2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之圖形的變化

2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之圖形的變化

一.選擇題（共8小題）

1.（2021?河南）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）

4.（2019?河南）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后

得到圖②.關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（）

A.主視圖相同B.左視圖相同

C.俯視圖相同D.三種視圖都不相同

5.(2019?河南)如圖，在4。43中，頂點O(0,0),A(-3,4),fi(3,4),將△048

與正方形ABC。組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時,

點。的坐標為（)

(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

6.（2018?河南）將圖①中的小正方體沿箭頭方向平移到圖②位置，下列說法正確的是（）

①②

A.圖①的主視圖和圖②的主視圖相同

B.圖①的主視圖與圖②的左視圖相同

C.圖①的左視圖與圖②的左視圖相同

D.圖①的俯視圖與圖②的俯視圖相同

7.（2021?河南）如圖，nOABC的頂點O（0,0）,A（1,2）,點C在x軸的正半軸上，延

長84交y軸于點￡>.將△OD4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到△0。'A',當點。的對應點

落在04上時，D'A'的延長線恰好經(jīng)過點C,則點C的坐標為（）

A.（2?,0）B.（2旄，0）C.（2百H,0）D.（2泥+1,0）

8.（2017?河南）如圖，在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫一條直線，與橫格線交于A,B,C

三點，則BC：AC等于（）

填空題（共6小題）

9.（2017?河南）如圖，在等邊三角形A8C中，點M為邊的中點，點N

為邊AB上的任意一點（不與點A,8重合），若點8關(guān)于直線MN的對稱點片恰好落在

等邊三角形ABC的邊上，則BN的長為cm.

10.（2017?河南）如圖，在△ABC中，A8=8,AC=12,。為A8的中點，點E為CD上一

點，若四邊形AGM為正方形（其中點尸,G分別在AC,AB上），則△BEC的面積為.

11.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtaABC中，ZACB=90°,ZB

=30°,AC=1.第一步，在A8邊上找一點。，將紙片沿C。折疊，點A落在次處，如

圖2；第二步，將紙片沿C4折疊，點。落在?！?，如圖3.當點。'恰好落在原直角

三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為.

12.（2019?河南）如圖，在矩形中，AB=1,BC=a，點E在邊BC上，S.BE=^-ci.連

接AE,將AABE沿AE折疊，若點8的對應點B'落在矩形ABCD的邊上，則a的值

為_______.

13.（2018?河南）如圖，在矩形A8CD中，點E為AB的中點，點F為射線AO上一動點，

△A'所與關(guān)于EF所在直線對稱，連接AC,分別交E4'、EF于點、M、N,AB

=2?,AD=2.若△EMN與△4￡：/相似，則A尸的長為.

DI----------------

14.（2017?河南）如圖，在RtZ\A8C中，ZA=90°,AB=AC,BC=J^1,點、M,N分

別是邊BC,A3上的動點，沿MN所在的直線折疊使點B的對應點3'始終落在邊

AC上，若△MB'C為直角三角形，則的長為.

三.解答題（共6小題）

15.（2021?河南）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某數(shù)學活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選

取的測量點A與佛像8。的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4m,在A處測

得佛像頭頂部B的仰角為45°,頭底部C的仰角為37.5°,求佛像8。的高度（結(jié)果精

確到O.bn.參考數(shù)據(jù):sin37.5°-0.61,cos37.5°比0.79,tan37.5°-0.77）.

16.（2019?河南）數(shù)學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

圖所示，炎帝塑像。E在高55機的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°,

再沿AC方向前進21機到達8處，測得塑像頂部。的仰角為60°,求炎帝塑像。E的高

度.

