八年級上冊數(shù)學(xué)全冊教案

八年級上冊數(shù)學(xué)全冊教案

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要介紹全等三角形的概念和性質(zhì).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

領(lǐng)會全等三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的有關(guān)概念.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索全等三角形性質(zhì)的過程，能在全等三角形中正確找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)觀察、操作、分析能力，體會全等三角形的應(yīng)用價值.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：會確定全等三角形的對應(yīng)元素.

2.難點：掌握找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法.

3.關(guān)鍵：找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,

兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.

教具準(zhǔn)備

四張大小一樣的紙片、直尺、剪刀.

教學(xué)方法

采用“直觀——感悟”的教學(xué)方法，讓學(xué)生自己舉出形狀、大小相同的實例，加深認識.

教學(xué)過程

一、動手操作，導(dǎo)入課題

1.先在其中一張紙上畫出任意一個多邊形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？

2.重新在一張紙板上畫出任意一個三角形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特點？

【學(xué)生活動】動手操作、用腦思考、與同伴討論，得出結(jié)論.

【教師活動】指導(dǎo)學(xué)生用剪刀剪出重疊的兩個多邊形和三角形.

學(xué)生在操作過程中，教師要讓學(xué)生事先在紙上畫出三角形，然后固定重疊的兩張紙，注意

整個過程要細心.

【互動交流】剪出的多邊形和三角形，可以看出：形狀、大小相同，能夠完全重合.這樣

的兩個圖形叫做全等形，用“也”表示.

概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

【教師活動】在紙版上任意剪下一個三角形，要求學(xué)生手拿一個三角形，做如下運動：平

移、翻折、旋轉(zhuǎn)，觀察其運動前后的三角形會全等嗎？

【學(xué)生活動】動手操作，實踐感知，得出結(jié)論：兩個三角形全等.

【教師活動】要求學(xué)生用字母表示出每個剪下的三角形，同時互相指出每個三角形的頂點、

三個角、三條邊、每條邊的邊角、每個角的對邊.

【學(xué)生活動】把兩個三角形按上述要求標(biāo)上字母，并任意放置，與同桌交流：（1）何時能

完全重在一起？（2）此時它們的頂點、邊、角有何特點？

【交流討論】通過同桌交流，實驗得出下面結(jié)論：

1.任意放置時，并不一定完全重合，只有當(dāng)把相同的角旋轉(zhuǎn)到一起時才能完全重合.

2.這時它們的三個頂點、三條邊和三個內(nèi)角分別重合了.

3.完全重合說明三條邊對應(yīng)相等，三個內(nèi)角對應(yīng)相等，對應(yīng)頂點在相對應(yīng)的位置.

【教師活動】根據(jù)學(xué)生交流的情況，給予補充和語言上的規(guī)范.

1.概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對

應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.

2.證兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，如果本圖11.1

—2AABC和4DBC全等，點A和點D,點B和點B,點C和點C是對應(yīng)頂點，記作aABC絲△DBC.

CE

D

課本圖11.1一課本圖11.1一2

【問題提出】課本圖11.1—1中，AABC^ADEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？

【學(xué)生活動】經(jīng)過觀察得到下面性質(zhì)：

1.全等三角形對應(yīng)邊相等；

2.全等三角形對應(yīng)角相等.

二、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P4練習(xí).

【探研時空】

1.如圖1所示，△ACFgADBE,ZE=ZF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出線段AB的長嗎？

與同伴交流.（AB=6）

2.如圖2所示，△ABCgAAEC,ZB=30°,ZACB=85°,求出4AEC各內(nèi)角的度數(shù).(Z

AEC=30°，ZEAC=65°，ZECA=85°)

三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性質(zhì)？

四、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P4習(xí)題11.1第1,2,3,4題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成左、中、右三部分，左邊板書本節(jié)課概念，中間部分板書“思考”中的問題，

右邊部分板書學(xué)生的練習(xí).

疑難解析

由于兩個三角形的位置關(guān)系不同，在找對應(yīng)邊、對應(yīng)角時，可以針對兩個三角形不同的位

置關(guān)系，尋找對應(yīng)邊、角的規(guī)律：（1）有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；（2）有公共角的，

公共角一定是對應(yīng)角；（3）有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；兩個全等三角形中一對最長的

邊（或最大的角）是對應(yīng)邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應(yīng)邊（或角）.

