非穩(wěn)態(tài)熱傳導

關于非穩(wěn)態(tài)熱傳導第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四2引題鋼制工件的熱處理是一個典型的非穩(wěn)態(tài)導熱過程，掌握工件中溫度變化的速率是控制工件熱處理質量的重要因素。金屬在加熱爐中加熱時需要確定其停留時間，以保證達到規(guī)定的溫度。第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四3引題本章內(nèi)容基本概念零維一維本章重點：掌握基本概念；確定物體瞬時溫度場的方法；在一段時間間隔內(nèi)物體所傳導熱量的計算方法。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四4目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四5非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.1非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點及類型一、定義：物體的溫度隨時間而變化的導熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導熱（unsteadyheatconduction）非周期性：物體溫度隨時間趨近于恒值（動力機械啟動、停止）周期性：物體溫度隨時間做周期性變化（地球表面溫度隨四季更替周期變化）第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四6非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念幾種典型非穩(wěn)態(tài)導熱過程的溫度變化率第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四7非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念二、特點：物體中各點的溫度隨時間發(fā)生變化；物體中各點的熱流密度隨時間發(fā)生變化；

不宜用熱阻法定量分析非穩(wěn)態(tài)導熱；其中：第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四8非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念如圖所示，已知一復合平壁初始溫度為t0，左側為金屬壁面，右側為保溫層，層間接觸良好。令其左側表面的溫度突然升高到t1，右側與溫度為t0的空氣接觸，分析溫度變化過程。保溫層金屬壁t0t1xB

P

L

保溫層金屬壁t0t1xC

P

L

不同時刻平壁溫度場示意圖（一）保溫層金屬壁t0xA

L

金屬壁xt第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四9非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念不同時刻平壁溫度場示意圖（二）保溫層金屬壁t0t1xD

A

P

I

保溫層金屬壁t0t1xE

A

P

J

保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四10非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個重要階段非正規(guī)狀況階段：這一階段中溫度分布主要受初始溫度分布的控制。正規(guī)狀況階段：不同時刻的溫度分布主要受熱邊界條件的影響。正規(guī)狀況階段的溫度分布計算比非正規(guī)狀況階段簡單得多。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個重要階段保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

E

JDICBL第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四11非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念對于上述復合壁情形，不同時刻左右表面的導熱量隨時間的變化定性用右圖表示。0Φ1Φ2τΦΦ1為從左側導入金屬壁的熱流量Φ2為從右側導出保溫層的熱流量導熱過程中兩者不相等，且隨著過程的進行，其差別逐漸減小，直到進入穩(wěn)態(tài)階段兩者平衡。陰影部分代表了復合壁在升溫過程中積蓄的能量。第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四12非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.2導熱微分方程解的唯一性定律非穩(wěn)態(tài)導熱問題的求解初始條件邊界條件導熱微分方程假定物體的熱物理特性參數(shù)均為常數(shù)式中div(gradt)是溫度的拉普拉斯（Laplace）算子（3-1a）第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四13非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念引入熱擴散率，于是有：初始條件的一般形式是：一個實用上經(jīng)常遇到的簡單特例是初始溫度均勻，即（3-1b）（3-2a）（3-2b）第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四14非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念

第三類邊界條件較為常見，本章將著重討論物體處于恒溫介質中的第三類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導熱，即：

數(shù)學上可以證明，如果某一函數(shù)t（x,y,z,τ）滿足方程（3-1a）或（3-1b）以及一定的初始條件和邊界條件。則此函數(shù)就是這一特定導熱問題的唯一解。換言之，不可能同時存在兩個都滿足導熱微分方程及同一定解條件的不同的解。（3-3）第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四15

討論如左圖所示的一塊厚度為2δ的金屬平板，初始溫度為，突然將它置于溫度為的流體中進行冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，平板的導熱系數(shù)為λ。根據(jù)平板的導熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h的相對大小的不同，平板中溫度場的變化會出現(xiàn)以下三種情形。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.3第三類邊界條件下Bi數(shù)對平板中溫度分布的影響第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四16非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念1、首先討論畢渥數(shù)Bi趨近于無窮，即導熱熱阻遠大于對流傳熱熱阻（請同學舉例）。過程一開始，平板表面溫度就立即被冷卻到。隨著時間的推移，平板內(nèi)部各店的溫度逐漸下降，最后趨近周圍流體溫度。第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四17非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念2、討論畢渥數(shù)Bi趨近于0，即對流傳熱熱阻遠大于導熱熱阻（請同學舉例）。由于平板內(nèi)部導熱熱阻δ/λ幾乎可以忽略，所以在整個過程中，平板中各點的溫度基本一致。并隨著時間的推移整體地下降，最后趨近周圍流體溫度。第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四183、討論Bi為有限大小畢渥數(shù)Bi為有限大小，即導熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h數(shù)值比較接近（請同學舉例）。該情況下，平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四19非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念xxxttt

特征數(shù)：表征某一類物理現(xiàn)象或物理過程特征的無量綱數(shù)。又稱為準則數(shù)。出現(xiàn)在特征數(shù)定義式中的幾何尺度稱為特征長度，用l

表示。第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四20目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四21零維問題的分析法——集中參數(shù)法當固體內(nèi)部的導熱熱阻遠小于其表面的換熱熱阻時，任何時刻固體內(nèi)部的溫度夠趨于一致，以致可以認為整個固體在同一瞬間均處于同一溫度下。即，固體的質量和熱容量都匯總到一點上。這種忽略物體內(nèi)部導熱熱阻的簡化分析方法稱為集中參數(shù)法。（lumpedparametermethod）條件：物體的導熱系數(shù)相當大，或幾何尺寸很小，或表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)極低。第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四22零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.1集中參數(shù)法溫度場的分析解