（精確到1%參考數(shù)據(jù)：sin34°弋0.56,cos340=^0.83,tan34°-0.67,遍七1.73）

17.（2018?河南）2018年5月13日清晨，我國第一艘自主研制的001A型航空母艦從大連

造船廠碼頭啟航，赴相關(guān)海域執(zhí)行海上試驗任務已知艦長80約306辦航母前端點E到

水平甲板BD的距離DE為6m,艦島頂端A到BD的距離是AC,經(jīng)測量,NBAC=71.6°,

NE4c=80.6°,請計算艦島AC的高度.（結(jié)果精確到1〃3參考數(shù)據(jù)：sin71.6°-0.95,

cos71.6°^0.32,tan71.6°-3.01,sin80.6°-0.99,cos80.6°?=0.16,tan80.6°-6.04)

A

-十「福------------

A

18.(2020?河南)位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世

界文化遺產(chǎn)之一.

某校數(shù)學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在

地面一條水平步道MP上架設測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°,

然后沿MP方向前進16〃?到達點N處，測得點A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6〃?.

(1)求觀星臺最高點A距離地面的高度(結(jié)果精確到0.1，〃.參考數(shù)據(jù)：sin22°七0.37,

cos22°弋0.93,tan22°-0.40,亞如1.41)；

(2)“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為126”.請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一

條減小誤差的合理化建議.

19.(2019?河南)在△A8C中，CA=C8,NAC8=a.點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任

意一點.連接AP,將線段AP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段。P,連接AO,BD,CP.

(1)觀察猜想

如圖1,當a=60°時，毀的值是，直線與直線CP相交所成的較小角的度

CP

數(shù)是.

(2)類比探究

如圖2,當a=90。時，請寫出世的值及直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù),

CP

并就圖2的情形說明理由.

(3)解決問題

當a=90°時，若點E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C,

P,。在同一直線上時也的值.

CP

圖1圖2備用圖

20.（2017?河南）如圖1,在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC,點。，E分別在邊A8,

AC上，AD=AE,連接。C,點M,P,N分別為QE,DC,BC的中點.

（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;

（2）探究證明：把△ACE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MMBD,CE,

判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸：把△4OE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若A￡>=4,AB=10,請直接寫出

△PMN面積的最大值.

2017-2021年河南中考數(shù)學真題分類匯編之圖形的變化

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.（2021?河南）如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）

【專題】投影與視圖；空間觀念.

【分析】將圖形分成三層，從上而下第一層主視圖為一個正方形，第二層主視圖為兩個

正方形，第三層主視圖為三個正方形，且左邊是對齊的.

【解答】解：該幾何體的主視圖有三層，從上而下第一層主視圖為一個正方形，第二層

主視圖為兩個正方形，第三層主視圖為三個正方形，且左邊是對齊的.

故選:A.

【點評】本題主要考查三視圖的定義，在理解三視圖的基礎上，還要有較強的空間想象

能力.

2.（2020?河南）如圖擺放的幾何體中，主視圖與左視圖有可能不同的是（）

A.SB.AC.@D.S

【考點】簡單幾何體的三視圖.

【專題】投影與視圖；幾何直觀.

【分析】分別確定每個幾何體的主視圖和左視圖即可作出判斷.

【解答】解：A、主視圖和左視圖是長方形，一定相同，故本選項不合題意；

8、主視圖和左視圖都是等腰三角形，一定相同，故選項不符合題意；

C、主視圖和左視圖都是圓，一定相同，故選項不符合題意；

。、主視圖是長方形，左視圖是可能是正方形，也可能是長方形，故本選項符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，確定三視圖是關(guān)鍵.

【考點】由三視圖判斷幾何體.

【分析】左視圖是從左邊看到的，據(jù)此求解.

【解答】解：從左視圖可以發(fā)現(xiàn)：該幾何體共有兩列，正方體的個數(shù)分別為2,1,

D不符合，

故選：D.

【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是了解該幾何體的構(gòu)成，難度

不大.

4.（2019?河南）如圖①是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，將上層的小正方體平移后

得到圖②.關(guān)于平移前后幾何體的三視圖，下列說法正確的是（）

/正面

圖①圖②

A.主視圖相同B.左視圖相同

C.俯視圖相同D.三種視圖都不相同

【考點】簡單組合體的三視圖；平移的性質(zhì).

