相似三角形模型專題(精品)

相似三角形模型專題(精品)第一頁，共72頁。相似三角形專題復(fù)習(xí)（經(jīng)典）第二頁，共72頁。

△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/與△ABC的相似比為_________.1.相似三角形的定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。一.相似三角形知識要點第三頁，共72頁。兩個相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形周長的比等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形的傳遞性。3.相似三角形的性質(zhì)：第四頁，共72頁。4.相似三角形的判定：①如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．第五頁，共72頁。②如果一個三角形的兩條邊分別與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．第六頁，共72頁。③如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．第七頁，共72頁。已知：在△ABC中，DE∥BC，點F是線段DE上一點，連接AF并延長與BC相交于點G.求證：DF·GC=FE·BG例1.第八頁，共72頁。相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）第九頁，共72頁。MN

例2.若G為BC中點,EG交AB于點F,且EF:FG=2:3,試求AF:FB的值.添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。DEHGFEGFMN12第十頁，共72頁。若G為BC中點,EG交AB于點F,且EF:FG=2:3,試求AF:FB的值.添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。EGFEGFMN第十一頁，共72頁。1、如圖，點D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長︰△ABC的周長＝

。

ABCDE1:32.右圖中,若D,E分別是AB,AC邊上的中點,且DE=4則BC=＿＿＿＿83.右圖中,DE∥BC，S△ADE:S四邊形DBCE=1:8,則AE:AC=＿＿＿＿＿1:3課堂訓(xùn)練:第十二頁，共72頁。EBDC4.在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一動點,且∠ADE=∠B,設(shè)AD=x,AE=y,寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.試確定x的取值范圍.A解:∵∠A=∠A∵∠ADE=∠B∴△ADE∽△ABC()∴AD:AB=AE:AC∴x:5=y:4∴y=0.8x(0＜x≤4)第十三頁，共72頁。ABCDEF5.如圖：DE∥BC，EF∥AB,AE：EC=2：3，S△ABC=25，求S四邊形BDEF解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADES△ABC＝AEAC（）2＝425∵S△ABC=25∴S△ADE＝4∵AE：EC=2:3∴AE:AC=2:5第十四頁，共72頁。6.過?ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和E，求證：AE：ED=2AF：FB。CABFDEG第十五頁，共72頁。7.已知：AB∥CD,連接AD,CB相交于點E.過E點作EF平行于線段AB，與線段AC相交于點F。求：的值。第十六頁，共72頁。相似三角形判定的基本模型二

（平行）（不平行）8字型反8字型（蝴蝶型）

第十七頁，共72頁。例1.已知?ABCD，連結(jié)對角線BD，E.

F是邊BC的三等分點，連結(jié)AE、AF，與BD分別交于點G、H，則BG:GH:HD的值為_________.

5:3:12第十八頁，共72頁。EFBGDCA練1.如圖，ABCD中，G是BC延長線上一點，AG交BD于E，與DC交于點F，則圖中相似三角形共有______對。（全等除外）5第十九頁，共72頁。AEBFDC練2.如圖在ABCD中，E是BC上一點，BE：EC=1：2，AE與BD相交于F，則BF：FD=_______，S△ADF:

S△EBF=______

1:31:99:1第二十頁，共72頁。練3.如圖,在?ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC,∠BCD的角平分線分別交AD于E和F,BE與CF交于點G,則△EFG與△BCG面積之比是()A.

2:3B.

4:9C.

1:4D.

1:9

D第二十一頁，共72頁。練4.如圖,已知點D是AB邊的中點,AF∥BC，CG:GA=3:1，BC=8，則AF=___.

4第二十二頁，共72頁。練5.如圖,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E為梯形內(nèi)一點,且∠BEC=90°,將△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°使B與D重合，得到△DCF，連EF交CD于M.已知BC=5，CF=3，則DM:MC的值為___.

4:3第二十三頁，共72頁。相似三角形判定的基本模型一A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）（不平行）第二十四頁，共72頁。相似三角形判定的基本模型二

（平行）（不平行）8字型反8字型（蝴蝶型）

第二十五頁，共72頁。給你一個銳角△ABC和一條直線MN；

問題你能用直線MN去截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似嗎？第二十六頁，共72頁。

相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABC∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本圖形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC

三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.第二十七頁，共72頁。

相似三角形DE∥BC△ADE∽△ABC∠DAE=∠CAB△ADE∽△ABC基本圖形判定方法∠AED=∠B∠DAE=∠BAC△ADE∽△ABC對應(yīng)角相等；性質(zhì)定理對應(yīng)邊成比例；

周長的比等于相似比；

面積的比等于相似比的平方；

三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.第二十八頁，共72頁。

練一練基本圖形DEMNH過D作DH∥EC交BC延長線于點H(1)試找出圖中的相似三角形?(2)若AE:AC=1:2,則AC:DH=_______;(3)若⊿ABC的周長為4,則⊿BDH的周長為_____.(4)若⊿ABC的面積為4,則⊿BDH的面積為_____.⊿ADE∽⊿ABC∽⊿DBH2：369DEMN第二十九頁，共72頁。三、基本圖形的形成、變化及發(fā)展過程：∽

平行型

斜交型.

