2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合的綜合題試題含詳細(xì)答案

2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合的綜合題試題含詳細(xì)答案一、圓的綜合1.在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在丁軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)一次落在直線y=%上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y=X于點(diǎn)M,BC邊交%軸于點(diǎn)N(如圖).(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè)AMBN的周長(zhǎng)為P，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)n/2(2)22.5°(3)周長(zhǎng)不會(huì)變化，證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出NAOM的度數(shù)；(3)利用全等把AMBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.試題解析：(1)丁A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°,，OA旋轉(zhuǎn)了45°.「?OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為45兀x22=三360 2:MNIIAC,「.NBMN=NBAC=45°,NBNM=NBCA=45°.「.NBMN=NBNM.「.BM=BN.又「BA=BC,「.AM=CN.又「OA=OC,NOAM=NOCN,「.△OAM^△OCN.— -1 1??NAOM=NCON=-(NAOC-NMON)=-(90°-45°)=22.5°.2 2?旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°.(3)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，則NAOE=45°-NAOM,NCON=90°-45°-NAOM=45°-NAOM,?NAOE=NCON．又:OA=OC,NOAE=180°-90°=90°=NOCN.「.△QAE^△OCN.「.OE=ON,AE=CN.又：乙MOE=NMON=45°,OM=OM,「.△OME^△OMN.「.MN=ME=AM+AE.mn=am+cn,「.p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.「?在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.圖1和圖2中，優(yōu)弧Ab紙片所在。。的半徑為2,AB=2<3，點(diǎn)P為優(yōu)弧Ab上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A'.發(fā)現(xiàn):(1)點(diǎn)。到弦AB的距離是—，當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，NABA=—；(2)當(dāng)BA'與。。相切時(shí)，如圖2,求折痕的長(zhǎng).拓展：把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁，得到半圓形紙片，點(diǎn)P(不與點(diǎn)M,N重合)為半圓上一點(diǎn)，將圓形沿NP折疊，分別得到點(diǎn)M,。的對(duì)稱點(diǎn)A,。'，設(shè)NMNP=a.(1)當(dāng)a=15°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A'作A'CIIMN,如圖3,判斷AC與半圓。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖4,當(dāng)a=—。時(shí)，NA'與半圓。相切，當(dāng)a=—。時(shí)，點(diǎn)。'落在NP上.(3)當(dāng)線段N。'與半圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)，直接寫出0的取值范圍.【答案】發(fā)現(xiàn)：(1)1,60°；(2)2、3；拓展：(1)相切，理由詳見(jiàn)解析；(2)45°；30°；(3)0°<a<30°或45°<a<90°.【解析】【分析】發(fā)現(xiàn)：(1)利用垂徑定理和勾股定理即可求出點(diǎn)O到AB的距離；利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對(duì)稱性就可求出NABA'.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBA'=90°,從而得到NABA'=120°,就可求出NABP,進(jìn)而求出NOBP=30°.過(guò)點(diǎn)O作OGLBP,垂足為G,容易求出OG、BG的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長(zhǎng).拓展：(1)過(guò)A'、O作A'H±MN于點(diǎn)H,OD±A'C于點(diǎn)D.用含30°角的直角三角形的性1 1質(zhì)可得OD=A'H=：yA'N=5MN=2可判定A’C與半圓相切；(2)當(dāng)NA'與半圓相切時(shí)，可知ON^A'N,則可知a=45°,當(dāng)O'在PB時(shí)，連接MO',貝U可知NO'=1MN,可求得NMNO'=60°,可求得a=30°；(3)根據(jù)點(diǎn)A'的位置不同得到線段NO'與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)a的取值范圍是0°<a<30°或45°<a<90°.【詳解】發(fā)現(xiàn)：(1)過(guò)點(diǎn)O作OHLAB,垂足為H,如圖1所示，卻OO的半徑為2,AB=2,；3,「?OH=*O2-HB2=、,-'22-(<,3)2:1在△BOH中，OH=1,BO=2「.NABO=30°;圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A'.「.NOBA'=NABO=30°「.NABA'=60°(2)過(guò)點(diǎn)O作OG^BP,垂足為G,如圖2所示.圉2「BA'與OO相切，「.OB±A'B.「.NOBA'=90°.丁NOBH=30°,「.NABA'=120°.「.NA'BP=NABP=60°.?.NOBP=30°.「.OG=；OB=1.，BG=x3.;OG±BP,「.BG=PG-；,3.「?BP=2%：3. 折痕的長(zhǎng)為2<3拓展：（1）相切.分別過(guò)A'、O作A'H±MN于點(diǎn)H,OD±A'C于點(diǎn)D.如圖3所示，「A'CIIMN「?四邊形A'HOD是矩形「.A'H=O;a=15°「.NA'NH=30.....1 1一OD=AH=—A'N=_MN=22 2A'C與半圓(2)當(dāng)NA,與半圓O相切時(shí)，則ON^NA,「.NONA'=2a=90°,1當(dāng)O,在PB上時(shí)，連接MO’,則可知NO‘=-MN,「.NO/MN=0°「.NMNO‘=60°,「.a=30°,故答案為：45°；30°.丁點(diǎn)P,M不重合，「.a>0,由（2）可知當(dāng)a增大到30°時(shí)，點(diǎn)O'在半圓上，.??