【專題】投影與視圖.

【分析】根據(jù)三視圖解答即可.

【解答】解：圖①的三視圖為：主視圖左視圖俯視圖

BIDrB吁

圖②的三視圖為：主視圖左視圖俯視圖

故選：C.

【點評】本題考查了幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是學生的觀察能力和對幾何體三種視

圖的空間想象能力.

5.(2019?河南)如圖，在△0A8中，頂點O(0,0),A(-3,4),B(3,4),將△。48

與正方形ABCD組成的圖形繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，

點。的坐標為()

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【考點】坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：規(guī)律型：點的坐標.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】先求出AB=6,再利用正方形的性質(zhì)確定￡)(-3,10),由于70=4X17+2,

所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點。順時針旋轉(zhuǎn)

2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,此時旋轉(zhuǎn)前后的點。關(guān)于原點對稱，于是利用關(guān)于原點對稱的點

的坐標特征可得到旋轉(zhuǎn)后的點。的坐標.

【解答】解：(-3,4),B(3,4),

.??A8=3+3=6,

?.?四邊形ABC。為正方形,

：.AD=AB=6,

：.D(-3,10),

V70=4X17+2,

...每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,

二點。的坐標為（3,-10）.

故選：D.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖

形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

6.（2018?河南）將圖①中的小正方體沿箭頭方向平移到圖②位置，下列說法正確的是（）

①②

A.圖①的主視圖和圖②的主視圖相同

B.圖①的主視圖與圖②的左視圖相同

C.圖①的左視圖與圖②的左視圖相同

D.圖①的俯視圖與圖②的俯視圖相同

【考點】簡單組合體的三視圖；平移的性質(zhì).

【專題】投影與視圖.

【分析】根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側(cè)面和上面看所得到的圖形,

得出圖①、圖②的三視圖即可.

【解答】解：找到圖①、圖②從正面、側(cè)面和上面看所得到的圖形，

可知圖①的主視圖與圖②的左視圖相同，圖①的左視圖與圖②的主視圖相同.

故選：B.

【點評】本題主要是從比較圖①、圖②來考查物體的三視圖，難度一般.

7.（2021?河南）如圖，O04BC的頂點0（0,0）,A（1,2）,點C在x軸的正半軸上，延

長BA交y軸于點D將△OD4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到△0。'A',當點。的對應點。'

落在OA上時，D'A'的延長線恰好經(jīng)過點C,則點C的坐標為（）

A.（2仃0）B.（2泥，0）C.（2百H,0）D.（2泥+1,0）

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形：運算能力.

【分析】延長A'D'交y軸于點E,延長。A',由題意O'A'的延長線經(jīng)過點C,

利用點A的坐標可求得線段A。，OD,OA的長，由題意：△OA'D'絲△OAO,可得

對應部分相等；利用O。'J_A'E,OA平分NA'OE,可得△4'OE為等腰三角形，可

得OE=OA'=近，ED'=A'D'=1；利用△OE。'^AC￡O,得到比例式可求線段

OC,則點C坐標可得.

【解答】解：延長A'D'交y軸于點E,延長。'A',由題意。'A'的延長線經(jīng)過點

：.AD=\,OD=2,

O/1=VAD2-H3D2=712+22=V5-

由題意：XOND,四△04。，

D'=AD=1,OA'=OA=疾,OD'=OD=2,ZA1D'O=ZADO=90°,

ZA'OD'=4D0D'.

則OD'_LA'E,OA平分NA'OE,

...△4'0E為等腰三角形.

：.OE=OA'=泥，ED1=A'O'=1.

'：EO±OC,OD'_LEC,

J.^OED's/\CEO.

?ED，二EO

'"0Dy"OC'

.1后

：.OC=2娓.

：.C（2娓,0）.

