2019中考考點復(fù)習(xí)《函數(shù)》解答題專練

2019備戰(zhàn)中考考點復(fù)習(xí)《函數(shù)》解答題專練

評卷人得分

—.解答題(共40小題)

1.如圖,拋物線y=x2-bx+c交x軸于點A(1,0),交y軸于點B,對稱軸是x=2.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P,使4PAB的周長最??？

若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，二次函數(shù)y=&?+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y

3

軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿

AB,AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E,使

得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

(3)當(dāng)P,Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處,

請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標(biāo).

3.如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點

B的坐標(biāo)為（3,0）

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo).

（2）點P是拋物線對稱軸I上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐

標(biāo).

4.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴

大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),

如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件；

（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？

5.某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和

10臺B型電腦的利潤為3500元.

（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不

超過A型電腦的2倍，設(shè)購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y

元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？

（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m（0<m<100）元，且限定商

店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信

息及(2)中條件，設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)尸皿

X

的圖象交于A(2,3)、B(-3,n)兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)若P是y軸上一點，且滿足4PAB的面積是5,直接寫出0P的長.

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點。與坐標(biāo)原點重合，A,C分別在

坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為(4,2),直線y=-L<+3交AB,BC于點M,N,反比

2

例函數(shù)y=k的圖象經(jīng)過點M,N.

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點P在x軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的

坐標(biāo).

8.已知二次函數(shù)y=ax?+bx-3a經(jīng)過點A(-1,0)、C(0,3),與x軸交于另一

點B,拋物線的頂點為D.

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)連接DC、BC、DB,求證：4BCD是直角三角形；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得APDC為等腰三角形？若存

在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9-如圖'已知拋物線y=十一＞與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

(1)求點A,B,C的坐標(biāo)；

(2)點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A,B,E,F為頂點

的平行四邊形的面積；

(3)此拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得△ACM是等腰三角形？若存在,

請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

v

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)

三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m,AAMB的面

積為S.

求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置

能夠使得點P、Q、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的

坐標(biāo).

11.九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相

關(guān)信息如下表：

售價（元/件）100110120130...

月銷量（件）200180160140...

已知該運動服的進價為每件60元，設(shè)售價為x元.

（1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是（）元；②

月銷量是（）件；（直接寫出結(jié)果）

（2）設(shè)銷售該運動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當(dāng)月的利潤最大，

最大利潤是多少？

12.甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行

駛2h,并且甲車途中休息了0.5h,如圖是甲乙兩車行駛的距離y（km）與時間x

（h）的函數(shù)圖象.

（1）求出圖中m,a的值；

（2）求出甲車行駛路程y（km）與時間x（h）的函數(shù)解析式，并寫出相應(yīng)的x

的取值范圍；

（3）當(dāng)乙車行駛多長時間時，兩車恰好相距50km.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-%+8與x軸，y軸分別交于點

3

A,點B,點D在y軸的負半軸上，若將4DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x

軸正半軸上的點C處.

(1)求AB的長和點C的坐標(biāo)；

(2)求直線CD的解析式.

14.如圖，拋物線y=x2-3x+”與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,點

4

D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E

(1)求直線BC的解析式；

(2)當(dāng)線段DE的長度最大時，求點D的坐標(biāo).

15.如圖，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A(-3,0)和點B,交y軸于點C

（0,3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P在拋物線上，且SAAOP=4SABOC）求點P的坐標(biāo)；

（3）如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ，x軸，交拋物線于點D,

16.鄂州市化工材料經(jīng)銷公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30

元.物價部門規(guī)定其銷售單價不高于每千克60元，不低于每千克30元.經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x=60時，

y=80；x=50時，y=100.在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系

式.

（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？

17.某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀

念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售

量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷售單價為

22元時，銷售量為36本；當(dāng)銷售單價為24元時，銷售量為32本.

（1）請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單

價是多少元？

（3）設(shè)該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單

價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？

18.已知一次函數(shù)y=2x-4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B,點P在該函

數(shù)的圖象上，到軸、軸的距離分別為山、

Pxyd2.

