高中數(shù)學(xué)第5章推理與證明章末小結(jié)講義含解析湘教版選修12

第5推與明1．兩種合情推理(1)歸納推理：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，步驟如下：①通過(guò)觀察個(gè)別對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②由相同性質(zhì)猜想一般性命題．(2)類比推理：類比推理是由特殊到特殊的推理，步驟如下：①找出兩類對(duì)象之間的相似性或一致性；②由一類對(duì)象的性質(zhì)去猜測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題．2．演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理，一般模式為三段論．演繹推理只要前提正確推的式正確那推理所得的結(jié)論就一定正確意錯(cuò)誤的前提和推理形式會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．3．直接證明——綜合法和分析(1)綜合法是“由因?qū)Ч保匆阎獥l件出發(fā)，利用定理、定義、公理和運(yùn)算法則證明結(jié)論．(2)分析法是“執(zhí)果索因”結(jié)論逆向轉(zhuǎn)化一已證的命(已知條件或定義、公理、定理、公式等．注意：①分析法是從結(jié)論出發(fā)，但不可將結(jié)論當(dāng)作條件．②在證明過(guò)程中，“只要證”“即證”等詞語(yǔ)不能省略．4．間接證明——反證法反證法證題的步驟為：反設(shè)－歸謬－結(jié)論，即通過(guò)否定結(jié)論，得出矛盾來(lái)證明命題．注意：反證法的關(guān)鍵是將否定后的結(jié)論當(dāng)條件使用．[例1]給下面的數(shù)表序列：表1

表134

歸納推理表…1354812其中表nn＝1,2,3，有行第1行個(gè)是1,3,5，…2－，第2行，1

nn每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．寫出表，驗(yàn)證表4各行的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表(≥3)(不要求證明．[解]表4為13574812122032它的第1,2,3,4行的數(shù)的平均分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，比為2的等比數(shù)列．將這一結(jié)論推廣到表(≥3)，即表n(各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為2的比數(shù)列．簡(jiǎn)單的歸納猜想問(wèn)題通過(guò)觀察所給的數(shù)表、數(shù)陣或等式、不等式即可得到一般性結(jié)論，較復(fù)雜的問(wèn)題需將已知轉(zhuǎn)換為同一形式才易于尋找規(guī)律．[例2]蜜被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形如為一組蜂巢的截面圖其中第一個(gè)圖有蜂巢第二個(gè)圖有7個(gè)巢第個(gè)圖有個(gè)蜂，按此規(guī)律，以(n表示第n個(gè)的蜂巢總數(shù)．則(4)________，f()＝________.[解析]因f(1)＝1，(2)＝＋6，f(3)＝19＝＋＋，以(4)＝＋6＋1218＝，以fn)＝＋＋＋＋…＋－1)＝n－＋1.[答案]373

－＋1解答此類題目時(shí)需要細(xì)心觀察形尋找每一項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)．本題注意從圖形中抽象出等差數(shù)列．1．圖1是個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖，圖是這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個(gè)疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是.解析：分別觀察正方體的個(gè)數(shù)為1,15,1＋＋，…歸納可知，第n個(gè)疊放圖形中共n層構(gòu)成了以1為項(xiàng)，以4為公的等差數(shù)列，所以＝＋[n－1)×4]÷22－，所以＝2×77＝91.答案：2

ADABADBD·BCDCBC·＝＝＋.ADAB.AEABACADAEAB.AFAC.ADABADBD·BCDCBC·＝＝＋.ADAB.AEABACADAEAB.AFAC.2.如圖，給出了3層的六邊形圖中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為28，按其規(guī)律再畫下去，可得n(∈)層六邊形，試寫出S表達(dá)式．n解：設(shè)每層除去最上面的一個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)為，則是5為項(xiàng)，為公的等差數(shù)列，則＝＋＋＋＝n