故選：B.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形

相似的判定與性質(zhì)，利用點的坐標表示出相應線段的長度和利用線段的長度表示相應點

的坐標是解題的關(guān)鍵.

8.（2017?河南）如圖，在橫格作業(yè)紙（橫線等距）上畫一條直線，與橫格線交于A,B,C

A.2：3B.2：5C.3：4D.3：5

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)已知圖形構(gòu)造相似三角形，進而得出△ABQs/viCE,

【解答】解：如圖所示：過點A作平行線的垂線，交點分別為。，E,

：.BC：AC=3：4,

故選：c.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，根據(jù)題意構(gòu)造△ABQS/XACE是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.（2017?河南）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=20pn,點M為邊BC的中點，點N

為邊AB上的任意一點（不與點A,8重合），若點B關(guān)于直線的對稱點8恰好落在

等邊三角形ABC的邊上，則BN的長為—返或，打a”.

【考點】軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】如圖1，當點8關(guān)于直線MN的對稱點后恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上

時，于是得到MN±AB,BN=BN',根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到=AC=8C,NA8C=

60°,根據(jù)線段中點的定義得到BN=2BM=返，如圖2,當點8關(guān)于直線MN的對稱

22

點8'恰好落在等邊三角形A8C的邊A,C上時，則,四邊形BMB'N是菱形，

根據(jù)線段中點的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖1,當點8關(guān)于直線MN的對稱點夕恰好落在等邊三角形ABC的邊AB

上時，

則MNA.AB,BN=BN',

/\ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=60°,

；點M為邊8c的中點，

8c=工8=?,

22

:.BN=LBM=?,

22

如圖2,當點3關(guān)于直線的對稱點⑶恰好落在等邊三角形4BC的邊A,C上時，

則,四邊形BMB'N是菱形，

?.,/ABC=60°,點M為邊8c的中點，

.?.BN=BM=2BC=X1B=?,

22

故答案為：返或立.

2

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論

是解題的關(guān)鍵.

10.（2017?河南）如圖，在△ABC中，A8=8,AC=12,。為A8的中點，點E為CD上一

點，若四邊形AGEF為正方形（其中點EG分別在ACA8上），則△BEC的面積為J

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似.

【分析】由題意可得：EF//AG,AF=EF=EG=AG,40=08=4,即可證△CEFs4

CDA,可得里0,即迎J2-AF,可求AF=3,即可求△回（7的面積.

ADAC412

【解答】解：?.?四邊形AGEF是正方形

J.EF//AG,AF=EF=EG=AG

?.?點。是AB中點

：.DB=AD=1AB=4

2

,JEF//AG

:.△CEFs/\CDA

EFCF

ADAC

A4F.12-AF

12

AF=3

■:S/、BCE=SMBC-S1ACD-SABDE

ASABC￡=—X8X12-Ax12X4-工><4X3=18

222

故答案為：18

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決

問題是本題的關(guān)鍵.

[1.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtAABC中，NACB=90°,ZB

=30°,AC=1.第一步，在AB邊上找一點￡>,將紙片沿8折疊，點4落在W處，如

圖2；第二步，將紙片沿C4折疊，點。落在。'處，如圖3.當點。'恰好落在原直角

三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為工或2-、值.

【考點】翻折變換（折疊問題）；含30度角的直角三角形.

【專題】操作型；等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【分析】分兩種情形解答：①點?！『寐湓谥苯侨切渭埰腁B邊上時，由題意：△

ADC^^A'DC^/\A'D'C,則N。'A'C=/DA'C=NA=60°,A'C=AC=1；

A'c垂直平分線段m；利用5強（;承，改=和磔，可求得5則4'E=A'

C-CE,解直角三角形A'D'E可求線段A'D'；②點?！『寐湓谥苯侨切渭埰?/p>

的8c邊上時，由題意：△AOC絲DC9XND'C,則/。'A'C=ADA'C=

ZA=60°,A'C=AC=\,ZACD=ZA'CD=ZA'CD'=』NACB=30°:在Rt

3

△A'D'C中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得結(jié)論.