（1）當(dāng)P為線段AB的中點時，求di+d2的值；

（2）直接寫出di+d2的范圍，并求當(dāng)di+d2=3時點P的坐標(biāo)；

（3）若在線段AB上存在無數(shù)個P點，使di+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值.

19.如圖，已知函數(shù)y=k（x>0）的圖象經(jīng)過點A、B,點A的坐標(biāo)為（1,2）,

X

過點A作AC〃y軸，AC=1（點C位于點A的下方），過點C作CD〃x軸，與函數(shù)

的圖象交于點D,過點B作BE_LCD,垂足E在線段CD上，連接OC、0D.

（1）求△OCD的面積；

（2）當(dāng)BE=L\C時，求CE的長.

20.某地出租車計費方法如圖，x（km）表示行駛里程，y（元）表示車費，請

根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）該地出租車的起步價是元；

（2）當(dāng)x>2時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若某乘客有一次乘出租車的里程為18km,則這位乘客需付出租車車費多少

21.如圖，一次函數(shù)丫=1?+13與反比例函數(shù)燈旦（x>0）的圖象交于A（m,6）,B

X

（3,n）兩點.

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出kx+bW*<0的x的取值范圍；

22.如圖，一次函數(shù)丫=2*+13與反比例函數(shù)y=K的圖象交于A、B兩點，點A坐標(biāo)

X

為（m,2）,點B坐標(biāo)為（-4,n）,0A與x軸正半軸夾角的正切值為工，直線

3

AB交y軸于點C,過C作y軸的垂線，交反比例函數(shù)圖象于點D,連接OD、BD.

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）求四邊形OCBD的面積.

23.某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場

進行試銷.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售

單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.

（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過

7000元，那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本=每件的成本X每

天的銷售量)

24.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象過A(2,0),B(0,-1)和C(4,

5)三點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為D,求點D的坐標(biāo)；

(3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=x+l,并寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，一次函數(shù)的

值大于二次函數(shù)的值.

25.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+3交x軸于A(-1,0)和

B(5,0)兩點，交y軸于點C,點D是線段OB上一動點，連接CD,將線段CD

繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DE,過點E作直線Ux軸于H,過點C作CFL

于F.

(1)求拋物線解析式；

(2)如圖2,當(dāng)點F恰好在拋物線上時，求線段OD的長；

(3)在(2)的條件下：

①連接DF,求tanNFDE的值；

②試探究在直線I上，是否存在點G,使NEDG=45。？若存在，請直接寫出點G

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0)和B(1,0)兩點，交y軸

于點C(0,3),點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點

B、D.

(1)請直接寫出D點的坐標(biāo).

(2)求二次函數(shù)的解析式.

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

27.如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx-3的圖象與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩

點，與y軸交于點C.該拋物線的頂點為M.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)判斷△BCM的形狀，并說明理由；

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以點P、A、C為頂點的三角形與ABCM

相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax?+bx+c(aW0)與x軸相交于A,B

兩點，與y軸相交于點C,直線y=kx+n(kWO)經(jīng)過B,C兩點，已知A(l,0),

C(0,3),且BC=5.

(1)分別求直線BC和拋物線的解析式(關(guān)系式)；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以B,C,P三點為頂點的三角形

是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

29.已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,。是坐標(biāo)原

點，點A的坐標(biāo)是（-1,0）,點C的坐標(biāo)是（0,-3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達式和NABC的度數(shù)；

（3）P為線段BC上一點，連接AC,AP,若NACB=NPAB,求點P的坐標(biāo).

30.甲、乙兩人沿同一路線登山，圖中線段OC、折線OAB分別是甲、乙兩人登

山的路程y（米）與登山時間x（分）之間的函數(shù)圖象.請根據(jù)圖象所提供的信

息，解答如下問題：

（1）求甲登山的路程與登山時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范

圍；

（2）求乙出發(fā)后多長時間追上甲？此時乙所走的路程是多少米？

31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的圖象與反比

例函數(shù)y=皿的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點，直線AB與x軸交于點C,點

X

B的坐標(biāo)為(-6,n),線段0A=5,E為x軸正半軸上一點，且tan/AOE=&.

