高考數(shù)學1輪復習學案訓練(北師大版理科)課時分層訓練24正弦定理和余弦定理理北師大版

數(shù)學備課大師【全免費】課時分層訓練(二十四)正弦定理和余弦定理(對應學生用書第243頁)A組基礎達標一、選擇題1．在△ABC中，若sinAcosB)a＝，則B的值為(bA．30°B．45°C．60°D．90°sinAcosBB＝cosB，∴B＝45°.]B[由正弦定理知：sinA＝sinB，∴sin2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的狀況是( )A．有一解B．有兩解C．無解D．有解但解的個數(shù)不確立bcC[由正弦定理得sinB＝sinC，3∴sinB＝bsinC40×23＞1.c＝＝20∴角B不存在，即知足條件的三角形不存在．]π3．△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝6，則△ABC的形狀為( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形或直角三角形[依據(jù)余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，當a＝1時，三角形ABC為等腰三角形，當a＝2時，三角形ABC為直角三角形，應選D.]4．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得2222AB＝AC＋BC－2AC·BC·cosC，即13＝AC＋9－2AC×3×cos2舍去)．應選A.]120°，化簡得AC＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(5．(2018·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為()【導學號：79140133】“備課大師”全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學備課大師【全免費】11A.2B．4C．1D．2A[由于cos2＝sin，因此1－2sin2＝sin，則sin＝1(舍負)，則△的AAAAA2ABC1111面積為2bcsinA＝2×2×2＝2，應選A.]二、填空題6．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，則其最大內角的余弦值為________．1[由于c＞b＞a，因此在△ABC中最大的內角為角C，則由余弦定理，得cosC＝－4a2＋b2－c24＋9－161.]2ab＝2×2×3＝－4227．如圖3-7-1所示，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝32，AD＝3，則BD的長為________．圖3-7-1223[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝3，222∴在△ABD中，有BD＝AB＋AD－2AB·ADcos∠BAD，∴2＝18＋9－2×32×3×22＝3，BD3BD＝3.]8．(2017·全國卷Ⅰ改編)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，則C＝________.【導學號：79140134】π6

[由于a＝2，c＝2，2因此由正弦定理可知，sinA＝sinC，故sinA＝2sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC“備課大師”全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學備課大師【全免費】＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sin＋cos)sinCAA＝0.又C為△ABC的內角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.3π又A∈(0，π)，因此A＝4.1221進而sinC＝2sinA＝2×2＝2.3ππ由A＝4知C為銳角，故C＝6.]三、解答題9．(2018·銀川質檢)如圖3-7-2，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC－c＝2b.圖3-7-2求角A的大??；(2)若c＝2，角B的均分線BD＝3，求a.[解](1)∵2acosC－c＝2b，∴由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC.1sinC≠0，∴cosA＝－2.2π又A∈(0，π)，∴A＝3.(2)在△中，由正弦定理得AB＝BD，ABDsin∠ADBsinA∴sin∠ADB＝ABsinA2BD＝2.又AB＜BD，∴∠ADB＝π4.“備課大師”全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學備課大師【全免費】∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6.AC＝AB＝2，由余弦定理得22a＝BC＝AB＋AC－2AB·ACcosA＝6.10．(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)＝c.求C；33(2)若c＝7，△ABC的面積為2，求△ABC的周長．[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.1π可得cosC＝2，因此C＝3.(2)133由已知得sin＝.2abC2π又C＝3，因此ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，進而(a＋b)2＝25.因此△的周長為5＋7.ABCB組能力提高11．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是( )ππA.0，6B．6，πC.0，ππ3D．3，π[由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，22221于是b＋c－2bccosA≤b＋c－bc，∴cosA≥2，在△ABC中，A∈(0，π)．π由余弦函數(shù)的性質，得0＜A≤.]“備課大師”全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學備課大師【全免費】12．(2017·山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且知足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則以下等式建立的是( )A．a(chǎn)＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2AA[∵等式右側＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左側＝sinB＋2sinBcosC，sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.依據(jù)正弦定理，得a＝2b.應選A.]13．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，且a＝2c，則cosA＝________.【導學號：79140135】1[由于sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，因此2sinB＝sinA＋sinC.－4abcC，由于sinA＝sinB＝sin因此a＋c＝2b，3又a＝2c，可得b＝2c，9222因此cosA＝b2＋c2－a24c＋c－4c12bc＝2×23c2＝－.]414．(2018·蘭州模擬)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若tanA＋tanC3(tanAtanC－1)．求角B；假如b＝2，求△ABC面積的最大值．[解](1)∵tanA＋tanC＝3(tanAtanC－1)，tan＋tanC即3，∴tan(A＋C)＝－3，Atan＝－1－tanC又∵A＋B＋C＝π，∴tanB＝3，π∵B為三角形內角，∴B＝3.“備課大師”全科【9門】：免注冊，