11.2.1三角形全等的判定（SSS）

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的條件（SSS）,及利用全等三角形進行證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解三角形的穩(wěn)定性，會應(yīng)用“邊邊邊”判定兩個三角形全等.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索“邊邊邊”判定全等三角形的過程，解決簡單的問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)有條理的思考和表達能力，形成良好的合作意識.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：掌握“邊邊邊”判定兩個三角形全等的方法.

2.難點：理解證明的基本過程，學(xué)會綜合分析法.

3.關(guān)鍵：掌握圖形特征，尋找適合條件的兩個三角形.

教具準(zhǔn)備

一塊形狀如圖1所示的硬紙片，直尺，圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“操作——實驗”的教學(xué)方法，讓學(xué)生親自動手，形成直觀形象.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑求解，操作感知

【教師活動】（出示教具）

問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖2所示的殘片，你對圖中的殘片作哪些

測量，就可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴交流.

【學(xué)生活動】觀察，思考，回答教師的問題.方法如下：可以將圖1的玻璃碎片放在一塊

紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆畫出一塊完整的三角形.如圖2,剪下模板就可去割玻璃了.

【理論認知】

如果AABC名Z\A'B'C,那么它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.反之，如果4ABC與

△A'B'C'滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等，即AB=A'B',BC=B,C',CA=C,A',

NA=NA',ZB=ZBZ,ZC=ZCz.

這六個條件，就能保證AABC絲Z\A'B'C',從剛才的實踐我們可以發(fā)現(xiàn)：只要兩個三角

形三條對應(yīng)邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等.

信不信？

【作圖驗證】（用直尺和圓規(guī)）

先任意畫出一個AABC,再畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把

畫出的AA'B'O剪下來，放在AABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）

【學(xué)生活動】拿出直尺和圓規(guī)按上面的要求作圖，并驗證.（如課本圖11.2-2所示）

畫一個AA'B'C，使A'B'=AB',A'C=AC,B'C=BC：

1.畫線段取B'C=BC；

2.分別以夕、C'為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點A，；

3.連接線段A'B'、A'C'.

【教師活動】巡視、指導(dǎo)，引入課題:''上述的生活實例和尺規(guī)作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？”

【學(xué)生活動】在思考、實踐的基礎(chǔ)上可以歸納出下面判定兩個三角形全等的定理.

（1）判定方法：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

（2）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.

【評析】通過學(xué)生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結(jié)論一一邊邊

邊，在這個過程中，學(xué)生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增強了數(shù)學(xué)體驗.

二、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)

【例1］如課本圖11.2—3所示，4ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點A與BC中點D

的支架，求證aABD之4ACD.（教師板書）

【教師活動】分析例1,分析：要證明aABD且Z\ACD,可看這兩個三角形的三條邊是否對

應(yīng)相等.4

證明：?./是BC的中點，

.\BD=CDBDc

在aABD^AACD中

AB^AC,

BD=CD,

AD=AD.

/.△ABD^AACD（SSS）.

【評析】符號“???”表示“因為”，“???”表示“所以"；從例1可以看出，證明是由題設(shè)

（已知）出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)論（求證）正確的過程.書寫中注意對應(yīng)頂點

要寫在同一個位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.

三、實踐應(yīng)用，合作學(xué)習(xí)

【問題思考】

已知AC=FE,BC=DE,點A、D、B、F在直線上，AD=FB（如圖所示），要用“邊邊邊”證明△

ABC之△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個條件？

【教師活動】提出問題，巡視、引導(dǎo)學(xué)生，并請學(xué)生說說自己的想法.

【學(xué)生活動】先獨立思考后，再發(fā)言：“還應(yīng)該有AB=FD,只要AD=FB兩邊都加上DB即可

得到AB=FD.”

【教學(xué)形式】先獨立思考，再合作交流，師生互動.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P8練習(xí).

【探研時空】

如圖所示，AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC與EF相等嗎？你能找到一對全等三角形嗎？說明你

的理由.(BC=EF,AABC^ADFE)

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.全等三角形性質(zhì)是什么？

2.正確地判斷出全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，利用全等三角形處理問題的基礎(chǔ)，你是

怎樣掌握判斷對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法?