3

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

32.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B

兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點，

點P是直線BC下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式.

(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP，C,那么是否存在

點P,使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐

標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

33.如圖，某個體戶購進一批時令水果，20天銷售完畢.他將本次銷售情況進

行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）

與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售

時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額；

（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為"最佳銷售期"，則此次銷售過程中“最

佳銷售期"共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？

34.如圖所示，已知一次函數(shù)y=kx+b（kWO）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B

兩點，且與反比例函數(shù)丫=叫（mWO）的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x

X

軸，垂足為D.若OA=OB=OD=1.

（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；

（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

35.九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1WXW90）

天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表:

時間X（天）1WXV5050WxW90

售價（元/件）x+4090

每天銷量（件）200-2x

已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元.

（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫

出結(jié)果.

36.制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達到60c后，再進行操作.設(shè)該材料溫度

為y（℃）,從加熱開始計算的時間為x（分鐘）.據(jù)了解，該材料加熱時，溫度

y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)

系（如圖）.已知該材料在操作加工前的溫度為15℃,加熱5分鐘后溫度達到60°C.

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15c時，須停止操作，那么從開始加熱

到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？

051015202530\（5^）

37.如圖，對稱軸為x=-1的拋物線y=ax2+bx+c（a^O）與x軸相交于A、B兩

點，其中點A的坐標(biāo)為（-3,0）.

（1）求點B的坐標(biāo).

（2）已知a=l,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且SAPOC=4SABOC?求點P的坐標(biāo).

②設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD_Lx軸交拋物線于點D,求線段QD長度的

最大值.

38.如圖，已知A（-4,n）,B（2,-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例

函數(shù)y=2的圖象的兩個交點.

X

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及△AOB的面積;

（3）求方程kx+b-取0的解（請直接寫出答案）；

X

（4）求不等式kx+b-皿V0的解集（請直接寫出答案）.

39.如圖，一次函數(shù)yi=x+l的圖象與反比例函數(shù)y上（k為常數(shù)，且kWO）的

2X

圖象都經(jīng)過點A（m,2）

（1）求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達式；

（2）結(jié)合圖象直接比較：當(dāng)x>0時，yi和丫2的大小.

40.為了迎接“十?一"小長假的購物高峰.某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩

種運動鞋.其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋甲乙

價格

進價（元/雙）mm-20

售價（元/雙）240160

已知:用3000元購進甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進乙種運動鞋的數(shù)量相同.

（1）求m的值；

（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價-進價）不少

于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲

種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50<a<70）元出售，乙種運動鞋價格不變.那么該專賣

店要獲得最大利潤應(yīng)如何進貨？

2018備戰(zhàn)中考考點復(fù)習(xí)《函數(shù)》解答題專練

參考答案與試題解析

一.解答題（共40小題）

1.如圖，拋物線y=x2-bx+c交x軸于點A（1,0）,交y軸于點B,對稱軸是x=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P,使aPAB的周長最小？

若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A（1,0）,對稱軸是x=2列出方程組，解方程

組求出b、c的值即可；

（2）因為點A與點C關(guān)于x=2對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，連接BC與x=2交于點

P,則點P即為所求，求出直線BC與x=2的交點即可.

'l-b+c=0

【解答】解：（1）由題意得，b，

—=9

12

解得b=4,c=3,

二拋物線的解析式為.y=x2-4x+3；

（2）?.?點A與點C關(guān)于x=2對稱，

...連接BC與x=2交于點P,則點P即為所求，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，點C的坐標(biāo)為（3,0）,

y=x2-4x+3與y軸的交點為（0,3）,

二設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,

f3k+b=0

lb=3，

解得，k=-1,b=3,

直線BC的解析式為：y=-x+3,

則直線BC與x=2的交點坐標(biāo)為：(2,1)

，點P的坐標(biāo)為：(2,1).

【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和最短路徑問題，掌握待

定系數(shù)法求解析式的一般步驟和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，二次函數(shù)y=4?+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y

3

軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿

AB,AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E,使

得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

(3)當(dāng)P,Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，

請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標(biāo).