n[5＋＋

2

－

＋＝＋3n＋n∈).類比推理[例3]在ABC中，⊥，⊥于.求證：

11＝＋

1，那么在四面體中類比上述論據(jù)，你能得到怎樣的猜想，AC并說(shuō)明理由．[證明]如圖所示，由射影定理，AD＝·，

＝·，＝BCDC∴

11＝＝＝.∵＝AB＋，∴

1AB＋11ADAB·ABAC∴

11＝＋

1AC猜想：類比⊥，⊥，猜想四面體中，AB，，兩兩垂直，AE平面BCD，則

11＝＋

11＋.證明上述猜想成立．如右圖所示，連接BE交于，連接AF∵⊥，⊥AD∴⊥平面ACD而平面ACD，∴⊥.在eq\o\ac(△,Rt)ABF中，AE⊥BF∴

11＝＋

1AF在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AF⊥CD∴

11＝＋

1AD

3

AEABACADaaba1111aabAEABACADaaba1111aab∴

11＝＋

11＋.故猜想正確．(1)類比是以舊知識(shí)作基礎(chǔ)，推新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能．(2)類比推理的常見情形有：平與空間類比；向量與數(shù)類比；不等與相等類比等．3．若數(shù)列}為等差數(shù)列S為前n項(xiàng)，則有性質(zhì)“若S＝(m，∈nm

且≠)，則S”類比上述性質(zhì)，相地，當(dāng)數(shù)列{}為比數(shù)列時(shí)，寫出一個(gè)正確性質(zhì)：n_________________________.答案：數(shù)列b}為等比數(shù)列，T表示前m項(xiàng)的，若T＝，，∈，≠n)，則mmT＝n14在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C＝90°＝bBC＝則的外接圓半徑為r＝2把上述結(jié)論類比到空間，寫出相似的結(jié)論．解：取空間中三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體BCD且AB＝，＝，ADc，

a＋，1則此四面體的外接球的半徑為＝2

a＋＋.綜合法和分析法111[例4]設(shè)＞，＞，＋b＝1，求證：＋＋≥8.aab[證明]法：綜法∵＞，＞0，a＋＝，111∴＝＋≥2ab，ab，ab≤，∴≥4.24111又＋＝(＋)＋≥4∴＋＋≥8＝b＝時(shí)號(hào)立a2法二：分法111∵＞，＞0，a＋＝，要證＋＋≥8，a1a＋b只要證≥8，

.4

1111aaaab11111aaaab1a－a－只要證

≥8，11即證＋≥4.a＋＋也就是證＋≥4.b即證＋≥2.由基本不等式可知，當(dāng)a＞，＞0時(shí)，≥2當(dāng)a＝＝時(shí)號(hào)成a2

成立，所以原不等式成立．綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，但兩種證明方法思路截然相反析既可用于尋找解題思可是完整的證明過(guò)程析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換，相互滲透充利用這一辯證關(guān)在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運(yùn)用，轉(zhuǎn)換解題思路，增加解題途徑．5．已知函數(shù)fx)＝(－1)(a，≠1)．(1)證明：函數(shù)f(的圖象在一側(cè)；(2)設(shè)(，)(，)(x<x)是圖象上的兩點(diǎn)，證明直線AB的率大于零．證明：(1)由a－1>0，得a>1.①當(dāng)>1，，函數(shù)圖象在y軸側(cè)；②當(dāng)0<<1時(shí)，x，數(shù)圖象y軸側(cè)．故函數(shù)圖象總在y軸一．y(2)由于k＝，又由x<，x故只需證y－>0即．因?yàn)椋絣og

－1)－log(－1)＝log

a

－.－①當(dāng)>1，由0<xx，得a

<，即0<－1<a－a－－故有>1，log>0，ax5

a－a－即－>0.②當(dāng)0<<1時(shí)，由<，得

>

>>1.即

－－a－故有0<<1，－a∴－＝log

－>0，即y－>0.綜上，直線的率總大于零反

證法πππ[例5]已a(bǔ)，均為實(shí)數(shù)，且＝x－y＋，＝y(tǒng)－＋，＝－＋，236求證：，，c中至少有一個(gè)大于0.[證明]假a，，都大于0，即≤0≤0，≤0得a＋b＋≤0而＋＋＝x－1)＋y－＋－1)π－3≥π－3>0與＋＋≤0矛盾，故假設(shè)不成立．∴，，c至少有一個(gè)大于0.(1)用反證法證題時(shí)，先假設(shè)原題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命