數值計算方法習題答案(第二版)(緒論)

數值計算方習題答案(第二版)(論4試證：對任給初值的牛頓迭代公式xk1,2,......(xkk),k0,1恒成立下列關系式：證明：1k(xk2,kk1,2,......xka（1）xkxk2xk2（2取初值，顯然有，對任意k0，1aaaaxkxkxkxk2xk6證明：若xk有n有效數字，則xk82

1101n，2xkx而xkkk2xk2.512n1xk1012n22.52xk有2n位有效數字。8解：此題的相對誤差限通常有兩種解①根據本章中所給出的定理：（設的近似數x可表示為x10，如果具有l(wèi)位有效數字，則其相對誤差限為xx*x*1l，其中a1為x*中第一個非零數）

則x12.7，有兩位有效數字，相對誤差限為x111x122x22.71，有兩位有效數字，相對誤差限為x211x222x3，有兩位有效數字，其相對誤差限為：x33x32第二種方法直接根據相對誤差限的定義式求解2.7，x10.0183

對于x1x1其相對誤差限為0.00678同理對于，有x20.003063x22.71對于，有x30.00012備注）兩種方法均可得出相對誤差限，但第一種是對于

所有具有n位有效數字的近似數都成立的正確結論他對誤差限的估計偏大但計算略簡單些而第二種方法給出較好的誤差限估計，但計算稍復雜。（）采用第二種方法時，分子為絕對誤差限，不是單純的對真實值與近似值差值的四舍五入對誤差限大于或等于真實值與近似值的差。11.解:，3.***-*****.......71132212，具有3位有效數字7225516，具有7位有效數字解：有四舍五入法取準確值前幾位得到的近似值，必有幾位有效數字。令所對應的真實值分別為x1,x2,x3，則101l=10212*＜10/2.72＜251l*

②Ox2-x2O15*＜＜241l*③＜1014*＜＜2①Ox1-x1O12.解：⑴－=12x1x(1x)sin2x2x⑵1-cosx==2sinxnx2xnx2⑶1≈1+x++…+-1=x++

2!n!2!n!x13.解：⑴x=xx2/x11xxxx⑵xx1=arctan(x21t設，則b)tan(1tanax(x1)x1)-arctanx=11x(x

⑶ln(xx2x2=ln1ln(xx21)=-ln(xx2習題一（頁）證明：利用余項表達式（11頁f(x)為次數≤n的多項式時，由于fn于是有－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表明其n次插值多項式Pn(x)就是它自身9.證明：由第5題知，對于次的多項式，次插值多項式就是其自身。于是對于f(x)=1，有即則11.分析：f(n)由于拉格朗日插值的誤差估計式為f(x)－（nnf(n)誤差主要來源于兩部分和(xxk)。（n0n

(xx)kkn對于同一函數討論其誤差，主要與(xx)有關。kk在（）中計算的積分值，若用二次插值，需取三個節(jié)點，由于在，2兩個節(jié)點之間，所以應選1，為節(jié)點，在剩下的兩個點中，與0.472更靠近，所以此題應x0,x1,x2為點來構造插值多項式。(xx2)(x(x0x1)(x0x0)(x1(xx0)y20.***-*****(x2x1)(x215.證明：由拉格朗日插值余項公式有

1f2(f(x)－p(x)頡堋堞xx1)maxf(x)x)kx0x(x1x0)2=(x1xx0)2=2(x1x)(xx0)+(x1x)2+(x≥4(x1x)(xx0)(x1maxf2(x)f(x)p(x)頡x0xx1820.證明：當，F(x0,x1)=F(x1)F(x0)f(x1)f(x0)=C=Cf(x0,x1)x1假設當n=k時結論成立有F(x0,...,xk)=；；那么當時，xk1)f(x0,...,xk)1)xk