【分析】(1)將A,B點坐標(biāo)代入函數(shù)y=4?+bx+c中，求得b、c,進而可求解

析式及C坐標(biāo).

(2)等腰三角形有三種情況，AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線，畫圓

易得E大致位置，設(shè)邊長為X,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo).

(3)注意到P,Q運動速度相同，則AAPQ運動時都為等腰三角形，又由A、D

對稱，則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等，即菱形.利用菱形對邊平行

且相等等性質(zhì)可用t表示D點坐標(biāo)，又D在E函數(shù)上，所以代入即可求t,進而

D可表示.

【解答】方法(1)：

解：(1)?.?二次函數(shù)y=&<2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),

3

0=y*9+3b+c

0^y*l-b+c

解得卜方，

.c=-4

/.y=Ax2--4.

33

AC(0,-4).

(2)存在.

如圖1,過點Q作QDLOA于D,此時QD〃OC,

VA(3,0),B(-1,0),C(0,-4),0(0,0),

；.AB=4,OA=3,OC=4,

AC=V32+42=5'

?.?當(dāng)點P運動到B點時，點Q停止運動，AB=4,

，AQ=4.

VQD/70C,

QD_AD_AQ.

，，OC~AO-AC，

QDAD4：

,丁丁節(jié)’

/.QD=11,AD=11.

55

①作AQ的垂直平分線，交AO于E,此時AE=EQ,即△AEQ為等腰三角形,

5

...在RtAEDQ中，(」2-x)2+(1§.)2=x2,解得x=M

553

，OA-AE=3-12.=-L,

33

AE(-L,0),

3

說明點E在x軸的負半軸上；

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E,此時QE=QA=4,

ED=AD=A1,

5

；.AE=9,

5

AOA-AE=3-劣-2,

55

AE（-旦，0）.

5

③當(dāng)AE=AQ=4時，

1.當(dāng)E在A點左邊時，

VOA-AE=3-4=-1,

AE（-1,0）.

2.當(dāng)E在A點右邊時，

VOA+AE=3+4=7,

AE（7,0）.

綜上所述，存在滿足條件的點E,點E的坐標(biāo)為（-L0）或（-2,0）或（-

35

1,0）或（7,0）.

(3)四邊形APDQ為菱形，D點坐標(biāo)為(-竺，-22).理由如下:

816

如圖2,D點關(guān)于PQ與A點對稱，過點Q作，F(xiàn)QJLAP于F,

VAP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,

；.AP=AQ=QD=DP,

...四邊形AQDP為菱形，

?.,FQ〃OC,

；iAF_FQ_AQ；

??而=OC〕C'

??A?F—--F--Q--t9

3~4~5

AF=W+,FQ=A+,

55

Q(3--+>-—+)>

55

DQ=AP=t,

D(3-—+-t,-—*),

5i5

D在二次函數(shù)y=&<2一當(dāng)-4上，

33

2

-At=A(3-員)-A(3-8t)4,

53535

t=m,或t=o(與A重合，舍去),

64

D(-3,-毀).

816

方法二:

(1)略.

(2);?點P、Q同時從A點出發(fā)，都已每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC

運動.過點Q作x軸垂線，垂足為H.

VA(3,0),C(0,4),

?'-IAC：y=&x-4,

3

???點P運動到B點時，點Q停止運動，

，AP=AQ=4,

AQH=H,Qy=-W,

55

代入LAC：y=&<-4得，則Q泣，-11),

3555

?.?點E在x軸上，

.,.設(shè)E(a,0),

VA(3,0),Q(X-li),aAEQ為等腰三角形，

55

，AE=EQ,AE=AQ,EQ=AQ,

(a-3)2=(a-—)2+(0+XL)2,a=-->

553

(a-3)2=(3-A)2+(0+旭)2,Aa1=7,a2=-1,

55

（a--1）2+（O+JA）2=（3-3）2+（0+H）2,/.al=-Xa2=3（舍）

55555

.?.點E的坐標(biāo)為（-L,0）或（-旦，0）或（-1,0）或（7,0）.