當(dāng)0°<a<30°時(shí)點(diǎn)O'在半圓內(nèi)，線段NO,與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B；當(dāng)a增大到45°時(shí)NA'與半圓相切，即線段NO'與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)a繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)N,但是點(diǎn)P,N不重合，」.a<90°,??當(dāng)45°Wa<90°線段BO'與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述0°<a<30°或45°<a<90°.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、翻折問(wèn)題等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵..已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上，以O(shè)D的長(zhǎng)為半徑的OO與AD,BD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,且NABE=NDBC.(1)判斷直線BE與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2(2)若sinNABE=—,CD=2,求OO的半徑.3【答案】(1)直線BE與OO相切，證明見(jiàn)解析；(2)OQ的半徑為亙2【解析】分析：(1)連接OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證NBEO=90°,即可得出直線BE與OO相切；(2)連接EF,先根據(jù)已知條件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的長(zhǎng)，設(shè)出OO的半徑為r，利用切線的性質(zhì)，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.詳解：(1)直線BE與OO相切.理由如下：連接OE,在矩形ABCD中，ADIIBC,,NADB=NDBC.;OD=OE,「.NOED=NODE.又「NABE=NDBC,「.NABE=NOED,;矩形ABDC,NA=90°,:;矩形ABDC,NA=90°,:?NOED+NAEB=90°,「.NBEO=90°,「?直線BE與OO相切;(2)連接EF,方法1：丁四邊形ABCD(2)連接EF,方法1：丁四邊形ABCD是矩形，CD=2，「.NA=NC=90°，AB=CD=2.丁NABE=NDBC,「.sinNCBD=sinZABE=DC,BD二 sinZCBD在RtAAEB中，:CD=2,,BC=2<2.DCAE2AE.?.tanNCBD=tanZABE,，-BCAB…2<2—~2,??.AE=<2,由勾股定理求得BE=66.在RtABEO中，NBEO=90°,EO2+EB2=OB2.設(shè)OO的半徑為r，則r2+(\：；6)2=(2<3—r),ar=鼻,方法2：vDF是。O的直徑，，ZDEF=90°.v四邊形ABCD是矩形，「.ZA=ZC=90°,AB=CD=2.vzABE=ZDBC,asinZCBD=sin乙ABE=—3設(shè)DC=x,BD=<3x，則BC=<2x.vCD=2,，BC=2<2.2AE ,J 2AE ,J = AB2<22vtanZCBD=tanZABE，，-BC.vDF為直徑，ZFED=90°,AEFIIAB,，DF=1BD=<3,「.OO的半徑為—2 2.點(diǎn)睛：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性，有一定的難度..如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,-1）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,<3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3,0）,點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè).（1）求菱形ABCD的周長(zhǎng)；（2）若OM沿x軸向右以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，同時(shí)菱形ABCD沿x軸向右以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)菱形移動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)OM與BC相切，且切點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，連接BD,求：①t的值；②ZMBD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與BD所在的直線的距離為1時(shí)，求t的值.【答案】(1【答案】(1)8；(2)①7；②105°；(3)t=6-33或6+【解析】分析：(1)根據(jù)勾股定理求菱形的邊長(zhǎng)為2,所以可得周長(zhǎng)為8；(2)①如圖2，先根據(jù)坐標(biāo)求EF的長(zhǎng)，由EE'-FE'=EF=7,列式得：31-21=7,可得t的值；②先求NEBA=60°,則NFBA=120°,再得NMBF=45°,相加可得：乙MBD=NMBF+NFBD=45°+60°=105°；(3)分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖5由距離為1可知：BD為。M的切線，由BC是。M的切線，得NMBE=30°,列式為31+=21+6,解出即可；第二種情況：如圖6,同理可得t的值.詳解：(1)如圖1,過(guò)A作AE±BC于E.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,<3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0),「.AE=。3,BE=3-2=1,」?ABaE22+BE2=((.;3)2+12=2.丁四邊形ABCD是菱形，「.AB=BC=CD=AD=2,「?菱形ABCD的周長(zhǎng)=2x4=8；(2)①如圖2,OM與x軸的切點(diǎn)為F,BC的中點(diǎn)為E.「M(3,-1),「.F(3,0).;BC=2,且E為BC的中點(diǎn)，，E(-4,0),「.EF=7,即EE'-FE'=EF,「.31-21=7,t=7；②由(1)可知：BE=1,AE=<3,AE「?tanNEBA=——=——=%3,「.NEBA=60°,如圖4,「.NFBA=120°.BE11 1…c丁四邊形ABCD是菱形，??.NFBD=-NFBA=-義120°=60°.「BC是OM的切線，，MF±BC.丁F是BC的中點(diǎn)，「.BF=MF=1,「.△BFM是等腰直角三角形，nMBF=45°,「.NMBD=NMBF+NFBD=45°+60°=105°；(3)連接BM，過(guò)M作MN±BD，垂足為N,作ME±BC于E,分兩種情況：第一種情況：如圖5.丁四邊形ABCD是菱形，NABC=120°,「.NCBD=60°,ANNBE=60°.??點(diǎn)M與BD所在的直線的距離為1,AMN=1,ABD為OM的切線.丁BC是OM的切線，ANMBE=30°.;ME=1,AEB=<3,A31+\.;3=21+6,t=6-<3；第二種情況：如圖6.丁四邊形ABCD是菱形，NABC=120°,ANDBC=60°,ANNBE=120°.??點(diǎn)M與BD所在的直線的距離為1,AMN=1,ABD為OM的切線.丁BC是OM的切線，ANMBE=60°.ME1 x/3;me=MN=1,ARtABEM中，tan60°= ,EB=——--=——,BEtan600 3

