隨機(jī)事件和概率

關(guān)于隨機(jī)事件和概率第一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四題型一隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)：對隨機(jī)現(xiàn)象所做的觀測，特點(diǎn)：重復(fù)性；所有基本結(jié)果是明確的；結(jié)果的隨機(jī)性。2.樣本空間：每個基本結(jié)果稱為一個樣本點(diǎn)，記為所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記為3.事件：（1）試驗(yàn)結(jié)果所發(fā)生的現(xiàn)象

（2）樣本空間的一個子集，即分為第二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四

,不一定有

不一定有4.事件的關(guān)系和運(yùn)算（6個）：互不相容（互斥）注：集合的所有運(yùn)算律完全適用于事件，常用的有：結(jié)合律，分配律，德.摩根律等第三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四作用：如何把一個復(fù)雜事件分解，用一些簡單事件來表示，一定要會表示“恰好”、“至少”、“最多”第四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題1：擲一枚硬幣3次，設(shè)事件Di表示“第i次出現(xiàn)正面”，i=1,2,3，（1）Ai表示“恰好出現(xiàn)i次正面”，i=0,1,2,3

(2)Bi表示“至少出現(xiàn)i次正面”，i=0,1,2,3第五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(3)Ci表示“最多出現(xiàn)i次正面”，i=0,1,2,3第六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題2：設(shè)事件A與B滿足則=

.

解（A）若A與B互不相容，B與C互不相容，則A與C互不相容

例題3：設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（）（B）若A與B獨(dú)立，若B與C獨(dú)立，則A與C獨(dú)立(C)若A包含B，B包含C，則A包含C(D)若A與B對立，若B與C對立，則A與C對立解（B）中令;(D)中答案：C第七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四

例題4：（1）

那么A,B相互獨(dú)立嗎？

解不相互獨(dú)立

（3）那么A,B相互獨(dú)立嗎？A,B互不相容嗎？，且設(shè)A與B互不相容，且A,B相互獨(dú)立那么A,B相不相容嗎？

A,B相容注（1）

條件下，互不相容和相互獨(dú)立之間沒有任何聯(lián)系。驗(yàn)證獨(dú)立性相對要容易一些。第八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題5：A,B為任意兩個不相容的事件，且，則必有()（A）不相容

（B）相容

(C)

(D)A,B相互獨(dú)立解（B）若答案：CA,B相互獨(dú)立,但A,B不一定互不相容第九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四題型二隨機(jī)事件的概率1.概率的定義：刻劃事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，記為統(tǒng)計定義：大量試驗(yàn)中，頻率總在一個常數(shù)p附近來回擺動，把p值稱為概率此定義說明了頻率和概率之間的近似關(guān)系，概率頻率公理化定義：，稱為集合函數(shù)，且滿足(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：第十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(3)可列可加性：設(shè)事件，則有注：面積+規(guī)范性=概率，所以我們可以把概率形象地看成面積2.性質(zhì)：

（1）有界性：(2)單調(diào)性：(3)有限可加性：設(shè)事件，則有特別地，第十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四3.條件概率：在B發(fā)生的條件下，再考慮A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記為理解：已經(jīng)知道試驗(yàn)結(jié)果的部分信息下，再求A的概率。因?yàn)椴话l(fā)生，只需要在B的范圍內(nèi)考察A，此時的樣本空間為B,顯然樣本空間縮小了。轉(zhuǎn)化為無條件概率：也是一種概率，因?yàn)闈M足公理化定義的三個條件。

第十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四4.古典概率：（1）有限集

（2）等可能性任何事件A,5.幾何概率：(1)是一個可度量有限區(qū)域（一維、二維、三維），為的容積。第十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四

（2）等可能性：中任何一點(diǎn)都等可能地被取到

事件為有限區(qū)域，為A的容積,則有6.加法公式：第十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四7.乘法公式：第十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例1：解：第十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題2：設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，且則解：第十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題3：（96考研題）已知且

則下列選項成立的是（）第十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解：答案：B第十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題4：設(shè)A,B為任意的兩個事件，且

則一定有()

答案：B第二十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題5（96年考研題）考慮一元二次方程

其中B,C分別是將一枚骰子連續(xù)擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。求該方程有實(shí)根的概率和有重根的概率。解：A1=“方程有實(shí)根”A2=“方程有重根”第二十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第二十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四補(bǔ)充：球隨機(jī)投入盒子例4n個小球隨機(jī)的投入N個盒子，假設(shè)每個盒子能容納小球的個數(shù)不限，求下列事件的概率。123N…n小球盒子（1）每個盒子至多有1個球；將這n個小球一個一個往盒子里放（樣本空間的角度）第二十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（2）有1個盒子有2個球，其余的盒子至多1個球；23N…n-2小球N-1盒子（3）三號盒子有2個球，其余的盒子至多1個球；第二十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例6：設(shè)有n個人，每個人都被等可能地分配到N(n≤N)個房間中去住，求下列事件的概率。（1）指定的n個房間，其中各住一人；（2）恰有n個房間，其中各住一人；

