長(zhǎng)線，然后進(jìn)行積分。解（）建如圖(a)xyz坐標(biāo)，以板上任一點(diǎn)O為圓心，取半徑為r，寬度為dr的環(huán)形面積元，帶電量為：

dq2rdr。由圓環(huán)電荷在其軸線上任一點(diǎn)P(OPx)的場(chǎng)強(qiáng)公式2xrdrx軸正方向。P點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)

dE

40

(x

r2)32EdEx rdr020

(r2x2)32xx01(r2x2)12 20 0 補(bǔ)充(a圖（0Ex軸正方向）（2）建如圖(bzyy向單位長(zhǎng)度帶電荷為dyx軸距原點(diǎn)O為a的P的場(chǎng)強(qiáng)20y220y2a2

dy

題9-補(bǔ)充(b)圖dEy軸分量總和為零所以 EdE dEcox20y2a2y20y2a2y2a2

dy

yaya 0 0

0 因?yàn)?Ex軸正方向。9-補(bǔ)充 如圖所示，半徑為R的帶電細(xì)圓環(huán)，線電荷密度0

cos 為常0數(shù)，Rx軸夾角，求圓環(huán)中心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在帶電圓環(huán)上任取一線元dlRd，帶電量為dq0

cosRd，線元與原點(diǎn)Ox軸夾角為，在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)dE大小為題6-12圖dq R dE

0 cosd 0 cosdR20

40

R2 R0dExy軸的分量dE

dEcos 0 cos2x R0dE dEsin 0 cossindy R0整個(gè)帶電圓環(huán)在OExy軸的分量2

2 E

0 cos2 0 ( sin) 0 x x

40

R dsindsin

R 2 4 R 0 ( 0 ( 0EdE 0 sin EdE 0 sin

sin2 2y y

40

R R 20 0故 EE i 0 ixE的方向沿x軸負(fù)方向。

R0EER通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。解：方法一：通過(guò)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量與垂直通過(guò)大圓面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量相等。通過(guò)S面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量： ES2Ee故通過(guò)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量亦為R2E。方法二：在半球面上取寬為dldS2sind通過(guò)面元dS的電場(chǎng)強(qiáng)度通量d EcosdSEcos2sinde通過(guò)整個(gè)半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量2 1 d e e 0

2Esin

2Esin22 0

R2E9-補(bǔ)充 在半徑分別為R1

題9-12圖R Q和Q，求2 1 2空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，并作出Er關(guān)系曲線。解：電荷在球面上對(duì)稱分布，兩球面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ分布，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向向外。Or為半徑（R1

r0）作一同心球面，由高斯定理，球面包圍電荷量為零，即

EdS0s I因而 E0I以O(shè)r（R2

rR）1作一同心球面，由高斯定理Es II

dSQ0QE r2 IIQ0Q Er9-補(bǔ)充所示。E 1 I r0以O(shè)為圓心，半徑為r（R2

r）作一同心的球面，由高斯定理Es

III

dS

QQ1 20EIII

r2

QQ2121所以 E

0QQQ 1 2III

r20設(shè)均勻帶電球殼內(nèi)、外半徑分別為R和R ，帶電量為Q。分別利用高斯1 2定理與用均勻帶電球面的電場(chǎng)疊加求場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫出Er圖。解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，空間電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性。在rR1

的區(qū)域，電量為零。由高斯定理EdS0，因而各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零。sR1

rR2

區(qū)域，以r為半徑作同心球面。由高斯定理

EdSqs 由 q

04 4Q ( r3 R34 44R3 R3 3 3 13 2 3 1Q(r3R3)E2 1 (R30 2

R3)1因此 E Q

r3R31r20

R3R32 1在rR2

區(qū)域，以r為半徑作同心球面，由高斯定理

EdSqQs0 0QE20Er曲線如圖9-13所示。

E Qr20Er曲線如圖9-13所示。無(wú)限長(zhǎng)共軸圓柱面，半徑分別為R和R (R1 2 2

R)，均勻帶電，單位長(zhǎng)度1上的電量分別為和1 2

。求距軸為r處的場(chǎng)強(qiáng)(1)rR1

；(2)R1

rR2

；(3)rR。2（1）R1

r(rR1

)，高為l的同軸圓柱面，作ES

S

S

qdS 0s s

s

s 側(cè) 0各點(diǎn)E垂直于軸線，上下底面電通量為零rlE 0側(cè)因而 E0 (rR)1R、R1 2

的兩圓柱面間作半徑為r(R2

rR1

)，高為l的同軸圓柱面作為高斯面，由高斯定理

ES

q l 1s 0 0 lE dS 1s 側(cè)012rlEl101可見(jiàn) E1

r0（3）同理在rR的區(qū)域 E1 22 r0如圖所示，點(diǎn)電荷q109CA、B、C三點(diǎn)分別距q為10cm20cm30cmBA、C兩點(diǎn)的電勢(shì)VV 。