.??31=2.??31=21+6+亙，t=6+亙；3 36+苴

3綜上所述：當(dāng)點(diǎn)M與BD所在的直線的距離為1時(shí)，t=6-.點(diǎn)睛：本題是四邊形和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和判定、特殊的三角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，此類問(wèn)題比較復(fù)雜，弄清動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向、速度、時(shí)間和路程的關(guān)系，并與方程相結(jié)合，找等量關(guān)系，求出時(shí)間t的值.5.5.已知：AB是。0直徑,C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D,BD=CD,連接AD、AC.(1)如圖1,求證:NBAD=NCAD(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF±AB于點(diǎn)F,交。0于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EH±AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF；⑶如圖3,在(2)的條件下,EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CG,求線段AL的長(zhǎng).圖1圖2圖3【答案】(i)見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析⑶152<10【解析】試題分析：(1)由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,得到NADB=90°,再證明△ABD電△ACD即可得到結(jié)論；(2)連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到NGAB=NBEG.再證△KFE￡△BFE,得到BF=KF=-BK.由OF=OB-BF,AK=AB-BK,即可得至U結(jié)論.2(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M，連接BG.設(shè)NGAB=a.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM,NAGC+NGCM=90°.再證NGAF=NGCM=a.通過(guò)證明△AGB￡△CMG，得到1BG=GM=-AG.再證明NBGC=NMCG=a.設(shè)BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.由OK=1,得至UOF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得至U3a+2=4a，解出a的值，得到AF,HK1AB,GF,FC的值.由tana=tanNHAK= =-,AK=6,可以求出AH的長(zhǎng).再由AH21 tan/GAF+tan/BADtan/BAD=tan/BCF=-，利用公式tanNGAD= ，得到3 1-tan/GAF-tan/BADNGAD=45°,則AL=+aAH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1);AB為OO的直徑，，NADB=90°,ANADC=90°.;BD=CD,NBDA=NCDA,AD=AD,A△ABD￡△ACD,ANBAD=NCAD.(2)連接BE.丁BG=BG,ANGAB=NBEG.;CF±AB,ANKFE=90°.EH±AG,ANAHE=NKFE=90°,NAKH=NEKF,ANHAK=NKEF=NBEF.FE=FE,NKFE=NBFE=90°,A△KFE￡△BFE,ABF=KF=_BK.2;OF=OB-BF,AK=AB-BK,AAK=2OF.KD(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M，連接BG.設(shè)NGAB=a.;AC=CG,A點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.丁OA=OG,.??點(diǎn)O在AG的垂直平分線上，ACM垂直平分AG,AAM=GM,NAGC+NGCM=90°.;AF±CG,ANAGC+NGAF=90°,ANGAF=NGCM=a.丁AB為OO的直徑，ANAGB=90°,ANAGB=NCMG=90°.