35

（3）VP,Q運動到t秒，

.,.設(shè)P（3-t,0）,Q（3-當(dāng)，--It）,

55

VAD±PQ,

??KPQ?KAD二一1，

KAD=—?

2

VA（3,0）,

：

??IADy=-^-x--9

22

,?-428

?v、一不*-*z-x-4,

xl=3（舍），x2=--,

8

.?.D（一旦-ii）,

816

VDY=QY?即t=l^,DQ〃AP,DQ=AQ=AP,此時四邊形APDQ的形

51664

【點評】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識,

總體來說題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很基礎(chǔ)，是一道值得練習(xí)的題目.

3.如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點

B的坐標(biāo)為（3,0）

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo).

（2）點P是拋物線對稱軸I上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐

標(biāo).

【分析】（1）首先把點B的坐標(biāo)為（3,0）代入拋物線y=-x2+mx+3,利用待定

系數(shù)法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）首先連接BC交拋物線對稱軸I于點P,則此時PA+PC的值最小，然后利用

待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案.

【解答】解：（1）把點B的坐標(biāo)為（3,0）代入拋物線y=-x2+mx+3得：0=-32+3m+3,

解得：m=2,

/.y=-X2+2X+3=-（x-1）2+4,

二頂點坐標(biāo)為：（1,4）.

（2）連接BC交拋物線對稱軸I于點P,則此時PA+PC的值最小,

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,

?.,點C（0,3）,點B（3,0）,

?JO=3k+b,

*l3=b

解得：（k=T,

lb=3

直線BC的解析式為：y=-x+3,

當(dāng)x=l時，y=-1+3=2,

.,.當(dāng)PA+PC的值最小時，點P的坐標(biāo)為：（1,2）.

【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問題.注

意找到點P的位置是解此題的關(guān)鍵.

4.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴

大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),

如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件；

（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？

【分析】此題屬于經(jīng)營問題，若設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則每件所得利潤為（40

-x）元，但每天多售出2x件即售出件數(shù)為（20+2X）件，因此每天贏利為（40

-x）（20+2X）元，進而可根據(jù)題意列出方程求解.

【解答】解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，

根據(jù)題意得（40-x）（20+2x）=1200,

整理得2x2-60x+400=0

解得Xi=20,x2=10.

因為要盡量減少庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，

故每件襯衫應(yīng)降20元.

答：每件襯衫應(yīng)降價20元.

(2)設(shè)商場平均每天贏利y元，則

y=(20+2x)(40-x)

=-2X2+60X+800

=-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625]

=-2(x-15)2+1250.

.?.當(dāng)x=15時，y取最大值，最大值為1250.

答：每件襯衫降價15元時，商場平均每天贏利最多，最大利潤為1250元.

【點評】(1)當(dāng)降價20元和10元時，每天都贏利1200元，但降價10元不滿足

"盡量減少庫存”，所以做題時應(yīng)認真審題，不能漏掉任何一個條件；

(2)要用配方法將代數(shù)式變形，轉(zhuǎn)化為一個完全平方式與一個常數(shù)和或差的形

工

5.某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和

10臺B型電腦的利潤為3500元.

(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；

(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不

超過A型電腦的2倍，設(shè)購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y

元.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？

(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m(0<m<100)元，且限定商

店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信

息及(2)中條件，設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.

【分析】(1)設(shè)每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b

元；根據(jù)題意列出方程組求解，

(2)①據(jù)題意得，y=-50X+15000,

②利用不等式求出x的范圍，又因為y=-50X+15000是減函數(shù)，所以x取34,y

取最大值，

(3)據(jù)題意得，y=(100+m)x-150(100-x),即y=(m-50)x+15000,分

三種情況討論，①當(dāng)0VmV50時，y隨x的增大而減小，②m=50時，m-50=0,

y=15000,③當(dāng)50<m<100時，m-50>0,y隨x的增大而增大，分別進行求

解.