3.“邊邊邊”判定法告訴我們什么呢？（答：只要一個三角形三邊長度確定了，則這個三

角形的形狀大小就完全確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性）

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第1,2題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板平均分成三份，左邊部分板書“邊邊邊”判定法，中間部分板書例題，右邊部分板

書練習(xí).

疑難解析

證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是

定義、公理、己學(xué)過的重要結(jié)論.

11.2.2三角形全等判定(SAS)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的條件(SAS),及利用全等三角形證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能領(lǐng)會“邊角邊”判定兩個三角形的方法.

2.過程與方法經(jīng)歷探究三角形全等的判定方法的過程，學(xué)會解決簡單的推理問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)合情推理能力，感悟三角形全等的應(yīng)用價值.

重、難點及關(guān)鍵

1.重點：會用“邊角邊”證明兩個三角形全等.

2.難點：應(yīng)用結(jié)合法的格式表達問題.

3.關(guān)鍵：在實踐、觀察中正確選擇判定三角形全等的方法.

教具準(zhǔn)備投影儀、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法采用“操作——實驗”的教學(xué)方法，讓學(xué)生有一個直觀的感受.

教學(xué)過程

一、回顧交流，操作分析

【動手畫圖】

【投影】作一個角等于已知角.

【學(xué)生活動】動手用直尺、圓規(guī)畫圖.

已知：ZAOB.

求作：ZAiOiBi,使NAIOIBkNAOB.

【作法】(1)作射線OiAi；(2)以點O為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA?于點C,?

交OB于點D；(3)以點Oi為圓心，以O(shè)C長為半徑畫弧，交OiAi于點Ci；(4)以點Ci為圓

心，以CD?長為半徑畫弧，交前面的弧于點Di；(5)過點DI作射線OIBI,NAIOIBI就是所求

的角.

【導(dǎo)入課題】

教師敘述：請同學(xué)們連接CD、GDi,回憶作圖過程，分析aCOD和△GOiDi?中相等的

條件.

【學(xué)生活動】與同伴交流，發(fā)現(xiàn)下面的相等量：

OD=OiDi,OC=OiCi,ZCOD=ZCIOIDI,ACOD^ACiOiDi.

歸納出規(guī)律：

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS

【評析】通過讓學(xué)生回憶基本作圖，在作圖過程中體會相等的條件，在直觀的操作過程中

發(fā)現(xiàn)問題，獲得新知，使學(xué)生的知識承上啟下，開拓思維，發(fā)展探究新知的能力.

【媒體使用】投影顯示作法.

【教學(xué)形式】操作感知，互動交流，形成共識.

二、范例點擊，應(yīng)用新知

【例2】如課本圖11.2-6所示有一池塘，要測池塘兩側(cè)A、B的距離，可先在平地上取一

個可以直接到達A和B的點，連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE=CB,

連接DE,那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？

【教師活動】操作投影儀，顯示例2,分析:如果能夠證明△ABCgADEC,就可以得出AB=DE.在

△ABC和aDEC中，CA=CD,CB=CE,如果能得出N1=N2,AABC和aDEC就全等了.

證明：在aABC和aDEC中

CA^CD

<Zl=Z2

CB=CE

.".△ABC^ADEC（SAS）

.\AB=DE

想一想：N1=N2的依據(jù)是什么？（對頂角相等）AB=DE的依據(jù)是什么？（全等三角形對應(yīng)

邊相等）

【學(xué)生活動】參與教師的講例之中，領(lǐng)悟“邊角邊”證明三角形全等的方法，學(xué)會分析推

理和規(guī)范書寫.

【媒體使用】投影顯示例2.

【教學(xué)形式】教師講例，學(xué)生接受式學(xué)習(xí)但要積極參與.

【評析】證明分別屬于兩個三角形的線段相等或角相等的問題，常常通過證明這兩個三角

形全等來解決.

三、辨析理解，正確掌握

【問題探究】（投影顯示）

我們知道，兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，由“兩邊及其中一邊的對角對

應(yīng)相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎？為什么？

【教師活動】拿出教具進行示范，讓學(xué)生直觀地感受到問題的本質(zhì).