【解答】解：①點。'恰好落在直角三角形紙片的A8邊上時，設A'C交AB邊于點E,

如圖，

B

由題意：△ADC2XNDC^/\A'D'C,A'C垂直平分線段。O'.

則NQ'A'C=ZDA'C=ZA=60°,A1C=AC=1.

VZACB=90°,ZB=30°,AC=\,

.?.BC=AUtanA=lXtan60。=西

AB=2AC=2,

..11

?S^ABC而AOBC或AB'CE'

/.CE=?.

2_

.\A,E=A'C-CE=1-返.

2

在RtZ\A'E中，

VcosZ￡>,A'E=~~~—,

A'D'

?.?—A'E1”，

A'D'2

；.A，D'=2A'E=2-5/3.

②點。'恰好落在直角三角形紙片的8c邊上時，如圖,

由題意：^ADC^/\A'DC^/\A'D'C,ZACD=ZA'CD=ZA'CD'=^ZACB

3

=30°；

則/O'4'C=NDA'C=NA=60°,A'C=AC=1.

'：ZD'A'C=60°,ZA'CD'=30°,

.../A'D'C=90°,

".A'D'=—izC=—x1=^-

222

綜上，線段A'D'的長為：工或2-b.

2

故答案為：工或2-

2

【點評】本題主要考查了翻折問題，含30°角的直角三角形，直角三角形的邊角關(guān)系，

特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的性質(zhì).翻折屬于全等變換，對應部分相等，這是解

題的關(guān)鍵，當點?！『寐湓谥苯侨切渭埰倪吷蠒r，要注意分類討論.

12.（2019?河南）如圖，在矩形ABCO中，AB=1,8C=a,點E在邊8C上，且8￡?=旦”.連

5

接AE,將4486沿AE折疊，若點8的對應點8'落在矩形4BCC的邊上，則〃的值為

【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】分兩種情況：①點8'落在AO邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得A8=8E,即

可求出”的值；②點B'落在CZ）邊上，證明△AOB'^/\B'CE,根據(jù)相似三角形對應

邊成比例即可求出a的值.

【解答】解：分兩種情況：

①當點8'落在AO邊上時，如圖1.

???四邊形A88是矩形，

；.NBAD=NB=90°,

?.?將AABE沿AE折疊，點B的對應點B'落在AO邊上，

；.NBAE=/B'AE=AZBAD=45°,

2

.\AB=BE,

5

；

3

②當點"落在CO邊上時，如圖2.

?.?四邊形ABC。是矩形，

:./BAD=NB=NC=ND=90°,AD=BC=a.

?.?將△ABE沿AE折疊，點B的對應點8'落在CD邊上，

：.ZB=ZAB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=&,

5

"夕=加A2-AD2=VT7,EC=BC-BE=a-la=Za.

在△AOB'與CE中，

AD=NEB'C=90°-NABT,

IZD=ZC=90°

:.AADB's叢B'CE,

?DB'=AB'即1

"~cTFT、2a3a'

5a5a

解得.2=-YG（舍去）.

33

綜上，所求”的值為反或逅.

_33

故答案為5或返.

33

圖2

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，

相似三角形的判定與性質(zhì).進行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

13.（2018?河南）如圖，在矩形ABC。中，點E為AB的中點，點尸為射線A。上一動點，

△A'EF與△AEF關(guān)于EF所在直線對稱，連接AC,分別交EA'、EF于點M、N,AB

=2?,AO=2.若△EMN與△AEF相似，則4尸的長為1或3

【考點】相似三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形.

【分析】分兩種情形①當EM_LAC時，叢EMNs叢EAF.②當ENJ_AC時，XENMs

EAF,分別求解.

