9.2.4總體離散程度的估計(jì)-課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)-人教A版(2019)必修第一冊(cè)

9.2.4總體離散程度的估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢(shì)的信息，很多時(shí)候還不能使我們做出有效的決策.下面的問題就是一個(gè)例子.問題3有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677如果你是教練，你如何對(duì)這兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？通過簡(jiǎn)單的排序和計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒有差別.作出兩人成績(jī)的頻率分布條形圖，觀察他們水平差異！甲：78795491074

乙：9578768677作出兩人射擊成績(jī)的頻率分布條形圖：環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）

但從上圖中看，甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中，即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定.可見他們的射擊成績(jī)是存在差異的，那么，如何度量成績(jī)的這種差異呢？甲：78795491074乙：9578768677一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.根據(jù)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績(jī)，可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙大.極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少。極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定;極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定.我們知道，如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；相反，如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn).因此，我們可以通過這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.思考：如何定義“平均距離”？我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”，即

由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，通常改用平方來代替，即我們稱(1)式為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方便，我們還把方差寫成以下形式由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開方，取它的算數(shù)平方根，即我們稱(2)式為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN

，總體平均數(shù)為Y，則稱為總體的方差.與總體均值類似，總體的方差也還可以寫成加權(quán)的形式.如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k個(gè)(k≤N)，不妨記為：Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1，2，…，k)，則總體方差為如果一個(gè)樣本中的變量值分別為:y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為y，則稱為樣本方差.標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小；顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.在實(shí)際問題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性.在問題3中，我們可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來判斷兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的離散程度，計(jì)算可得由s甲>

s乙

可知,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置。如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲。

例6在對(duì)樹人中學(xué)高一學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人,其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎?解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，平均數(shù)記為x，方差記為sx2;把女生樣本記為:y1，y2，…，y27，平均數(shù)記為y，方差記為sy2;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生樣本為:y1，y2，…，y27，y=160.6,方差記為sy2=38.62;總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則根據(jù)方差的定義，總樣本方差為解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生樣本為:y1，y2，…，y27，y=160.6,方差記為sy2=38.62;總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則解：把男生樣本記為:x1，x2，…，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生樣本為:y1，y2，…，y27，y=160.6,方差記為sy2=38.62;總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為z，方差記為s2

.則根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為∴總樣本的方差為51.4682，估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高的方差為51.4862.

樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小,平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.

例如，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為

1、數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差是（）

A、8B、4C、2D、1C2、如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)加上同一個(gè)非零常數(shù)，則這一組數(shù)的()．

A、平均數(shù)不變，標(biāo)準(zhǔn)差不變

B、平均數(shù)改變，標(biāo)準(zhǔn)差改變

C、平均數(shù)不變，標(biāo)準(zhǔn)差改變

D、平均數(shù)改變，標(biāo)準(zhǔn)差不變D練習(xí)鞏固B166AB1.用定義計(jì)算樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差2分層抽樣總樣本方差的計(jì)算課堂小結(jié)(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,