證明完畢類似的方式可證明第一個結論）21.解：由定理（頁）可知：f(n)()其中[minxi,maxxi]n當nk時，f(n)(x)=xk(n)；=k!當n=k時，f(n)(x)=xkf(x0,x1,...,xn)=當nk時當nk時13.解：由題意知，給定插值點為由線性插值公式知線性插值函數為x0.34xx10.*****y0+y1=x1當x=0.3367時，

sin0.3367其截斷誤差為R1(x)頡

M2(xx1)潁其中M2=maxf2(x)x0xx12，f2(x)=-sin(x)，M2=sin0.34頡于是頡若二次插值，則得15×0.*****×0.0167×0.0033≤0.92×102(xx2)(xx1)(x(x1x0)(x1x0)(x2x1)(x0sin0.3367≈0.*****其截斷誤差為M3(xx1（x2)6x0xx2其中M3=maxf(x)=maxcosx=cos0.320.950x0xx2于是R2(0.3367)頡16×0.950×0.0167×0.0033×0.02330.204×106

：差商表為―――――――――――――――――――――――――――――――xif(x)一階差商二階差商三階差商四階差商五

階

差商―――――――――――――――――――――――――――――――13154833112015100由差商形式的牛頓插值公式，有P(x)=f(x0)＋f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)＋f(x0,x1,x2,x3)(xx1)(xx2)=-3＋1)＋6(x1)(x＋(x1)(x2)(x3)：解：由于P(0)P(1)P1(1)，則設P(x)1)2由P(2)則C所以P(x)121x(x1)2224.解：

由于P(0)0,P(1)3可設P(x)xCx(x2)(x由P1(2)得C2，有：所以P(x)x121x(x2)(x．解：由泰勒公式有f“(x0)f3()2f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xf"(x0)(xx0)3設P(x)f(x0)f(x0)(xx0)其滿足Pj(x0)fj(x0)，其j0,1,2由P(x1)，得(x1x0)2(xx0)

代入(式既可得P(x).'"33.解：于S(x)故在x1處有S(1),S(1),S(1)連續(xù)，即：bc1解得：c1bc3、解：首先確定求解過程中涉及到的一些參數值。x01,x11,x33h01,h2h0h111h111123d06

hf(x0,x1)02d16f(xf(xk)k20(xkxj)jj0kd26f(x1,x2,x3)2h302于是得到關于的方程組：21M0222M1M12M23122741271201

M014M14M22M31解方程求出M0,M1,M2,M3，代入對角方程)M024M7201M追趕法）21M230(xi1x)3(xxi)3xi1xhi2xxihi2S(x)MiMi1(fiMi)(fi1Mi1)6hi6hihi6hi6即得滿足題目要求的三次樣條函數3x32x2x1x1,0S(x)x32x2x1x0,11x37x219x1x1,24444習題二：判斷此類題目，直接利用代數精度的定義當左=右=1dxx01110

1111，左=右1x2當f(x)x時，左=x右12，左=右311111當f(x)x時，左=x0303右()1，左=右43431

當f(x)x時，左=x0404右()1，左右所以求積公式的代數精度為2.解：⑴求積公式中含有三個待定參數，即：因此令求積公式對f(x)均準確成立，則有2A0hA2h2232AhAh3解得：所求公式至少有次代數精度。由于當f(x)x3時，左右(h)3A20當f(x)x4時，左

25h44右A2hh左所以求積公式只有次代數精度。⑵、⑶類似方法得出結論。解：因要求構造的求積公式是插值型的其求積系數可表示為l0(x)411dx(4x0x0x*****xx01dx(4x1)dx02x1x02l1(x)故求積公式為：1113f(x)dxf()f()

244下面驗證其代數精度：當f(x)，左x0右1當f(x)時，左x2右2213x15右左當f(x)，左所以其代數精度為。證明：⑴若求積公式⑷對f(x)和g(x)準確成立，有bf(x)Akf(xk)及g(x)Akg(xk)kk

nbnaf(x)dxAkf(xk)Ak(f(xk)g(xk))kkknnnbbb所以求積公式對f(x)g(x)亦確成立。⑵k多項式可表示為akxk1xka1xa0pk(x)若公式對xk(k是準確的，則有7題中的上一步可知，其對成立。由代數精度定義可知，其至少具有m代數精度。12.解：4112T0(f(1)2(1)

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