【解答】解：(1)設(shè)每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤

為b元；根據(jù)題意得

(10a+20b=4000

l20a+10b=3500

解得戶10。

lb=150

答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.

(2)①據(jù)題意得,y=100x+150(100-x),BRy=-50x+15000,

②據(jù)題意得，100-x^2x,解得X233L,

3

Vy=-50x+15000,-50<0,

隨x的增大而減小，

???x為正整數(shù)，

二當(dāng)x=34時，y取最大值，貝I100-x=66,

即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.

(3)據(jù)題意得，y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000,

331WxW70

3

①當(dāng)0<mV50時，y隨x的增大而減小，

...當(dāng)x=34時，y取最大值，

即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.

②m=50時，m-50=0,y=15000,

即商店購進A型電腦數(shù)量滿足331^x^70的整數(shù)時，均獲得最大利潤；

3

③當(dāng)50VmV100時，m-50>0,y隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=70時，y取得最大值.

即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組及一元一次不等式的

應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)x值的增大而確定y值的增減情況.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丫=(^+13的圖象與反比例函數(shù)行皿

x

的圖象交于A(2,3)、B(-3,n)兩點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)若P是y軸上一點，且滿足aPAB的面積是5,直接寫出0P的長.

【分析】(1)將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出m的值，即可確定出反比

例函數(shù)解析式；設(shè)直線AB解析式為丫=1?+＞將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出

n的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出k與b的值，

即可確定出一次函數(shù)解析式；

(2)如圖所示，對于一次函數(shù)解析式，令x=0求出y的值，確定出C坐標(biāo)，得

到0C的長，三角形ABP面積由三角形ACP面積與三角形BCP面積之和求出，由

已知的面積求出PC的長，即可求出0P的長.

【解答】解：(1)???反比例函數(shù)丫=碼的圖象經(jīng)過點A(2,3),

X

m=6.

...反比例函數(shù)的解析式是y=9,

X

???B點(-3,n)在反比例函數(shù)y=§的圖象上,

X

n=-2,

???B(-3,-2),

?.?一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A(2,3)、B(-3,-2)兩點,

2k+b=3

-3k+b=-2

解得:k=l

b=l

，一次函數(shù)的解析式是y=x+l；

(2)對于一次函數(shù)y=x+l,令x=0求出y=l,即C(0,1),OC=1,

根據(jù)題意得：SAABP=1PCX2+1PCX3=5,

22

解得：PC=2,

則OP=OC+CP=l+2=3或OP=CP-OC=2-1=1.

【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系

數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積求法，熟練掌握待定系

數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點。與坐標(biāo)原點重合，A,C分別在

坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（4,2）,直線y=-4+3交AB,BC于點M,N,反比

2

例函數(shù)y=k的圖象經(jīng)過點M,N.

X

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點P在x軸上，且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等，求點P的

坐標(biāo).

【分析】(1)求出。A=BC=2,將y=2代入y=-L<+3求出x=2,得出M的坐標(biāo),

2

把M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出答案；

(2)求出四邊形BMON的面積，求出0P的值，即可求出P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)VB(4,2),四邊形OABC是矩形，

，0A=BC=2,

將y=2代入y=-Xx+3得：x=2,

2

AM(2,2),

把M的坐標(biāo)代入y="得：k=4,

X

...反比例函數(shù)的解析式是y=&；

X

(2)把x=4代入y=?得：y=l,即CN=1,

X

?S四邊形BMON二S矩形OABC-SAAOM-SACON

=4X2-LX2X2-±X4X1=4,

22

由題意得：」OP|XAO=4,

2

VAO=2,

A|OP)=4,

，點P的坐標(biāo)是(4,0)或(-4,0).

【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函

數(shù)的交點問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生應(yīng)用

性質(zhì)進行計算的能力，題目比較好，難度適中

8.已知二次函數(shù)y=ax?+bx-3a經(jīng)過點A(-1,0)、C(0,3),與x軸交于另一

點B,拋物線的頂點為D.