題9-15圖A C解：qqBC的連線xxx正方向。

題9-15圖E qx20AB兩點(diǎn)，電勢(shì)差V V Bd0.2Edx0.2 q dxA B A 0.1 0.1

4x20 q 0.2dx

q (1)0.2

45V40

0.1

x2 0

x0.1

40由V 0， 故 VB

45VB、C兩點(diǎn)，電勢(shì)差為：VEdxVEdx

0. q

q 1 0.3B C 0.2

0.2x0

40

x0.2dx () dx () B

15V真空中一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，線電荷密度為解：在細(xì)圓環(huán)上取長(zhǎng)為dl的線元，帶電量為dqdl在圓心處產(chǎn)生的電勢(shì)dq

dldV

R0

R0整個(gè)帶電圓環(huán)在圓心O的電勢(shì)VdVRdl R 0 0

R 0

R 0

題9-169-17長(zhǎng)為2l，帶電量為q的均勻帶電細(xì)棒，求延長(zhǎng)線上距棒一端為a的點(diǎn)p的電勢(shì)。解：建立圖示坐標(biāo)（1）取線元dxqdqdx（2）dq在p點(diǎn)的電勢(shì)dV2lr a（3）整個(gè)細(xì)棒在p點(diǎn)的電勢(shì)00VdV2l0dxa4ln(2lax)2l04ln2la0q lna0學(xué)物理a l aq0l1+l）a9-199-19如圖:均勻帶電球面電勢(shì)分布q1q2（1）rR由電勢(shì)疊加原理可得q1V1q4π2（2）RrR4πR0 1Vq0 21q124πr4πR2（3）rR2Vq4πr10q0 24πr2太原理工大學(xué)大學(xué)物理009-209-20有一個(gè)半徑為R的球體，球內(nèi)部帶電，電荷體密度的表達(dá)式為(r)qr(r)0R4(r≤R)(r≥R)求(1)球體總帶電量Q。(2)球內(nèi)、外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。(3)球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢(shì)。解：在球內(nèi)取半徑為r，厚度為dr的薄球殼，該殼內(nèi)包含的電量qrdqdVR44r2dr4qr3drR4太原理工大學(xué)大學(xué)物理球體總帶電量球體總帶電量QdqR4qr3drq0R4(2)球內(nèi)、外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。場(chǎng)強(qiáng)分布具有球?qū)ΨQ性，高斯面為球面。通過(guò)高斯面的電通量E2e當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球面外時(shí)E2方向沿半徑向外太原理工大學(xué)大學(xué)物理或或1Er2 0qR4r04qR4r3drqR4r4r4方向沿半徑向外或太原理工大學(xué)大學(xué)物理(3)(3)球內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢(shì)。由（2）知，帶電球的電場(chǎng)分布rP∞當(dāng)r>R時(shí)選V =0，沿矢徑方向積分到無(wú)限遠(yuǎn)處，球面外一點(diǎn)p的電勢(shì)∞Vqp r4r2drq0r（r0太原理工大學(xué)大學(xué)物理當(dāng)當(dāng)r<R球面內(nèi)一點(diǎn)p’的電勢(shì)VRrp’∞pRrqr2R40rRrRqr2dr0q0- qr3 + qR4 R0 0q0-qr3R40q12R4-r3R30太原理工大學(xué)大學(xué)物理題略解：取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則內(nèi)球面處電勢(shì)為 V

q 外球面處電勢(shì)為 V

q

1 0

2R02 2R0

2R0 動(dòng)能 1mv2

V)= Qq題略

2 1

R0解：取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則O點(diǎn)的電勢(shì)為 V00C點(diǎn)電勢(shì)為 VC

q0

q4R0電荷q0從O到C移動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力作功為qqA qOC 0 O

V)=C

0R09補(bǔ)充 半徑為2mm的球形水滴具有電勢(shì)30V求1水滴上所帶的電荷量。（2）如果兩個(gè)相同的上述水滴結(jié)合成一個(gè)較大的水滴，其電勢(shì)值為多少（假定結(jié)合時(shí)電荷沒(méi)有漏失）？（1）xR，電場(chǎng)強(qiáng)度QE4x2Q0水滴的電勢(shì)VEdx Q dxR Rx0

題9-補(bǔ)充圖 Q

d( ) Q1R10

x R0故 QRV1012CpC0（2）QR32R1.26R，水滴外任x（x1.26R）的電場(chǎng)強(qiáng)度2QE x20大水滴的電勢(shì) VEdx Q dxR 1.26Rx0 0

(1)x1.26R

41.260

476V9-補(bǔ)充 兩個(gè)同心的均勻帶電球面半徑分別為R1

5.0cm，R2

20.0cm，已知內(nèi)球面的電勢(shì)為V1

，外球面的電勢(shì)V2

（1）求內(nèi)、外球面上所帶電量；（2）在兩個(gè)球面之間何處的電勢(shì)為零？（1）設(shè)內(nèi)球面帶電量為Q1

，外球面帶電量為Q2

，由電勢(shì)疊加原理Q1VRQ10 1

42RQ0 2Q

①1Q2V R1Q20 2

Q2R20 2

②Q 1 1 R121 由①-②得：121

RRRR

4RR

900 1 2 0 1 2RR 20.05.0104Q90 0 1

90

6.671010C1 RR2 1

9109 20.0

102將Q的數(shù)值代入①式可得：1

Q 13.31010C2（2）在兩球面之間，電勢(shì)表達(dá)式為Q QV 1 2 r r0