【解答】解：①當EM_LAC時，AEMNs^EAF,

；四邊形A8C。是矩形，

：.AD=BC=2,ZB=90°,

，tanNCAB=坨=返，

AB3

.../CAB=30°,

：.ZAEM=60Q,

AZA￡F=30°,

=正?退=1,

.".AF=AE?tan30°

3

②當ENJ_AC時，△ENMsAEAF,

可得AF=4E?tan60°=3,

【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考?？碱}型.

14.（2017?河南）如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC,BC=\[^1,點、M,N分

別是邊BC,48上的動點，沿MN所在的直線折疊NB,使點B的對應點B'始終落在邊

AC上，若△MB'C為直角三角形，則〉M的長為1行+工或1

22

【考點】翻折變換（折疊問題）；等腰直角三角形.

【分析】①如圖1，當NB'MC=90°,B'與A重合，M是BC的中點，于是得到結(jié)論;

②如圖2,當NMB'C=90°,推出△CMB'是等腰直角三角形，得到CM=通歷夕，

列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：①如圖1,

當/B'MC=90°,B'與A重合，M是BC的中點，

.?.BM=ABC=AJ2+A；

222

②如圖2,當NMB'C=90。，

：/A=90°,AB^AC,

AZC=45°,

是等腰直角三角形，

?.?沿MN所在的直線折疊NB,使點8的對應點8',

：.BM=B'M,

:.CM=?BM,

VBC=V24-1,

CM+BM=&BM+BM=y[^1,

綜上所述，若△M3,C為直角三角形，則3M的長為工技工或1,

22

故答案為：工技工或1.

22

A

B

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是

解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共6小題）

15.（2021?河南）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某數(shù)學活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選

取的測量點A與佛像BD的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4加，在A處測

得佛像頭頂部B的仰角為45°,頭底部C的仰角為37.5°,求佛像BO的高度（結(jié)果精

確到0.1%參考數(shù)據(jù)：sin37.5°弋0.61,cos37.5°M).79,tan37.5°~0.77).

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】應用題；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)tan/D4C=JS=tan37.5°M）.77,列出方程即可解決問題.

AD

【解答】解：根據(jù)題意可知：NZM8=45°,

：.BD=AD,

在Rt/XADC中，DC=BD-BC=（AD-4）in,ZDAC=31.5°,

VtanZDAC=-^,

AD

，tan37.5°=^A^0.77,

AD

解得AD*17.4m,

：.BD=AD^\1Am,

答：佛像的高度約為17.4/.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的

關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會用構(gòu)建方程的思想思考問

題.

16.（2019?河南）數(shù)學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

圖所示，炎帝塑像。E在高55〃的小山EC上，在4處測得塑像底部E的仰角為34°,

再沿AC方向前進21機到達8處，測得塑像頂部。的仰角為60°,求炎帝塑像OE的高

度.

（精確到\m.參考數(shù)據(jù)：sin34°弋0.56,cos34°g0.83,tan34°弋0.67,巡弋1.73）

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用.

【分析】由三角函數(shù)求出AC=―四—-82.1相，得出BC=AC-48=61.1相，在Rt4

tan34

BC。中，由三角函數(shù)得出C￡>=?BCQ105.7〃3即可得出答案.

【解答】解：'：ZACE=90°,NCAE=34°,CE=55m,

.".tanZCA￡=^,

AC

.?.AC=—?-=-^-?82.1/n,

tan340.67

'：AB=2\m,

：.BC=AC-AB=6\Am,

在中，tan600=型=百，

BC

ACZ）=V3BC^1.73X61.1^105.7/T?,

：.DE=CD-EC=105.7-55g51根，

答：炎帝塑像OE的高度約為51〃?.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角

三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中.