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)連接DC、BC、DB,求證：Z\BCD是直角三角形；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得APDC為等腰三角形？若存

在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入二次函數(shù)y=ax2+bx-3a求得a、b

的值即可確定二次函數(shù)的解析式；

(2)分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；

(3)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論.運用兩點間距離公式建立起P點

橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解.

【解答】解：(1)?.?二次函數(shù)y=ax?+bx-3a經(jīng)過點A(-1,0)、C(0,3),

???根據(jù)題意，得卜一-3a=0,

l-3a=3

解得卜二T,

lb=2

二拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)由y=-x?+2x+3=-(x-1)?+4得，D點坐標(biāo)為(1,4),

定義拋物線y=-x?+2x+3.令y=0,-X2+2X+3=0,解得x=-l或3,

AA(-1,0),B(3,0),

,，,CD」(I-。產(chǎn)+(+-3產(chǎn)

BC=732+32=3^2,

BD=V(3-1)2+(4-0)2=2^

VCD2+BC2=(&)2+(372)2=20,BD2=(275)2=20,

/.CD2+BC2=BD2,

/.△BCD是直角三角形；

(3)存在.

y=-X2+2X+3對稱軸為直線x=l.

①若以CD為底邊，則PiD=P】C,

設(shè)點坐標(biāo)為根據(jù)勾股定理可得222

Pi(x,y),PiC2=x?+(3-y),P1D=(x-1)+

(4-y)2,

因此x?+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,

即y=4-x.

又Pi點(x,y)在拋物線上，

/.4-x=-X2+2X+3,

即x2-3x+1=0,

解得xi=E巫，X2=2z返vi,應(yīng)舍去，

22

?-3+V5

??VA----------------,

2_

/.y=4-x=5^/^,

2

即點Pi坐標(biāo)為(史5,2匹).

22

②若以CD為一腰，

?.?點P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C關(guān)于直線X=1

對稱，

此時點P2坐標(biāo)為(2,3).

,符合條件的點P坐標(biāo)為(3+恒W1)或(2,3).

22

【點評】此題是一道典型的"存在性問題"，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直

角梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開放性.

9.如圖，已知拋物線y=-L<2-4+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

42

（1）求點A,B,C的坐標(biāo)；

（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A,B,E,F為頂點

的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得△ACM是等腰三角形？若存在，

請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）分別令y=0,x=0,即可解決問題.

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，分E點為拋物線上的普通點和頂

點2種情況討論，即可求出平行四邊形的面積.

（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題.

【解答】解：（1）令y=0得-L<2_b+2=o,

42

/.X2+2X-8=0,

x=-4或2,

...點A坐標(biāo)（2,0）,點B坐標(biāo)（-4,0）,

令x=0,得y=2,.,.點C坐標(biāo)（0,2）.

（2）由圖象①AB為平行四邊形的邊時，

VAB=EF=6,對稱軸X=-1,

.?.點E的橫坐標(biāo)為-7或5,

點E坐標(biāo)（-7,-或（5,-2L）,此時點F（-1,-，

444

...以A,B,E,F為頂點的平行四邊形的面積=6X21=罵.

42

②當(dāng)點E在拋物線頂點時，點E（-1,旦），設(shè)對稱軸與x軸交點為M,令EM

4

與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時以A,B,E,F為頂點的平行四邊形的

面積=LX6X窿W_.

222

（3）如圖所示，①當(dāng)C為等腰三角形的頂角的頂點時，CMi=CA,CM2=CA,作

MiN±OC于N,

在RTACMiN中，CN=JCHI2_HIN2=V7,

，點Mi坐標(biāo)（-1,2+W）,點M2坐標(biāo)（-1,2-。7）.

②當(dāng)M3為等腰三角形的頂角的頂點時，直線AC解析式為y=-x+2,

...線段AC的垂直平分線為y=x與對稱軸的交點為M3（-1.-1）,

.?.點M3坐標(biāo)為（-1,-1）.

③當(dāng)點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在.

綜上所述點M坐標(biāo)為（-1,-1）或（-1,2+V?）或（-1,2-77）.

V

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點的求法，學(xué)會分類討論的思想，屬于

中考壓軸題.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)

三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標(biāo)為m,