講義等差數(shù)列教師匯總

1.（15年陜西理科）中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．【答案】【解析】試題分析：設(shè)數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為，所以答案應(yīng)填：．考點：等差中項．2（15年湖南理科）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，且成等差數(shù)列，則.【答案】.考點：等差數(shù)列的通項公式及其前項和.3.（15年江蘇）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為【解析】試題分析：由題意得：所以考點：數(shù)列通項，裂項求和4.（15北京文科）已知等差數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項相等？【答案】（1）；（2）與數(shù)列的第63項相等.【解析】試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用等差數(shù)列的通項公式，將轉(zhuǎn)化成和d，解方程得到和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項公式即可；第二問，先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項公式，將和轉(zhuǎn)化為和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項公式中，解出n的值，即項數(shù).試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因為，所以.又因為，所以，故.所以.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為，，所以，.所以.由，得.所以與數(shù)列的第63項相等.考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式.5.（15年廣東理科）在等差數(shù)列中，若，則=【答案】．【解析】因為是等差數(shù)列，所以，即，，故應(yīng)填入．【考點定位】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單運算，屬于容易題．6（15北京理科）設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C考點：1.等差數(shù)列通項公式；2.作差比較法等差數(shù)列等差數(shù)列――特殊的一次函數(shù)――本質(zhì)特征為“均勻變化”和“平均數(shù)”（1）本質(zhì)：一次函數(shù)和均勻變化，只能進行加減運算（2）通項公式，，，，···1，2，3，4，···n－（n－1）＝1，類比一次函數(shù)的斜率所以d就是變化率，并且是一個均勻變化的，變化率恒定例如：①數(shù)列2,4,6,8,10,···這一個數(shù)列顯然是均勻變化的，位置每增加一個，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加2，故變化率即公差為2，是一個常數(shù)，也就是說變化率是恒定的；而當位置增加2個時，相應(yīng)的數(shù)就增加4，也就是增加了2個變化率，同理，當位置增加3個時，相應(yīng)的數(shù)就增加6，也就是增加了3個變化率···②數(shù)列1,3,5,7,9,···這個數(shù)列也是均勻變化的，位置每增加一個，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加2，所以變化率也是一個常數(shù)，是恒定不變的.而當位置增加2個時，相應(yīng)的數(shù)就增加4，也就是增加了2個變化率，位置增加3個時，相應(yīng)的數(shù)就增加6，也就是增加了3個變化率···③數(shù)列5,10,15,20,25,···這個數(shù)列也是均勻變化的，位置每增加一個，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加5，即變化率為常數(shù)5，是一個定值.而當位置增加2個時，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加10，也就是增加了2個變化率，位置增加3個時，相應(yīng)位置上的數(shù)就增加15，也就是增加了3個變化率由此可見，位置增加了幾個，變化率即公差d也就增加了幾個，也可以說是兩個數(shù)之間差了幾個數(shù)就差幾個公差d，而與之間差了n－1個數(shù)，所以就差了n－1個公差d，故等差數(shù)列的通項公式－＝（n－1）d，即＝+（n－1）d＝dn+－d就相當于函數(shù)y=kx+b，其中k＝d，b＝－d.同理，與之間差了n－m個數(shù)，所以就差了n－m個公差d同，所以有還可以理解為位置相同，項數(shù)相同例如：數(shù)列＝n，當即1+4＝2+3時對應(yīng)的位置也滿足1+4＝2+3；當即2+5＝3+4時對應(yīng)的位置也滿足2+5＝3+4例如：數(shù)列＝3n+2，當即5+14＝8+11時對應(yīng)的位置也滿足1+4＝2+3；當即8+17＝11+14時對應(yīng)的位置也滿足2+5＝3+4故在等差數(shù)列中，若位置滿足m+n=p+q，則相應(yīng)的項就滿足（3）前n項和公式①例如：做勻加速直線運動的物體的末速度是關(guān)于時間t的一次函數(shù)，速度是均勻變化的，所以平均速度＝平均數(shù)個數(shù)＝n＝②事實上，＝這里邊又含有一個均勻變化1,2,3,4,···，n－1，它們的和等于平均數(shù)乘以個數(shù)，即所以又，類比（）例如：函數(shù)，當時，函數(shù)f(x)也就是數(shù)列而，當葉，函數(shù)g(x)也是數(shù)列，而且是均勻變化的，所以是一個等差數(shù)列.③設(shè)等差數(shù)列的前n項和是，則，···也成等差數(shù)列例如：，，，···因為每兩個數(shù)之間都差3項，所以都差3個公差d，它們也構(gòu)成了一個等差數(shù)列；同理，差的項數(shù)相同，所以差的公差d也相同，也構(gòu)成了一個等差數(shù)列；也構(gòu)成了一個等差數(shù)列，而等差數(shù)列的和仍然是等差數(shù)列.④由等差數(shù)列的前n項和等于平均數(shù)乘以個數(shù)以及相差幾項就差幾個公差d，可知4.例題分析（1）[2013·廣東卷]在等差數(shù)列{}中，已知＝10，則＝________．解讀題目：①看到“等差數(shù)列{}”想兩句話：一次函數(shù)和均勻變化（角標相同，項數(shù)相同）②＝10：當位置滿足3+8＝11時，對應(yīng)的項滿足＝10.故有若m+n＝11，則③求的值：因為＝，位置滿足5+5+5+7＝22＝，所以對應(yīng)的項滿足＝＝2（）＝20.分析題目：對誰運算――對位置n進行運算運算法則――位置n與該位置相應(yīng)的項之間的關(guān)系運算結(jié)果――該位置對應(yīng)項的值解析題目：在等差數(shù)列{}中，因為＝10且3+8＝11又＝且5+5+5+7＝22所以＝2（）＝20.（2）[2013年高考課標Ⅰ卷（文）]已知等差數(shù)列的前n項和滿足,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.分析：對誰運算：位置n運算法則：運算結(jié)果：解方程(Ⅰ)＝0，平均數(shù)為，3＝0，即＝0同理，＝－5，平均數(shù)為，5＝－5，即＝－1d＝－＝－1－0＝－1＝2－n(Ⅱ)由(I)知注意：應(yīng)用通分的逆運算從而數(shù)列的前n項和為.（3）[2013浙江]在公差為d的等差數(shù)列中,已知=10,且,,成等比數(shù)列.(Ⅰ)求d,;(Ⅱ)若d<0,求.分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：＝+（n－1）d運算結(jié)果：解方程(Ⅰ)由題意得·＝，即故d=-1或d=4.所以=－n+11,n∈N*或=4n+6,n∈N*.