;AB=AC=CG,「.△AGB^△CMG,，BG=GM=1AG2 °在RtAAGB中，tan在RtAAGB中，「.NBGC=NMCG=a設(shè)BF=KF=a,tan/BGF-「.NBGC=NMCG=a設(shè)BF=KF=a,tan/BGF-tana==一GF2tan/GAF-tanaAF=4a.;OK;OK=1,「.OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,「.3a+2=4a,「.a=2,AK「.a=2,AK=6,「.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6.HKvtana=tanNHAK= AH設(shè)KH=m,則AH=2m,AAK=<m2+(2m)2=6,解得:6<5

m= ,5在RtABFC中，tan/BCF-BFtan/BCF-BF1FC—3BAD+NABD=90°,NFBC+NBCF=90°,ANBCF=NBAD,tan/BAD-tantan/BAD-tan/BCFtan/GAF+tan/BAD,atanNGAD=- 1-tan/GAF-tan/BADj-111 ,—X-23ANGAD=45°,AHL=AH,AL=、/AH=I2"'10.6.閱讀下列材料：如圖1,OQ1和。02外切于點(diǎn)C,AB是。O1和。02外公切線，A、B為切點(diǎn)，求證：AC±BC證明：過(guò)點(diǎn)C作O0］和O02的內(nèi)公切線交AB于D，■「DA、DC是O01的切線「.DA=DC.「.NDAC=NDCA.同理NDCB=NDBC.又「NDAC+NDCA+NDCB+NDBC=180°,「.NDCA+NDCB=90°.即AC±BC.根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)在以上的證明過(guò)程中使用了哪些定理？請(qǐng)寫出兩個(gè)定理的名稱或內(nèi)容；(2)以AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2),已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,0),(1,0),求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c的函數(shù)解析式；(3)根據(jù)(2)中所確定的拋物線，試判斷這條拋物線的頂點(diǎn)是否落在兩圓的連40Q2上，并說(shuō)明理由.一、_ -3 【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)y=-12+-x-2；(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)由切線長(zhǎng)相等可知用了切線長(zhǎng)定理；由三角形的內(nèi)角和是180°,可知用了三角形內(nèi)角和定理；(2)先根據(jù)勾股定理求出。點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；(3)過(guò)C作兩圓的公切線，交AB于點(diǎn)D，由切線長(zhǎng)定理可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過(guò)C,D兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)過(guò)一點(diǎn)且互相垂直的兩條直線解析式的關(guān)系可求出過(guò)兩圓圓心的直線解析式，再把拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式看是否適合即可.試題解析：⑴DA、DC是eO1的切線，??.DA=DC.應(yīng)用的是切線長(zhǎng)定理；/DAC+/DCA+/DCB+/DBC=180。，應(yīng)用的是三角形內(nèi)角和定理.