(3)某指定的一個房間中恰有m個人住。第二十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解：（1）A=“指定的n個房間各有一個人住”（2）A=“恰好有n個房間，其中各有一人住”（3）A=“某指定的一個房間中恰有m個人住”第二十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題7：一條公交線路沿途一共有10個下車站，已知起始站上有20個乘客上車，假設(shè)每位乘客在各下車站下車是等可能的，則在第一站有4位乘客下車的概率解：A=“在第一站有4位乘客下車”12310…20小球盒子第二十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題：一架升降機(jī)開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2）B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3）C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4）D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.12310…6小球盒子解（1）第二十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四（3）由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有10

種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：①4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；②4人同時離開，有9

種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故第二十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題8：鐵路一編組站隨機(jī)地編組發(fā)往三個不同地區(qū)E1,E2和E3的各2節(jié)、3節(jié)和4節(jié)車皮，求發(fā)往同一地區(qū)的車皮恰好相鄰的概率。解：車皮的編號為1,2,…,9，A=“發(fā)往同一地區(qū)的車皮恰好相鄰”樣本總數(shù)為9！，首先把車皮分為三組，有3！種各組再全排列，有2！3！4！第三十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題9：巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有n根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求:(1)他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？(2)第一次用完一盒火柴時（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？解(1)不妨設(shè)甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2,一共取(2n-r+1)次，其中前面的（2n-r)次中有n次從甲盒中取，最后第（2n-r+1)次從甲盒取，否則不知其為空，其概率為同理，若甲盒有r根而乙盒為空，其概率為第三十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四所求的概率為另解：可以看成（2n-r+1)球隨機(jī)放到2個盒子里，前（2n-r)個球中有n個球放入一盒，剩下r球全放入另一盒,最后一個球放入裝有n個球的盒子里。第三十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(2)不妨設(shè)甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2,一共取(2n-r)次，其中前面的（2n-r-1)次中有（n-1）次從甲盒中取，最后第（2n-r)次從甲盒取。其概率為同理，若甲盒有r根而乙盒為空，其概率為第三十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題10：包括a和b二人在內(nèi)共n個人排隊，問a,b間恰有r個人的概率？解：事件A=“a,b間恰有r個人”,先考慮a,b的位置，若a在前面b在后面，則a有[n-(r+1)]個站法，同理，若b在前面a在后面，則b有[n-(r+1)]個站法，剩下的位置有（n-2)!站法總的樣本點(diǎn)為n!第三十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題:

n個朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.解：（1）先不排乙，n-1人圍繞圓桌而坐。（2）圓環(huán)排列：n個不同的元素圓環(huán)排列，共有(n-1)!不同排法第三十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題：將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為第三十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題：擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對稱性知P（A）=P（B）（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)不會相等.由P（A）+P（B）=1，得P（A）=P（B）=0.5(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，由上題知或第三十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題11：將編號為1,2,3的三本書隨意地排到書架上，則至少有一本書自左到右的排列序號與它的編號相同的概率為多少？解：設(shè)Ai=“第i本書排到第i個位置上”，i=1,2,3B=“至少有一本書自左到右的排列序號與它的編號相同”第三十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第三十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題：一列火車共有n節(jié)車廂，有k(k≥n)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客的概率解“每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客”，其對立事件為“至少有一節(jié)車廂是空的”。設(shè)Ai={第i節(jié)車廂是空的}，（i=1,…,n）,則第四十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四所求的概率為：第四十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題12：已知40件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中隨意取出兩件產(chǎn)品，求：(1)第一次取到次品的概率p1;第二次取到次品的概率p2;第二次才取到次品的概率p3;(2)取出兩件產(chǎn)品至少有件是次品的概率p4;(3)取出兩件產(chǎn)品中至少有一件是次品，那么另一件也是次品的概率p5;(4)已知取出的兩件產(chǎn)品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率p6;第四十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解：Ai=“第i次取到次品”，i=1,2第四十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四P{取出兩件產(chǎn)品中有一件是次品，另一件也是次品}第四十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第四十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題13：為了防止意外，在礦內(nèi)同時設(shè)有甲、乙兩種報警系統(tǒng)，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時，甲、乙有效的概率分別為0.92、0.93，在甲系統(tǒng)失靈的條件下，乙系統(tǒng)仍有效的概率為0.85，求發(fā)生意外時，這兩種報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率(2)在乙失靈的條件下，甲仍有效的概率解：設(shè)事件A,B分別為甲,乙單獨(dú)使用時有效第四十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第四十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題14：在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取兩個數(shù)u,v，則關(guān)于x

