用消元法解下列方程組的過(guò)程

關(guān)于用消元法解下列方程組的過(guò)程第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:①②③2②③③2①④3①②2第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

1.上述解方程組的方法稱為消元法．

2.始終把方程組看作一個(gè)整體變形,用到如下三種變換:(2)其中c為任意常數(shù).或歸納以上過(guò)程:(3)一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍:(2)以不等于0的數(shù)k乘某個(gè)方程:(1)交換方程次序:

i

與j

相互替換;以i

k替換i;以i+kj

替換i.第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.3.上述三種變換都是可逆的.因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中,未知量并未參與本質(zhì)性運(yùn)算,僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算.第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.二、矩陣的初等變換定義1:

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對(duì)調(diào)兩行(對(duì)調(diào)i,j

兩行,記作rirj);(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作rik

);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i

行上去,記作ri+krj).同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.rirj的逆變換為rj

ri;rik的逆變換為ri(1/k),或rik;ri+krj的逆變換為ri+(–k)rj,或ri–krj.定義3:如果矩陣A可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B行等價(jià).記作AB.(2)

如果矩陣A可經(jīng)過(guò)有限次初等列變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B列等價(jià).記作AB.(3)

如果矩陣A可經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B等價(jià).記作AB.rc第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二具有以下三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系:(1)自反性:AA;(2)對(duì)稱性:若AB,則BA;(3)傳遞性:若AB,且BC,則AC.矩陣的(行、列)等價(jià)滿足等價(jià)關(guān)系的定義.第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二§12.6.2矩陣的秩定義:

在mn矩陣A中任取k行k列(km,kn),位于這k行k列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.mn矩陣A的k階子式共有定義:

若在矩陣A中有一個(gè)r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式,稱數(shù)r為矩陣A的秩,記作R(A).第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二規(guī)定零矩陣的秩為零.

mn矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).

對(duì)于AT,顯然有:R(AT)=R(A).解:在矩陣A中例1:求矩陣A=的秩.又由于矩陣A的3階子式只有|

A

|,且|

A

|

=

0.所以,R(A)=2.第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2:求矩陣A=的秩.解:因?yàn)橛?jì)算A的3階子式.所以,R(A)=2.第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理:初等變換不改變矩陣的秩另解:用初等變換將A化為行階梯形矩陣:顯然,非零行的行數(shù)為2.所以,R(A)=2.特點(diǎn)(1).

可劃出一條階梯線,線的下方全為零;特點(diǎn)(2).每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線上的第一個(gè)元素為非零元,即非零行的階梯線上的第一個(gè)元素為非零元.行階梯矩陣第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3:求矩陣A=的秩.解:用初等行變換將A化為行階梯矩陣:Ar1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4r3由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知:R(A)=3.第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二r1r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1例4:第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2–r3r1–r3r1–r2第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

注意:

行最簡(jiǎn)形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣(方程組)唯一確定的.行階梯矩陣B6還稱為行最簡(jiǎn)形矩陣,即非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)列初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形.B6c3c4c4+c1+c2對(duì)任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣.第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形.特點(diǎn):

標(biāo)準(zhǔn)形F的左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素全為零.所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合,稱為一個(gè)等價(jià)類,標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.任一個(gè)矩陣Amn總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì):自反性,對(duì)稱性,傳遞性.三、小結(jié)(1)rirj(cicj);(2)rik(cik);(3)ri+krj(ci+kcj).2.A初等變換B

AB.第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二思考題已知四元齊次方程組元齊次方程組(2)的通解為:及另一四問(wèn):