⑵設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0/),則AB2=AC2+BC2,即(|—4-11]=(-4)+y2+12+y2,即25=17+2y2，解得y=2(舍去)或y=-2.故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,116a-416a-4b+c=0貝卜a+b+c=0

c=-2,27 3解得jb二2c=-2,「3 「故所求二次函數(shù)的解析式為y=5x2+5x-2.3⑶過(guò)C作兩圓的公切線CD交AB于D，則AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(--,0),設(shè)過(guò)CD兩點(diǎn)的直線為片kx+b,則TOC\o"1-5"\h\z「3 「 4—k+b=0k=—<2解得j3b=-2, b=-2,l I故此一次函數(shù)的解析式為y=-3x-2,丁過(guò)o,o的直線必過(guò)c點(diǎn)且與直線y=-4x-2垂直，12 33中故過(guò)qq的直線的解析式為y=4x-2,,3 25、由(2)中所求拋物線的解析式可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-^,-―)，2 83(3— 25 —代入直線解析式得7義---2=--,故這條拋物線的頂點(diǎn)落在兩圓的連心。？。上.412J 8 12(1)問(wèn)題背景如圖①，BC是。O的直徑，點(diǎn)A在。O上，AB=AC,P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合），求證：＜2PA=PB+PC.小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB,AP,AC,且AB=AC,這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過(guò)程：第一步：將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB（如圖①）；第二步：證明Q，B，P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證.請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過(guò)程完成證明過(guò)程.（2）類比遷移如圖②，OQ的半徑為3,點(diǎn)A,B在。O上，C為。O內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,AB^AC,垂足為A,求OC的最小值.（3）拓展延伸4如圖③，OO的半徑為3,點(diǎn)A,B在OO上，C為OO內(nèi)一點(diǎn)，AB=3AC,AB^AC,垂足為a則oc的最小值為3【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）OC最小值是3工.'2-3；（3）-.【解析】試題分析：（1）將^PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB（如圖①），只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題；（2）如圖②中，連接0人，將4OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB,連接OB,OQ,在△BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問(wèn)題；4（3）如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問(wèn)題.作AQLOA,使得AQ=-0A,連接0Q,4BQ,03.由4QAB-OAC,推出BQ=30C,當(dāng)BQ最小時(shí)，0C最?。辉囶}解析：（1）將^PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB（如圖①）；圖①丁BC是直徑，，NBAC=90°,;AB=AC,「.NACB=NABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得NQBA=NPCA,NACB=NAPB=45°,PC=QB,「NPCA+NPBA=180°,「.NQBA+NPBA=180°,「.Q,B,P三點(diǎn)共線，「.NQAB+NBAP=NBAP+NPAC=90°,「.QP2=AP2+AQ2=2AP2,「?QP=\2AP=QB+BP=PC+PB,「.<2AP=PC+PB.(2)如圖②中，連接0人，將4OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至4QAB,連接OB,OQ,圖②;AB±AC,ANBAC=90°,由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC，AQ=OA，NQAB=NOAC，」.NQAB+NBAO=NBAO+NOAC=90°,「?在RtAOAQ中，OQ=3j2,AO=3,「.在^OQB中，BQ>OQ-OB=3<2-3,即OC最小值是3<2-3；4_連接OQ,BQ,OB.(3)如圖③中，作AQ，OA，使得AQ=3連接OQ,BQ,OB.圉③圉③ABAB4AC二3丁NQAO=NBAC=90°,NQAB=NOAC,4△QAB-OAC,「.BQ=—OC,當(dāng)BQ最小時(shí)，OC最小，易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ>OQ-OB,，OQ>2,]「?BQ的最小值為2,33「?OC的最小值為—x2=—，4 23故答案為萬(wàn).【點(diǎn)睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識(shí)，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.8.如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC±AB,OB=4,D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE,DE.(2)若tan/(2)若tan/AED=3，求ae的長(zhǎng);(3)點(diǎn)F是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線OC的距離為m,當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時(shí)，求m的值.(1)當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，求△ADE的面積;一一T ._16 — —【答案】(1)SA =6<2； (2)AE=—<5 ；(3)m=2<3 ,m=2<2,ADE 5m=%；7—1.【解析】【分析】(1)作￡1~1，八3,連接OE,EB,設(shè)DH=a，貝UHB=2-a,OH=2+a,貝UEH=OH=2+a,根據(jù)RtAAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出SAADE的值；AFAD(2)作DF^AE,垂足為F,連接BE,設(shè)EF=2x,DF=3x,根據(jù)DFIIBE故 =——,EFBD得出AF=6x,再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)；(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.【詳解】解：(1)如圖，作EHLAB,連接OE,EB,設(shè)DH=a，則HB=2-a,OH=2+a,??點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，「.NCOE=ZEOH=45°,「.EH=OH=2+a,在RtAAEB中，EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=±2\2—2,二a=2v12-2,EH=2V2,S 產(chǎn)1nADnEH=6<2'ADE2