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旋轉(zhuǎn)平移垂直型特殊特殊平移第三十頁，共72頁。ABOCD1.添加一個條件，使△AOB∽△DOC四、運用?角：∠B=∠C或∠A=∠D邊：AB∥CDAO：OD=BO：CO“X”型解：第三十一頁，共72頁。ABCDE2.若△ABC∽△ADE，你可以得出什么結(jié)論？四、運用?角：∠ADE=∠B∠AED=∠C邊：DE∥BC面積：“A”型第三十二頁，共72頁。3、D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點，請你添加一個條件，使△ADE與△ABC相似。

斜交型角：∠B=∠2或∠1=∠C邊：AD：AC=AE：AB解：第三十三頁，共72頁。4、已知CD是Rt△ACB斜邊AB上的高，且CD=6，BD=12，則AD=________,AC=_________。36123垂直型第三十四頁，共72頁。ABCDE1.如圖，DE∥BC，D是AB的中點，DC、BE相交于點G。求G知識源于悟=1:2=1:2第三十五頁，共72頁。BACO如圖:寫出其中的幾個等積式①AC2=②BC2=③OC2=AO×ABBO×ABAO×BO若AC=3,AO=1.寫出A.B.C三點的坐標.(-1,0)(8,0)(0,2)第三十六頁，共72頁。已知,如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,對角線BD⊥CD求證:(1)△ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BCABCD證明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC∵∠A=∠BDC=90°,∴△ABD∽△DCB(2)∵△ABD∽△DCB∴AD=BDBDBC即:BD2=AD·BC第三十七頁，共72頁。如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,

∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一動點(不與A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于點Ｅ．（１）△ABP與△DPE是否相似？請說明理由；（２）設(shè)ＡＰ＝xＤＥ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍；（3）請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由；（4）請你探索在點P運動的過程中，△BPE能否成為等腰三角形？如果能，求出AP的長，如果不能，請說明理由。CABDPE25試一試xy5-x第三十八頁，共72頁。學(xué)以致用3、如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12,點P從A點出發(fā)向B以1m/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)向C點以2m/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B兩地同時出發(fā)，幾秒后△PBQ與原三角形相似？ABCQPQP第三十九頁，共72頁。例：如圖，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，點P在AC上（與點A、C不重合），點Q在BC上。試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長。靈感智慧M1ABCPQABCPQM2第四十頁，共72頁。例：如圖，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，點P在AC上（與點A、C不重合），點Q在BC上。試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長。靈感智慧PQM3ABCN第四十一頁，共72頁。ABCEF如圖，在正方形ABCD中,E為BC上任意一點（與B、C不重合）∠AEF=90°.觀察圖形：DABCEFD（2）若E為BC的中點，連結(jié)AF,圖中有哪些相似三角形？（1）△ABE與△ECF是否相似？并證明你的結(jié)論。問題發(fā)現(xiàn)知識整理△ABE∽△ECF∽△AEF問題1：第四十二頁，共72頁。（1）點E為BC上任意一點，若∠B=∠C=60°,∠AEF=∠C,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎？說明理由（2）點E為BC上任意一點若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,則△ABE與△

