構(gòu)造法證明對數(shù)不等式

nn構(gòu)造法證明數(shù)不等式函數(shù)，貫穿整個中數(shù)學(xué)的根主線，因它一直是高考重點(diǎn)察的對象與容。對數(shù)函與導(dǎo)數(shù)作為中等數(shù)與高等學(xué)的銜接點(diǎn)因此，高考中在對數(shù)函數(shù)用導(dǎo)數(shù)為工具來處的題型就成了表現(xiàn)數(shù)問題熱點(diǎn)題。不等式數(shù)學(xué)的一個要內(nèi)容它始終貫穿整個高數(shù)學(xué)當(dāng)中，一開始的集，函數(shù)的定域、值、單調(diào)性的定，到體幾何、解幾何中值問題無一不是與等式有緊密的聯(lián)系許多的題最終都可歸結(jié)為等式的解與證明。別是在年來，不等中去掉“無理不等、指數(shù)等式、數(shù)不等式的法”等容后，這些對數(shù)相的不等式問與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對值、參數(shù)內(nèi)容又成為新的亮。以下對數(shù)與不等相結(jié)合問題的例。例1已知函f(x)x(x⑴求證f(x)(x0)⑵求證

2ln3ln4ln35n(nN)236

。分析：題⑴屬于常題型，用函數(shù)的導(dǎo)與最值系即可得證要證明問題，首先要構(gòu)出不等的左邊中的系列的

ln3lnln3,,243n

n

，聯(lián)想到題⑴中已有的結(jié)f(x，結(jié)論變形為lnx，即ln，因此，要造xx

ln3lnln3,,243n

n

，只需在

ln中的xx依次取23……、3n即可得依次累，得

ln21ln3ln31、……、，233332ln3ln323n

n

12

111)233111比較兩，需證23n

即可以下可數(shù)學(xué)納法完成。證明：設(shè)()f(xlnx，則第頁共頁

g

11xx`()g(x

↗

10極大值

(1,-↘(x)(1)

即lnxln10因此，x也就是fx)(xln1⑵由⑴，，依取x,3xxlnln1ln31，，…，2233nn依次累，得

，得2ln3ln3n23n

12

n

(1

1)2311n比較兩，需證1即可以下用數(shù)學(xué)納法給23n6證明。111511當(dāng)時，邊，右邊26即左邊右成立1115假設(shè)當(dāng)nk時，不等式1233k6

成立當(dāng)時，1111左邊23363kk51111))63kk3

3

k

111))3由(

k

13k3)kk)(3

k(2

所以，式可變成第頁共頁

nn左邊

5kkk56

顯然，k時，

11，所以46k1左邊61因此，123n

對任意n

成立，2ln3ln4ln35n(nN236

)

成立。例2已知函f(⑴求實(shí)a、的；

2

x)bx取得極值111n⑵證明任意的整數(shù)不式23n2

都成立分析：題⑴屬于常題型，用函數(shù)的導(dǎo)與極值系即可得證n問題⑵屬于含有對的不等，圍繞lnln2，21由于在中含有l(wèi)n(項(xiàng)，因取x，則n1ln(1)lnnn至此可慮用累加[ln(][lnnn[ln2]n則以下得。解：⑴`()

1

x

x時(x取得，所以，`(0)f(0)0

解得a0⑵由⑴，fx

2

x的定義域?yàn)樗詅x

xxf`(

(-

00

f(x

↘極小值↗因此，f(0)為f(x)在其定義域上最小值有(xf第頁共頁

222222又f(0)，即x

2

（且僅當(dāng)0時，等號立）1對任意整數(shù)n，取x0，得n11ln(nlnnn2n又因所以

1(nn(n21nn(1即n，因，有n112][ln4ln[ln(nn]2nln(n2ln

n2例3已知數(shù)(在每一點(diǎn)處均導(dǎo)的函，xf)(x)在恒成立⑴求證函數(shù)gx)

f(x)

在(0,是增數(shù)；⑵當(dāng)x，時，證明：(x)()f(x)2121⑶已知等式)x在xx時恒成立求證：111223ln4ln(n234(nnn2)

(nN

*

)分析：題⑴要證明調(diào)性，般從定義或數(shù)出發(fā)由于條件中導(dǎo)數(shù)作已知件，因此，從導(dǎo)數(shù)手；問題⑵見為凸數(shù)的證明；題⑶中于需要明的結(jié)論中

1123ln4224(

2

ln(

2

，故需要它們構(gòu)造來，因此，造函數(shù)f(x)lnx，此時，函數(shù)()

f(x)

在(0,是單調(diào)函數(shù)，由問⑵，結(jié)數(shù)學(xué)歸納法有當(dāng)xi

i

,n)

時，有f(x)f(f()1

f(x(n12

nn

恒成立對函數(shù)f(xxln，使上結(jié)論有第頁共頁

22211111222221111122f()fxf(x(x=lnxxxx1n123f(x=(xxxln(xx)1n3n2n所以，

lnlnxxxxx)ln(x)232n1令xn

1(n

2

，則x)f(xf()f(x123n=

11111lnlnln222234(2(n

2=

11112ln3lnn224(2

2

]至此，構(gòu)造出所需結(jié)論，下易得。f(x)fx)()證明：由g(x，對()求導(dǎo)得`(x)

，由已`(xf()可得`()在恒成立所以函數(shù)x上是增數(shù)。

f(x)

在(0,⑵由⑴函數(shù)gx)

f(x)

在(0,是單增函數(shù)當(dāng)0,x時有f()f(x)f()f(x)x且x因2，2xx112

，于是()1f(x)，f()1

21

2

f(x)12兩式相得：()(x)f(x)2⑶由⑵，函數(shù)x)

f(x)

在是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x0,0，有(x)f()f(x)恒成立。2由數(shù)學(xué)納法知，當(dāng)xi

i

)

時，有f(x)f(f()1

f(x(n12

nn

恒成立設(shè)f(x)xlnx則g(x)第頁共頁

f(x)

x在(0,是單調(diào)函數(shù)，因此在

n1n23n1n23xi

i

)

時，有xxx)x)1123n312nn2)(*)

恒成立令xn又n

111，記x(n2(n112(n

2Sn

1111123(n(xx))1323nx)ln(123n

1)(x)nn

111()n2nnn

(**)將(**)入*)中可得：111lnlnln223322(n(2(n

(N

*

)即

111223ln4ln(n234(nnn2)

(nN*)使用構(gòu)法來處理數(shù)中較為雜的問題是種常用、有效的思、方法技巧在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史河中有很多名的難題都這樣的程完的，比如，在對費(fèi)Fermat)大理1637年馬古臘學(xué)丟圖Diophantus)《術(shù)第卷于程

x

2z2

的數(shù)的究命8旁邊白處拉文下段有史義批將一正數(shù)立表兩正數(shù)的方；一正數(shù)四方為個正數(shù)四方或一地將一正數(shù)高二的表兩正數(shù)的一冪和這不能。此我到一真奇的明但頁空白小無把寫式子表這話是方x

ny

,

n

沒正數(shù)

(yz

這結(jié)就費(fèi)大第頁共頁

定長達(dá)年的證過程中就是經(jīng)過歐、狄里萊、索菲