(2)如圖，作DF^AE,垂足為F,連接BE設(shè)EF=2x,DF=3x「DFIIBEAFAD「.——二——EFBD,AF6- ——=32x2「.AF=6x在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2AE=8x=$5(3)當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖設(shè)DH=a由DF=DE,NDOF=NEHD=90°,NFDO+ZDFO=NFDO+ZEDH,「.NDFO=NEDH「.△OD碎△HED「.OD=EH=2在RtAABE中，EH2=AH?BH(2)2=(6+a)?(2-a)解得a=±2<3-2m=2v3當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖ODHB同理得△EFG^△DEH設(shè)DH=a，貝UGE=a,EH=FG=2+a在《△ABE中，EH2=AH?BH(2+a)2=(6+a)(2-a)解得a=±2<2—2「?m=2<2當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖同理得△EFMM△FDO設(shè)OF=a，貝UME=a,MF=OD=2「.EH=a+2在《△ABE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±<7-1m=<7-1【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定與性質(zhì).9.已知，AABC內(nèi)接于eO，點(diǎn)p是弧AB的中點(diǎn)，連接PA、PB；(1)如圖1,若AC=BC,求證：AB1PC；(2)如圖2,若PA平分/CPM，求證：AB=AC；(3)在(2)的條件下，若sin/BPC=—,AC=8，求AP的值.【答案】(1)見(jiàn)解析;⑵見(jiàn)解析;⑶2%.【解析】【分析】(1)由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，可得出AP=BR通過(guò)證明^APC二ABPC,AACE=ABCE可得出ZAEC=/BEC進(jìn)而證明AB1PC.⑵由PA是NCPM的角平分線，得到NMPA=ZAPC,等量代換得到NABC=NACB,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可證得AB=AC.⑶過(guò)A點(diǎn)作八口，3^有三線合一可知AD平分BC,點(diǎn)O在AD上，連結(jié)OB，則NBOD=NBAG根據(jù)圓周角定理可知NBOD=NBAC,NBPC=NBAC,由NBOD=NBPC可得 . BD一sin/BOD=sin/BPC=——，設(shè)OB=25x，根據(jù)勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的OB長(zhǎng)，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【詳解】解：(1)二.點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，如圖1,「.AP=BP,在4APG和4BPC中[AP=BP<AC=BC,PC=PC△APC^△BPC(SSS),「.NACP=NBCP,在4ACE和4BCE中|AC=BC</ACP=/BCP,CE=CE「.△ACE^△BCE(SAS),?NAEC^—NBEC,「NAEC+NBEC=180°,NAEC=90°,AB±PC；VPA平分NCPM,NMPA=NAPC,VNAPC+NBPC+NACB=180°,NMPA+NAPC+NBPC=180°,NACB=NMPA=NAPC,VNAPC=NABC,NABC=NACB,AB=AC；(3)過(guò)A點(diǎn)作AD±BC交BC于D，連結(jié)OP交AB于E,如圖2,圖1 卻由（2）得出AB=AC,」.AD平分BC,??點(diǎn)。在AD上，連結(jié)0B,則NBOD=ZBAC,丁NBPC=NBAC,sin/BOD=sin/BPC=24=BD25OB'設(shè)OB=25x，則UBD=24x,OD=弋OB2—BD2=7x,在RtVABD中，AD=25x+7x=32x,BD=24x,AB=Add2+bd2=40x，;AC=8,AB=40x=8,解得：x=0.2,OB=5,BD=4.8,OD=1.4,AD=6.4,丁點(diǎn)P是DB的中點(diǎn)，OP垂直平分AB,AE=—AB=4,NAEP=NAEO=90°,2在RtAAEO中，OE=、.dOO2-DE2=3,PE=OP-OE=5-3=2,在RtAAPE中，AP=\P^J22+AE2=\,2+42=2;.【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)圓的綜合題，考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三線合一，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，一般以壓軸題形出現(xiàn)，難度較大.10.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC>2），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點(diǎn).（1）求證：△OBCM△ABD(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出直線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn)F,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線EFII直線BO；這時(shí)OF和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說(shuō)明.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y=<3x-2巨；C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(4,0)處時(shí)，直線EFII直線BO；此時(shí)直線BO與OF相切，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB,BC=BD,NOBA=NDBC,等號(hào)兩邊都加上NABC,得到NOBC=NABD,根據(jù)“SAS〃得到△OBC^△ABD.(2)先由三角形全等，得到NBAD=NBOC=60°,由等邊△BCD,得到NBAO=60°,根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到NOAE=60°,在直角三角形OAE中，由OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan60°的定義求出OE的長(zhǎng)，確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程，把點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式.(3)由EAIIOB,EFIIOB,根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到A為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可求出C的坐標(biāo)；相切理由是由F為等邊三角形BC邊的中點(diǎn)，根據(jù)“三線合一〃得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：.「△OAB和^BCD都為等邊三角形，「.OB=AB,BC=BD,NOBA=NDBC=60°,「.NOBA+NABC=NDBC+NABC,即NOBC=NABD,在^OBC和^ABD中，'OB=AB</OBC=/ABD，、BC=BD「.△OBC^△ABD.(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線AE的位置不變，「△OBCM△ABD,「.NBAD=NBOC=60°,又「NBAO=60°,「.NDAC=60°,