ECF的關(guān)系還成立嗎？C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF“M”型相似問題發(fā)現(xiàn)知識整理△ABE∽△ECF第四十三頁，共72頁。ABCEFαααDAFαBCEααDG（1）延長BA、CF相交于點D,且E為BC的中點，若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,連結(jié)AF.①找出圖中的相似三角形②說出圖中相等的角及邊之間的關(guān)系（2）延長BA、CF相交于點D,且E為BC的中點，若∠B=∠C=α,∠AEF=∠C,當∠AEF旋轉(zhuǎn)到如圖位置時，上述關(guān)系還成立嗎？問題發(fā)現(xiàn)知識整理問題2：善于運用類比、遷移的數(shù)學(xué)方法解決問題第四十四頁，共72頁。CABEFABCEFABCEFαααABCEFαααD①②③①②①②③①②E為中點歸納：第四十五頁，共72頁。變式：.在直角梯形ABCF中，，CB=14，CF=4,AB=6,,CF∥AB,在邊CB上找一點E,使以E、A、B為頂點的三角形和以E、C、F為頂點的三角形相似，則CE=_______1.矩形ABCD中，把DA沿AF對折，使D與CB邊上的點E重合，若AD=10,AB=8,則EF=______善于在復(fù)雜圖形中尋找基本型5ADBCEFABCFEEE5.6或2或12注意分類討論的數(shù)學(xué)思想實戰(zhàn)演練知識運用第四十六頁，共72頁。EBCDF2.已知：D為BC上一點，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,則AF=_______7A實戰(zhàn)演練知識運用第四十七頁，共72頁。EBCDFA變式：已知：△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,D為BC的中點，且∠EDF=∠C,（1）若BE·CF=48,則AB=_____（2）在（1）的條件下，若EF=m,則S△DEF=_______利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想HP8實戰(zhàn)演練知識運用第四十八頁，共72頁。（1）連接AP、AQ、PQ，試判斷△APQ的形狀，并說明理由。（2）當t=1秒時，連接AC，與PQ相交于點K.求AK的長。QPABCDK善于在復(fù)雜圖形中尋找基本型已知：菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,點P、Q分別從點B、C出發(fā)，沿線段BC、CD以1m/s的速度向終點C、D運動,運動時間為t秒.遷移拓展知識提升第四十九頁，共72頁。EQABCDPNF（3）當t=2秒時，連接AP、PQ,將∠APQ逆時針旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊與AB、AD、AC分別交于點E、N、F，連接EF.若AN=1,求S△EPF.注意運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想遷移拓展知識提升第五十頁，共72頁。（4）以O(shè)S為一邊在∠SOC內(nèi)作∠SOT,使∠SOT=∠BDC,OT邊交BC的延長線于點T,若BT=4.8,求AK的長。ASKDCBoT30°30°30°遷移拓展知識提升(P)(Q)PQ第五十一頁，共72頁。我的收獲CABEDCABEDCABEDABCEDαααABCEDFααααααOABCDP善于觀察善于發(fā)現(xiàn)善于總結(jié)第五十二頁，共72頁。1、已知：等邊△ABC中，P為直線AC上一動點，連結(jié)BP,作∠BPQ=60°,交直線BC于點N.(1)當P在線段AC上時，證明PA·PC=AB·CN(2)若P在AC的延長線上，上述關(guān)系是否成立？(3)若P在CA的延長線上，CN=1.5,BC=2,求AP、BP的長補充練習(xí)、內(nèi)化理解NBCAQNBCAQNBCAQP60°60°60°PP第五十三頁，共72頁。2、在平面直角坐標系中，四邊形OABC為等腰梯形，OA∥BC,OA=7,BC=3,∠COA=60°,點P為線段OA上的一個動點，點P不與O、A重合，連結(jié)CP.（1）求點B的坐標。（2）點D為AB上一點，且AD:BD=3:5,連結(jié)PD,在OA上是否存在這樣的點P,使∠CPD=∠BAO?若存在，求出直線PB的解析式，若不存在，請說明理由。OxyABCDP補充練習(xí)、內(nèi)化理解第五十四頁，共72頁。FBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=（1）請在x軸上找一點D，使得△BDA與△BAC相似（不包含全等），并求出點D的坐標；（2）在（1）的條件下，如果P、Q分別是BA、BD上的動點，連結(jié)PQ，設(shè)BP＝DQ＝m，問：是否存在這樣的m，使得⊿BPQ與⊿BDA相似？如存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由。

用一用OD（1）∵△BDA∽△BAC∴∠CAD＝∠ABC∴tan∠CAD＝∠ABC=∵BC=4∴AC=BC·tan∠ABC=3∴CD=AC·tan∠CAD=3×=∴OD=OC+CD=1+=∴D(,0)第五十五頁，共72頁。

用一用BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=OD第五十六頁，共72頁。

用一用PQPQ(1)當PQ∥AD時，△BPQ∽△BAD則即：解得：(2)當PQ⊥BD時，△BPQ∽△BDA則即：解得：BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=ODBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=OD第五十七頁，共72頁。例2如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，加工成正方形零件的邊長為多少毫米？ABCDEPQMN第五十八頁，共72頁。②如果把正方形的零件改變?yōu)榧庸ぞ匦瘟慵?設(shè)DP=x，DE=y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，試確定x的取值范圍。

PBACDEFMN如圖，△ABC是一塊余料，邊AB=90厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在AB上，其余兩個頂點分別在BC、AC上①這個正方形零件的邊長是多少？③當DE是DP的1.5倍時恰好符合要求，求此時零件的面積是多少?④在問題3中，具體操作時，發(fā)現(xiàn)在AB線段上離B點34cm處有一蛀蟲洞，請你確定一下，它是否影響余料的使用，說明理由。（量得BN=70cm）第五十九頁，共72頁。PBACDEFMNBACDEF圖一圖二課外拓展:

右圖中，在一直角三角形余料中截出一個面積最大的正方形零件，應(yīng)如何截?。浚ㄔO(shè)正方形的三邊分別是3、4、5、那么最大的面積是多少？）BAC第六十頁，共72頁。解：設(shè)正方形DEFP的邊長為x厘米。因為DE∥AB，所以△CDE∽△CBA所以CMCN=DEAB因此，得x=36（毫米）。答：-------。60–x60=x90問題解答:PBACDEFMN第六十一頁，共72頁。演變1：如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊BC=a，高AD=h，要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。求（1）設(shè)PN=x，矩形PQMN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍。（2）當h=6，a=8時，請你求出面積等