設有任意形狀的固體，其體積為V，表面積為A，初始溫度t0，突然將其置于溫度恒為t∞的流體中，設t0>t∞，固體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及固體的物性參數(shù)均保持常數(shù)，求解物體溫度隨時間的依變關系。此問題可應用集中參數(shù)法分析。t∞第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四23零維問題的分析法——集中參數(shù)法非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導熱問題式中：是廣義熱源。界面上交換的熱量應折算成整個物體的體積熱源。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四24零維問題的分析法——集中參數(shù)法引入過余溫度，則有：兩式合并有：初始條件：導熱微分方程第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四25零維問題的分析法——集中參數(shù)法將導熱微分方程分離變量注意到V/A具有長度的量綱，并定義：兩邊積分得：第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四26Bi是以lc為特征長度的畢渥數(shù)，F(xiàn)O稱為傅里葉數(shù)，也是以lc為其特征長度。故上式可簡化為：零維問題的分析法——集中參數(shù)法第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四27零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.2導熱量計算式、時間常數(shù)與傅里葉數(shù)1、導熱量計算式導熱物體與流體間所交換的熱量可由瞬時熱流量對時間積分得到。導熱物體的瞬時熱流量為：第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四28零維問題的分析法——集中參數(shù)法從τ=0到τ時刻之間所交換的總熱量為

換熱量是恒為正的，因此對物體被加熱的場合應將式中的t0-t∞改為t∞-t0。物體內(nèi)部導熱熱阻可以忽略時的加熱或冷卻，有時又稱牛頓加熱或牛頓冷卻。第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四29零維問題的分析法——集中參數(shù)法2、時間常數(shù)

采用集中參數(shù)法分析時，物體中過余溫度隨時間成指數(shù)曲線關系變化，在開始階段溫度變化得很快，隨后逐漸減慢。第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四30零維問題的分析法——集中參數(shù)法

在指數(shù)函數(shù)中具有與相同的量綱。如果則有：稱為時間常數(shù)（timeconstant）,記為τc

。第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四31零維問題的分析法——集中參數(shù)法

當時間τ=τc

時，物體的過余溫度已經(jīng)降到了初始過余溫度的36.8%。時間常數(shù)不僅取決于幾何參數(shù)V/A

，物理性質ρ、c，還與換熱條件h有關。時間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快。物體就越迅速地接近流體溫度。

第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四32零維問題的分析法——集中參數(shù)法

以熱電偶為例，時間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化，故熱電偶端部的接點總是做得很小。當τ=4.6τc

時，

工程上認為τ=4.6τc

時導熱物體已經(jīng)達到熱平衡狀態(tài)。第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四33擴展·熱電偶

熱電偶（thermocouple）是常用的測溫元件，它直接測量溫度，并把溫度信號轉換成熱電動勢信號，通過電氣儀表（二次儀表）轉換成被測介質的溫度。測溫原理：兩種不同成份的導體兩端接合組成回路，當兩個接合點的溫度不同時，在回路中就會產(chǎn)生電動勢，這種現(xiàn)象稱為熱電效應。第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四34擴展·熱電偶熱電偶分度號

熱電極材料正極負極S鉑銠10純鉑R鉑銠13純鉑B鉑銠30鉑銠6K鎳鉻鎳硅T純銅銅鎳J鐵銅鎳N鎳鉻硅鎳硅E鎳鉻銅鎳第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四35零維問題的分析法——集中參數(shù)法3、傅里葉數(shù)的物理意義

傅里葉數(shù)可以理解為兩個時間間隔相除所得的無量綱時間。故Fo可以看成是表征非穩(wěn)態(tài)過程進行深度的無量綱時間。從邊界上開始發(fā)生熱擾動的時刻起到所計算時刻為止的時間間隔邊界上發(fā)生的有限大小的熱擾動穿過一定厚度的固體層擴散到lc2的面積上所需的時間第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四36零維問題的分析法——集中參數(shù)法

在非穩(wěn)態(tài)導熱過程中，這一無量綱時間越大，熱擾動就越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而物體內(nèi)各點的問題就越接近周圍介質的溫度。第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四37零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.3集中參數(shù)法的實用范圍及應用舉例

對于平板、圓柱和球中的一維非穩(wěn)態(tài)第三類邊界條件下的導熱問題，當按特征長度l=δ，厚度為2δl=R，圓柱l=R，球定義Bi數(shù)≤0.1第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四38典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解

由于lc=V/A，對圓柱和球分別是R的1/2和1/3。因此如果以lc作為畢渥數(shù)的特征長度，則該Bi數(shù)對平板、圓柱和球應分別小于0.1、0.05和0.033。（如例題3-1、3-2、3-3）第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四39目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四40典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解所謂一維是指：對平板，溫度僅沿著厚度方向變化；對圓柱和球，溫度僅沿著半徑方向變化。

以平板為例，厚為2δ的無限大平板，初始溫度為t0。將其置于溫度為t∞

的流體中，設平板兩邊對稱受熱，板內(nèi)溫度必然以其中心截面為對稱面。研究厚為δ

的半塊平板情況即可，將x軸遠點置于板的中心截面上t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四41典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解對于x≥0的半塊平板，導熱微分方程及定解條件為：邊界條件初始條件定解條件第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四42典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解引入過余溫度經(jīng)分離變量后可得分析解如下：t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

式中，F(xiàn)O為傅里葉數(shù)，F(xiàn)O=a

τ

/δ

2,η

=x/δ第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四43典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解系數(shù)Cn應該使上述無窮級數(shù)在初始時刻（τ