OE「.NOAE=60°,又OA=2,OE在RtAAOE中，tan60°=——,OA則OE=273,???點(diǎn)E坐標(biāo)為（0,-2、：3）,設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得：f0=2k+b[―2>/3=b\k=J3解得，1 ，[b=-2幣直線AE的解析式為：y=y'3x-2V3.（3）C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（4,0）處時(shí)，直線EFII直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由如下:丁NBOA=NDAC=60°，EAIIOB，又EFIIOB，則EF與EA所在的直線重合，??點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，又F為BC中點(diǎn)，A為OC中點(diǎn)，又AO=2，則UOC=4，當(dāng)C的坐標(biāo)為（4,0）時(shí)，EFIIOB,這時(shí)直線BO與。F相切，理由如下：??△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，DFLBC,又EFIIOB,FB±OB,直線BO與。F相切，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.11.如圖，過(guò)。O外一點(diǎn)P作。O的切線PA切。O于點(diǎn)A,連接PO并延長(zhǎng)，與。O交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N,連接AC、CM.（1）求證：CM2=MN.MA；(2)若NP=30°,PC=2,求CM的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)CM=22.【解析】【分析】(1)由CM=DM知^CAM=/DCM，根NCMA=NNMC據(jù)證AAMlACMN即可得；一1—一1(2)連接OA、DM,由直角三角形PAO中NP=30°知OA=-PO=-(PC+CO)，據(jù)此求得OA=OC=2,再證三角形CMD是等腰直角三角形得CM的長(zhǎng).【詳解】(1)QeO中，m點(diǎn)是半圓CD的中點(diǎn)，.?./CAM=ZDCM,又QACMA=/NMC,「.AAMCs^CMN,即CM2=MN-MA；(2)連接OA、DM,QPA是eO的切線，.「/PAO=90。，又Q/P=30°,A:.OA=-PO=-(PC+CO),2設(shè)eO的半徑為r,QPC=2,:.r=i(2+r),2解得：r=2,

又QCD是直徑，.../CMD=90。QCM=DM,：.'CMD是等腰直角三角形，???在RtACMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2，即2CM2=(2r>=16,貝UCM2=8,:.CM=2<2.【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)3如圖，AABC中，AC=BC=10,cosC=5,點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，以PA長(zhǎng)為半徑的。P與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)D作DE±CB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)。P與邊BC相切時(shí)，求。P的半徑.(2)連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的。Q與。P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng).所得的公共弦的長(zhǎng).n40【答案】(1)n40【答案】(1)R=—；(2)y=sinC=sinC=HPRC—10-R即可求解;—5^—《X2—8x+80；(3)50-10<5.3x+20【解析】【分析】3(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP±BC,cosC=5，則