(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項和為因為d<0,由(Ⅰ)得d=－1,=－n+11,則當n≤11時,|==當n≥12時,=－+2=綜上所述,（分段函數(shù)，情況不同結(jié)果不同）（4）[2012江西理]設(shè)數(shù)列{},{}都是等差數(shù)列，若，，則__________.分析：對誰運算：位置n運算法則：＝+（n－1）d，＝+（m－1）d’運算結(jié)果：解方程3是1和5的平均數(shù)，（差幾項差幾個公差d）（等差數(shù)列+等差數(shù)列＝等差數(shù)列）故＝35.（5）[2013四川理科]數(shù)列的首項為3，為等差數(shù)列且.若則，，則（A）0（B）3（C）8（D）11分析：對誰運算：位置n運算法則：＝+（n－1）d運算結(jié)果：解方程由｛｝為等差數(shù)列（一次函數(shù)），且，可得對應(yīng)直線上的兩個點（3，－2）和（10,12），故可確定該直線的斜率即等差數(shù)列的公差d＝＝2，故由直線的點斜式方程可得＝2n-8（累加法）（6）[2013廣東]等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和．若，，則．分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：，＝+（n－1）d運算結(jié)果：解方程由得，即，，即，即注意：平均數(shù)（7）[2012高考]已知等差數(shù)列的前5項和為105,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)對任意,將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列{}的前m項和.分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：＝+（n－1）d運算結(jié)果：解方程(Ⅰ)由前5項和為105可知，=105，即=21=+2d注意平均數(shù)又，故+19d=2（+4d）聯(lián)立方程得=7，d=7所以數(shù)列的通項公式是=7+（n-1）7=7n(Ⅱ)由,得,即.∵,∴是公比為49的等比數(shù)列,∴.（8）[2013·山東卷]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且Tn＋eq\f(an＋1,2n)＝λ(λ為常數(shù))，令cn＝b2n(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Rn.分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：運算結(jié)果：解方程(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋（2n－1）d＝2a1＋2（n－1）d＋1，))解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.(Ⅱ)由題意知Tn＝λ－eq\f(n,2n－1)，所以n≥2時，bn＝Tn－Tn－1＝－eq\f(n,2n－1)＋eq\f(n－1,2n－2)＝eq\f(n－2,2n－1).故cn＝b2n＝eq\f(2n－2,22n－1)＝(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)，n∈N*.所以Rn＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(1)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋…＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)，則eq\f(1,4)Rn＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(1)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋…＋(n－2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)，兩式相減得eq\f(3,4)Rn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)－(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＝eq\f(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(n),1－\f(1,4))－(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)＝eq\f(1,3)－eq\f(1＋3n,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(n)，整理得Rn＝eq\f(1,9)4－eq\f(3n＋1,4n－1).所以數(shù)列{cn}的前n項和Rn＝eq\f(1,9)4－eq\f(3n＋1,4n－1).（9）[2012·廣東]已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3＝aeq\o\al(2,2)－4，則an＝________.分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：運算結(jié)果：解方程設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a3＝a1＋d2－4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,1＋2d＝1＋d2－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝±2.))由于等差數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.（10）[全國大綱理]設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項公式.分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：運算結(jié)果：解方程不妨令，則由已知得，且故數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，即（11）[2013遼寧數(shù)學(xué)（理）]下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題:其中的真命題為(A)(B)(C)(D)分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：運算結(jié)果：運算設(shè)，所以正確；如果，則滿足已知，但并非遞增，所以錯；如果若，則滿足已知，但，是遞減數(shù)列，所以錯；，所以是遞增數(shù)列，正確,選D.（12）[2010·安徽高考文科]設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為()（A）15(B)16(C)49（D）64分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：，運算結(jié)果：運算（13）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列．(Ⅰ)求a1的值；(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅲ)證明：對一切正整數(shù)n，有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,2).分析：對誰運算：正整數(shù)n運算法則：，運算結(jié)果：解方程(Ⅰ)∵a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.又∵2a1＝2S1＝a2－22＋1,2(a1＋a2)＝2S2＝a3－23＋1，∴a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.因此4a1＋16＝7a1＋13，從而a1＝1.(Ⅱ)由題設(shè)條件知，n≥2時，2Sn－1＝an－2n＋1，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1.∴2an＝an