11凸凹反轉(zhuǎn)-高考數(shù)學(xué)精創(chuàng)資料

第3講：凸凹反轉(zhuǎn)一．基本原理凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.通常情況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來完成證明.于是，這就需要我們熟悉高中階段常見的六個具有這樣特點的函數(shù).（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）其次，凸凹反轉(zhuǎn)也是命制一些零點問題的一種視角，若方程有唯一根，且可進一步轉(zhuǎn)化為，而為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)，這樣唯一的零點就會出現(xiàn)在一個函數(shù)的最低點和另一個函數(shù)的最高點！做好這類題目的關(guān)鍵是熟悉下面一個函數(shù)的性質(zhì)：1.指數(shù)型函數(shù)：假設(shè)且.（1）.為偶函數(shù)（2）.為奇函數(shù)（3）.為奇函數(shù)（4）.可轉(zhuǎn)化為（2）或（3）2.對數(shù)型函數(shù)：假設(shè)且.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（1）.都是奇函數(shù).（2）.是奇函數(shù).（3）.(且)是偶函數(shù).二．典例分析類型1.凸凹反轉(zhuǎn)解決零點問題例1．已知函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)A的值為（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4解析：∵∴，又，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又函數(shù)有且只有一個零點，∴函數(shù)的零點為2，∴

，即，∴

,∴

.故選：C.練習(xí)1.若函數(shù)有唯一的零點，則實數(shù)_______解析：因為，所以所以即函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故函數(shù)的圖象與軸的交點也關(guān)于對稱，又因為函數(shù)有唯一零點，故根據(jù)函數(shù)的對稱性可知，只能交在，0），即（2），所以．故答案為：.類型2.凸凹反轉(zhuǎn)解決零點問題（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）例如在上面六個函數(shù)中，我們可以選取凸函數(shù)，求導(dǎo)可得：，故可得在上減，上增，于是.再考慮凹函數(shù)，則，故在處取得最大值，即.這樣可得，即，將這個不等式包裝一下就得到了下面這道2013年高考真題.例2.（2013全國卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線為．（1）求；（2）證明：．解析：（2），從而等價于．設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時，；如下圖所示.當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為（1）；因為（1），所以當(dāng)時，，即．練習(xí)2.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，證明：在上恒成立．解析：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在處取得極大值（2），無極小值；（2）當(dāng)時，，下面證，即證，設(shè)，則，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以，設(shè)，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立．最后給出一道利用凸凹反轉(zhuǎn)命制的原創(chuàng)題目，讀者可進一步體會這列問題的處理思想！在整理函數(shù)(且)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)這是一個定義域為上的偶函數(shù)，自然有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時，.于是，便想利用凸凹反轉(zhuǎn)的思想命制一道含參數(shù)的恒成立問題.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）取函數(shù)，根據(jù)上述分析，的對稱軸為，且.再取函數(shù)，顯然，故可得：恒成立.進一步整理：換個馬甲，一道恒成立問題求參數(shù)題就出來了！例3.已知函數(shù)，求的取值范圍.如上圖，凸凹反轉(zhuǎn)的基本原理，這個題目來考察高一還是有點邪惡！如果不熟悉這個對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)怕是很難做出來吧！讀者可以嘗試有沒有其他的方法.習(xí)題3.已知函數(shù)，且，恒成立，求的取值范圍.解析：方法同上，過程略！習(xí)題演練習(xí)題1.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值；（2）證明：.提示：欲證成立，只需證xlnx＋eq\f(2,e)>eq\f(x,ex)(x>0)成立，如下圖所示