(2)首先證明PDIIBE,則EBBFPDPF'4二x即：5xyx2—8x+80—y，即可求解;((2)首先證明PDIIBE,則EBBFPDPF'4二x即：5xyx2—8x+80—y，即可求解;連接HP,則連接HP,則UHP±BC,【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,cosC=5，則UsinC=5,HPRsinC= =- 40=5，解得：R=—；(2)在"BC40=5，解得：R=—；(2)在"BC中，AC=BC=10,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4、；5，則：tanZCAB=2,則UBH=ACsinC=8,BP=d82+(x-4)2=xx2-8x+80，DA=益至x,則BD=4<5-2^5x,5 5如下圖所示，PA=PD,「.ZPAD=ZCAB=ZCBA=0,

tan0=2tan0=2,則cosB=與,TOC\o"1-5"\h\zc.二2、5、 1 2EB=BDcos0=(4\；5———x)x與=4-5x,EB_BF

PD~PF「.EB_BF

PD~PF\o"CurrentDocument"即:4—5%=Jx2-8x+80-y,x y整理得:5x<x2-8x+80；整理得:\o"CurrentDocument"3x+20 '(3(3)以EP為直徑作圓Q如下圖所示，B兩個(gè)圓交于點(diǎn)G,則PG=PQ,即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D,GD為相交所得的公共弦，???點(diǎn)Q是弧GD的中點(diǎn)，「.DG±EP,丁AG是圓P的直徑，「.NGDA=90°,「.EPIIBD,由(2)知，PDIIBC,「.四邊形PDBE為平行四邊形，「.AG=EP=BD,「.AB=DB+AD=AG+AD=4j5,設(shè)圓的半徑為r,在AADG中，

AD=AD=2rcos0=~,,DG=-5,AG=2r,2r , 20裝+2r=八§,解得：2r=371，4r 」則：DG=—5=50-10<5,相交所得的公共弦的長(zhǎng)為50-105.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓知識(shí)的綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，其中(3),要關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫(huà)圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.13.如圖，AB是eO的直徑，DF切eO于點(diǎn)d,BF1DF于F,過(guò)點(diǎn)a作AC//BF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證：ZABC=NC；(2)設(shè)CA的延長(zhǎng)線交eO于E，BF交eO于G，若6G的度數(shù)等于60o，試簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱的理由.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)作輔助線，連接OD，由DF為。O的切線，可得ODLDF，又BF±DF,ACIIBF，所以O(shè)DIIAC，NODB=NC，由OB=OD得NABD=NODB，從而可證NABC=NC；(2)連接OG，OD，AD，由BFIIOD，GD=60°，可求證BG=GD=AD=60°，由平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出NOHD=90°，由垂徑定理便可得出結(jié)論.【詳解】(1)連接OD，丁DF為。O的切線，「.OD±DF.;BF±DF，ACIIBF，「.ODIIACIIBF.，NODB=NC.;OB=OD，，NABD=NODB.，NABC=NC.⑵連接OG,OD,AD,DE,DE交AB于H,「BFIIOD,「.NOBG=NAOD,NOGB=NDOG,「?Gd=Ad=BG.;Gd=60°,??BG=GD=A,D=60°,NABC=NC=NE=30°,丁OD//CENODE=NE=30°.在△ODH中，NODE=30°,NAOD=60°,NOHD=90°,AB±DE.??點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答.14.如圖，直角坐標(biāo)系中，直線丁=kx+b分別交x,y軸于點(diǎn)4-8,0),B(0,6),C(m,0)是射線AO上一動(dòng)點(diǎn)，OP過(guò)B,O,C三點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)D(B,D不重合).(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.(2)若點(diǎn)D在第一象限，且tanNODC=三，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【解析】【分析】(1)把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b求出k、b的值即可；(2)連結(jié)BC,作DE_LOC于點(diǎn)5E,根據(jù)圓周角定理可得NOBC=NODC,由tanNODC=可可求出0C的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AC的長(zhǎng)，利用NDAC的三角函數(shù)值可求出DE的長(zhǎng)，即可得D點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入直線AB解析式求出D點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得答案.【詳解】(1)/A(-8,0)、B(0,6)在丫=1^+13上，[Q=-Sk+b6=b'\3k— 解得~4,b=63直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=—x+6.4(2)連結(jié)BC,作DE_LOC于點(diǎn)E,,/ZBOC=90°,「?BC為。P的直徑，/.ZADC=90°,5,/ZOBC=ZODC,tanzODC=-3,OC5OB-35OB=6,OA=8,OB3OB3~AB=5，…OAcoszDAC=——=-,sinzDAC=AB5472AD=ACcosZDAC=18x—=——5 5'

723216DE=AD-sinzDAC=—義一二——,5