的一元二次方程有實(shí)根的概率。解：第四十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四題型三全概率公式、貝葉斯公式公式：設(shè)B1,B2,…Bn為樣本空間的一個劃分，即（1）互不相容；

（2）若，則對任意事件A，有第四十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四2.全概率公式：先把A分解再由加法公式和乘法公式得到全概率公式.最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是尋找與A有關(guān)的事件B1,B2,…Bn（稱為導(dǎo)致A發(fā)生的原因或條件），一般說來事件A是一個比較簡單的事件，但要求A的概率還是比較難，此時就要考慮全概率公式。3.貝葉斯公式：已知結(jié)果A發(fā)生了，再回過頭來尋找原因，是Bi引起的概率是多少，所以這是一個條件概率。典型例子：醫(yī)生看病第五十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題1：(05考研題)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,…,X中任取一個數(shù)，記為Y,則解：第五十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題2：（98年考研題）設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份。隨機(jī)地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份（1）求先抽取的一份是女生表的概率（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率解：Ai=“第i次抽到的報名表是女生”，i=1,2Bi=“第i地區(qū)的報名表”，i=1,2,3第五十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第五十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第五十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題3：每箱產(chǎn)品有10件，其中次品數(shù)從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時，從中任取一件，如果檢驗(yàn)為次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。由于檢驗(yàn)誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%，求(1)檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品能通過驗(yàn)收的概率(2)檢驗(yàn)10箱產(chǎn)品通過率不低于90%的概率解：A=“通過驗(yàn)收”=“檢驗(yàn)為正品”B=“產(chǎn)品為正品”Ci=“一箱產(chǎn)品中有i個次品”，i=0,1,2第五十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四(2)X表示10箱被接收的箱數(shù)，X~B(10,0.892)第五十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題4：甲盒內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中任取3個球放入空盒乙中，然后從乙盒內(nèi)任取2個球放入空盒丙中，最后從丙盒內(nèi)再任取1個球，試求：(1)從丙盒內(nèi)取出的球是白球的概率(2)若從丙盒內(nèi)取到白球，當(dāng)初從甲盒內(nèi)取到3個白球的概率解：C={從丙盒中取到白球}Bj={從乙盒中取到j(luò)白球},j=0,1,2Ai={從甲盒中取到i白球},i=1,2,3第五十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第五十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第五十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第六十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題6：一條自動生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n件產(chǎn)品不出故障的概率為假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為.如果各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立。(1)計算生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k件(優(yōu)質(zhì)品的概率

(2)若已知在某兩次故障間該生產(chǎn)線生產(chǎn)了k件優(yōu)質(zhì)品，求它共生產(chǎn)m件產(chǎn)品的概率。第六十一頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四解：An=“兩次故障間共生產(chǎn)n件產(chǎn)品”,n=0,1,2,…Bk=“兩次故障間共生產(chǎn)k件優(yōu)質(zhì)品產(chǎn)品”,第六十二頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第六十三頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第六十四頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題7：設(shè)有一傳輸信道，若將三字母A,B,C分別輸入信道，輸出為原字母的概率為，輸出為其它字母的概率為，現(xiàn)將3個字母串AAAA,BBBB,CCCC分別輸入信道，輸入的概率分別為設(shè)信道傳輸每個字母相互獨(dú)立，已知輸出字母串為ABCA，問輸入為AAAA的概率？答案：第六十五頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題8：用某種儀器檢驗(yàn)電子元件，若元件是正品，經(jīng)檢驗(yàn)也是正品的概率為0.99；若元件是次品，經(jīng)檢驗(yàn)也是次品的概率為0.95。當(dāng)大批元件送來檢驗(yàn)時，檢驗(yàn)員只隨機(jī)地?zé)o放回抽取3件，對每件獨(dú)立檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)3件全是正品，則這批元件就可以出廠。現(xiàn)送來元件100，已知其中有4件次品，求這100件產(chǎn)品能出廠的概率。解：A=“能出廠”Bi=“取出的3個產(chǎn)品有i個正品”，i=0,1,2,3第六十六頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四第六十七頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四題型四事件的獨(dú)立性與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1.事件的獨(dú)立：若A與B發(fā)生與否互不影響.與任何事件A相互獨(dú)立。對立，互不相容，獨(dú)立的事件組第六十八頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四任意事件的乘積的概率等于這些事件的概率乘積若相互獨(dú)立，則任何一小部分事件也是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的區(qū)別相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別第六十九頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四3.n重貝努利試驗(yàn)：一共做了n次試驗(yàn)，滿足：（3）每次試驗(yàn)，保持不變（2）每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；（1）試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立；在n重貝努利試驗(yàn)中，A發(fā)生k次的概率為第七十頁，共七十八頁，編輯于2023年，星期四例題1：（99考研題）設(shè)兩兩相互獨(dú)立的事件A,B和C滿足條件：,且已知,則