17.（2018?河南）2018年5月13日清晨，我國第一艘自主研制的00L4型航空母艦從大連

造船廠碼頭啟航，赴相關(guān)海域執(zhí)行海上試驗任務已知艦長8。約306如航母前端點E到

水平甲板BD的距離OE為6〃?,艦島頂端A到BD的距離是AC,經(jīng)測量，/8AC=71.6°,

NE4C=80.6°,請計算艦島AC的高度.（結(jié)果精確到1處參考數(shù)據(jù)：sin71.6°30.95,

cos71.6°七0.32,tan71.6°g3.01,sin80.6°g0.99,cos80.6°七0.16,tan80.6°^6.04）

【專題】解直角三角形及其應用.

【分析】設AC=xm.作EHLAC于H,則四邊形是矩形.根據(jù)80=306,構(gòu)建

方程即可解決問題.

【解答】解：設AC=x，〃.作E，_LAC于”，則四邊形E//CO是矩形.

"：BD=306m,

/.3.01X+6.04（x-6）=306,

解得:x=38,

答：島AC的高度為38米.

【點評】本題考查解直角三角形的應用，具體的關(guān)鍵性學會添加常用輔助線構(gòu)造直角三

角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

18.（2020?河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世

界文化遺產(chǎn)之一.

某校數(shù)學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在

地面一條水平步道上架設測角儀，先在點例處測得觀星臺最高點A的仰角為22°,

然后沿方向前進16機到達點N處，測得點A的仰角為45°.測角儀的高度為16”.

（1）求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.bn.參考數(shù)據(jù)：sin22。=0.37,

cos22°g0.93,tan22°七0.40,&七1.41）；

（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為126”.請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一

條減小誤差的合理化建議.

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【分析】（1）過A作AD1.PM于D,延長BC交AO于E,則四邊形BMNC,四邊形BMDE

是矩形，于是得到BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,求得CE=AE,設AE=CE=

x,得到BE=16+x,解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法.

【解答】解：（1）過A作于。，延長8c交40于E,

則四邊形BMNC,四邊形BMDE是矩形，

:.BC=MN=16m,DE=CN=BM=1.6m,

VZA￡C=90°,ZACE=45°,

...△ACE是等腰直角三角形，

：.CE=AE,

設AE=CE=x,

???BE—16+x,

VZABE=22°,

：.AE=BE^an22o,即x=(16+x)X0.40,

.,.X5^10.7（772）,

.".AD=10.7+1.6=12.3(m),

答：觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3加

(2)..?“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m,

本次測量結(jié)果的誤差為12.6-12.3=0.3(w),

減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法.

MNPD

【點評】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構(gòu)造

直角三角形并解直角三角形.

19.(2019?河南)在△4BC中，CA=CB,NACB=a.點P是平面內(nèi)不與點A,C重合的任

意一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段OP,連接A。，BD,CP.

(1)觀察猜想

如圖1,當a=60°時，毀的值是1,直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)

CP

是60。.

(2)類比探究

如圖2,當a=90。時，請寫出毀的值及直線與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，

CP

并就圖2的情形說明理由.

(3)解決問題

當a=90°時，若點E,F分別是C4,的中點，點尸在直線EF上，請直接寫出點C,

P,。在同一直線上時延的值.

CP

【考點】相似形綜合題.

【專題】幾何綜合題.

【分析】(1)如圖1中，延長CP交8。的延長線于E,設AB交EC于點0.證明△CAP

會△BAO(.SAS),即可解決問題.

(2)如圖2中，設3。交AC于點0,80交PC于點E.證明△D4Bs△%c,即可解

決問題.

(3)分兩種情形：①如圖3-1中，當點。在線段PC上時，延長4。交BC的延長線于

H.證明AO=￡)C即可解決問題.

②如圖3-2中，當點P在線段8上時，同法可證：OA=Z)C解決問題.

【解答】解：(1)如圖1中，延長C尸交8力的延長線于E,設AB交EC于點0.

圖1

,：ZPAD^ZCAB=60°,

：.ZCAP^ZBAD,

'：CA=BA,PA^DA,

.?.△CAP絲△BAO(SAS),

：.PC=BD,ZACP^ZABD,

'：NAOC=NBOE,

：.ZBEO=ZCAO=60°,

.?.段=1,直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°,

PC

故答案為1.60°.

