優(yōu)選教案：人教B版高中數(shù)學必修第四冊10.1.2 復數(shù)的幾何意義

10.1.2復數(shù)的幾何意義本節(jié)課要學的內(nèi)容包括復數(shù)與點的對應關系、復數(shù)與向量的對應關系。其核心內(nèi)容是復數(shù)的向量表示。類比實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，把復數(shù)在直角坐標系中表示出來，就得到了復數(shù)的幾何表示，又類比原來學習過點與平面向量的對應關系，就可以得到復數(shù)的向量表示。用復平面內(nèi)的點或平面向量表示復數(shù)，不僅使抽象的復數(shù)有了直觀形象的表示，而且也使數(shù)和形得到了有機的結合。要掌握本節(jié)課的知識點，關鍵就是要能夠將實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系類比到復數(shù)與復平面中的點的對應關系。數(shù)形結合是本節(jié)的主要數(shù)學思想，理解復數(shù)的幾何意義，圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性，簡捷巧妙的解題。能根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量。本節(jié)課的教學重點是復數(shù)的向量表示，解決重點的關鍵是能將復平面內(nèi)與復數(shù)對應的點先找出來，再利用點和向量的對應關系找出向量即可?？键c 學習目標核心素養(yǎng)復數(shù)的幾何意義掌握復平面的定義，能根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量數(shù)形結合復數(shù)的模掌握復數(shù)模的幾何意義及計算公式數(shù)形集合、數(shù)形運算共軛復數(shù)掌握共軛復數(shù)的定義以及幾何意義數(shù)學抽象、數(shù)形結合【教學重點】復數(shù)與直角坐標系中的點及平面向量之間的一一對應關系，復數(shù)的模、共軛復數(shù)等概念.【教學難點】復數(shù)的幾何意義的理解.【提出問題】我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”．這說明了我們研究問題時要學會從代數(shù)和幾何兩個方面考慮問題。我們知道，z=a+bi（a，b∈R）這種代數(shù)形式表示復數(shù)。那么，從幾何的角度怎樣表示復數(shù)呢？【解決問題】根據(jù)復數(shù)相等的定義，復數(shù)z=a+bi被一個有序實數(shù)對（a，b）所唯一確定，而每一個有序實數(shù)對（a，b），在平面直角坐標系中又唯一確定一點Z（a，b）（或一個向量OZ）。這就是說每一個復數(shù)對應著平面直角坐標系中唯一的一個點（或一個向量）；反過來平面直角坐標系中每一個點（或每一個向量），也對應著唯一的一個有序實數(shù)對.【獲得新知】這樣我們通過有序實數(shù)對，可以建立復數(shù)z=a+bi和點Z（a，b）（或向量OZ）之間的一一對應關系。點Z（a，b）或向量OZ是復數(shù)z的幾何表示（如圖）。復數(shù)z=a+bi一一對應有序實數(shù)對（a，b）一一對應點Z（a，b）一一對應向量OZ知識點1：復平面建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面。在復平面內(nèi)x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。x軸的單位是1，y軸的單位是i.實軸與虛軸的交點叫做原點，原點（0，0）對應復數(shù)0。注：①實軸上的點都表示實數(shù)。②除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。③任意一個實數(shù)a與x軸上的點（a，0）一一對應，任意一個純虛數(shù)bi（b≠0）與y軸上的點（0，b）一一對應.知識點2：復數(shù)的模設復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）對應的向量為OZ，則向量OZ的長度叫做復數(shù)a+bi的模（或絕對值），記作|a+bi|，如果b=0，則|a+bi|=|a|，這表明復數(shù)絕對值是實數(shù)絕對值概念的推廣。由向量長度的計算公式，|a+bi|=a2知識點3：共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。復數(shù)z的共軛復數(shù)z表示。當z=a+bi時，則z=a-bi。當復數(shù)z=a+bi的虛部b=0時有z=z。也就是說，任意實數(shù)的共軛復數(shù)仍是它本身。注：在復平面內(nèi)表示兩個共軛復數(shù)的點，關于實軸對稱，并且他們的模相等例1.設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，對應的向量為,復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，對應的向量為，已知，關于虛軸對稱，求，并判斷和的大小關系.解：由題意可知，又因為，關于虛軸對稱，所以從而有，因此又因為所以：例2．已知復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限，求實數(shù)允許的取值范圍．解：由得數(shù)形結合思想［變式一］已知復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在直線上，求實數(shù)的值．解：∵在復平面內(nèi)的點是∴，∴或．［變式二］證明對一切，此復數(shù)所對應的點不可能位于第四象限．證明：若復數(shù)所對應的點位于第四象限則即∵不等式解集為空集∴復數(shù)所對應的點不可能位于第四象限．例3.若復數(shù)z1＝(x－3)＋(x+2y+1)i與z2＝2y＋(x+y+2)i(x，y∈R)互為共軛復數(shù)，求x與y.解：z2＝2y＋(x+y+2)i(x，y∈R)的共軛復數(shù)z2＝2y-(x+y+2)i(x，y∈根據(jù)復數(shù)相等的定義，得

x-3=2解這個方程組，得x=例4.設復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z，說明當z分別滿足下列條件時，點Z組成的集合是什么圖形，并作圖表示.（1）（2）解：（1）由可知向量的長度等于2，即點Z到原點的距離始終等于2，因此，點Z組成的集合是圓心在原點，半徑為2的圓，如圖所示.(2)不等式組等價于又因為滿足的點Z的集合，是圓心在原點，半徑為3的圓及其內(nèi)部，而滿足的點Z的集合，是圓心在原點，半徑為1的圓的外部，所以滿足條件的點Z組成的