(2)如圖2中，設BO交AC于點O,8D交PC于點E.

圖2

,：ZPAD=ZCAB=45a,

：.ZPAC=ZDAB,

...迪=地=&,

ACAP

:.△DABS/\PAC,

：.ZPCA=ZDBA,BD=M=A/2>

PCAC

NEOC=ZAOB,

：.ZCEO=ZOAB=45°,

二直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45°.

(3)如圖3-1中，當點。在線段PC上時，延長交BC的延長線于巴

H

,:CE=EA,CF=FB,

：.EF//AB,

：.ZEFC=ZABC=45°,

???/%。=45°,

???NPAO=/OFH,

?：4P0A=4F0H,

???NH=NAPO,

VZAPC=90°,EA=EC,

：.PE=EA=EC,

：.ZEPA=ZEAP=/BAH,

:.NH=/BAH,

VZADP=ZBDC=45°,

AZADB=90°,

：.BD±AHf

：.ZDBA=ZDBC=22.5°,

VZADB=^ACB=90°,

???A,D,C,8四點共圓，

ZDAC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5°,

：.ZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA=DC,設4。=。，則OC=AO=a,PD=J2a,

解法二：在RtAR4Z）中，???E是AC的中點,

:.PE=EA=EC,

：.ZEPC=ZECP,

???/CE產(chǎn)=45°=NEPC+/ECP,

：.ZEPC=ZECP=22.5°,

VZPDA=45°=ZACD+ZDAC,

：.ZDAC=22.5°,

：.AD=DC,

設尸。=m則AO=ZX7=&a,

...包_=嶺=2-我

CPa+\/2

如圖3-2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA=DC,設A￡>=〃，則。。=AO=

a,PD=^Ha,

2

【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角

形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中

考壓軸題.

20.(2017?河南)如圖1,在Rt/XABC中，NA=90°,AB=AC,點。，E分別在邊A8,

AC上，AD=AE,連接。C,點M,P,N分別為Z)E,DC,BC的中點.

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM=PN,位置關(guān)系是PM

LPN；

(2)探究證明：把△AOE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MMBD,CE,

判斷△PA/N的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=4,AB=10,請直接寫出

△PMN面積的最大值.

E

BNCBNc

圖1圖2

【考點】幾何變換綜合題.

【專題】綜合題.

【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=」CE,PN=LBD,進而判斷出8O=CE,

22

即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出P例〃CE得出NDPM=NDC4,最后用互余

即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出448。絲/\4比,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=LBD,PN=1BD,

22

即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出結(jié)論：

（3）方法1、先判斷出MN最大時，的面積最大，進而求出AN,AM,即可得出

MN最大=AM+AN,最后用面積公式即可得出結(jié)論.

方法2、先判斷出最大時，△PMN的面積最大，而B。最大是AB+AZ）=14,即可.

【解答】解：（1）:點P,N是BC，CD的中點，

：.PN//BD,PN=LD,

2

:點P,M是C￡>,OE的中點，

J.PM//CE,PM=LCE,

2

'：AB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

'：PN//BD,

：.ZDPN=ZADC,

"：PM//CE,

：.NDPM=NDCA,

VZBAC=90°,

AZADC+ZACD=90°,

二NMPN=ZDPM+ZDPN=N3C4+NADC=90°,

.,.PM1.PN,

故答案為：PM=PN,PM±PN,

（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,

"：AB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE（SAS）,

；.NABD=NACE,BD=CE,

同（i）的方法，利用三角形的中位線得，PN=XBD,PM=1.CE,

22

：.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.ZDPM=/DCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

：.ZPNC=ZDBC,

'：NDPN=/DCB+/PNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=NDPM+NDPN=NDCE+NDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

\'ZBAC=9