操作教具：把一長一短兩根細木棍的一端用螺釘較合在一起，使長木棍的另一端與射線BC

的端點B重合，適當(dāng)調(diào)整好長木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木棍擺起來(課

本圖11.2-7),出現(xiàn)一個現(xiàn)象：AABC與4ABD滿足兩邊及其中一邊對角相等的條件，但4ABC

與aABD不全等.這說明，有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.

【學(xué)生活動】觀察教師操作教具、發(fā)現(xiàn)問題、辨析理解，動手用直尺和圓規(guī)實驗一次，做

法如下：(如圖1所示)

(1)畫NABT；(2)以A為圓心，以適當(dāng)長為半徑，畫弧，交BT于C、C'；(3)連線AC,

AC',AABC與△ABC'不全等.

【形成共識】“邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件.

【教學(xué)形式】觀察、操作、感知，互動交流.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P10練習(xí)第1、2題.

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.請你敘述“邊角邊”定理.

2.證明兩個三角形全等的思路是：首先分析條件，觀察已經(jīng)具備了什么條件；然后以已

具備的條件為基礎(chǔ)根據(jù)全等三角形的判定方法，來確定還需要證明哪些邊或角對應(yīng)相等，再設(shè)

法證明這些邊和角相等.

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第3、4題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成左、中、右三部分，其中右邊部分板書“邊角邊”判定法，中間部分板書例題,

右邊部分板書練習(xí)題.

11.2.3三角形全等判定（ASA）

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的判定（ASA,AAS）,及利用全等三角形的證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

理解“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等的方法.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等的過程，能運用已學(xué)三角形判定法解決實

際問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的幾何推理意識，發(fā)展思維，感悟全等三角形的應(yīng)用價值.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：應(yīng)用“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等.

2.難點：學(xué)會綜合法解決幾何推理問題.

3.關(guān)鍵：把握綜合分析法的思想，尋找問題的切入點.

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“問題教學(xué)法”在情境問題中，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

教學(xué)過程

一、回顧交流，鞏固學(xué)習(xí)

【知識回顧】（投影顯示）

情境思考：

1.小菁做了一個如圖1所示的風(fēng)箏，其中NEDH=NFDH,ED=FD,將上述條件注在圖中，

小明不用測量就能知道EH=FH嗎？與同伴交流.

［答案：能，因為根據(jù)“SAS”，可以得到△EDHgAFDH,從而EH=FH］

2.如圖2,AB=AD,AC=AE,能添上一個條件證明出AABC絲4ADE嗎？［答案：BC=DE（SSS）

或NBAC=NDAE（SAS）］.

3.如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形一定會全等嗎？試舉例說明.

【教師活動】操作投影儀，提出問題，組織學(xué)生思考和提問.

【學(xué)生活動】通過情境思考，復(fù)習(xí)前面學(xué)過的知識，學(xué)會正確選擇三角形全等的判定方法,

小組交流，踴躍發(fā)言.

【教學(xué)形式】用問題牽引，辨析、鞏固已學(xué)知識，在師生互動交流過程中，激發(fā)求知欲.

二、實踐操作，導(dǎo)入課題

【動手動腦】（投影顯示）

問題探究：先任意畫一個AABC,再畫出一個AA'B'C',使A'B'=AB,/A'=ZA,Z

B'=ZB（即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等），把畫出的aA'B'C剪下，放到4ABC上，它

們?nèi)葐幔?/p>

【學(xué)生活動】動手操作，感知問題的規(guī)律，畫圖如下

畫一個AA'B'C,使A'B'

=AB,

NA'=ZA,NB'=ZB：

1.畫A'B'=AB；

2.在A'B'的同旁畫NDA'B'=Z

A,

NEBA'=NB,A'D,B'E交于點C'。

探究規(guī)律：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

【知識鋪墊】課本圖11.2—8中，NA'=ZA,NB'=ZB,那么NC=NA'C'B'嗎？為

什么？

【學(xué)生回答】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，NC'=1800-NA'-NB',ZC=180°-ZA-ZB,

由于NA=NA',NB=NB',AZC=ZC,.

【教師提問】在aABC和aDEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF（課本圖11.2—9）,AABC

與4DEF全等嗎？

【學(xué)生活動】運用三角形內(nèi)角和定理，以及“ASA”很快證出△ABCgAEFD,并且歸納如下:

歸納規(guī)律：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡與成AAS）.

三、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)

【例3】如課本圖11.2—10,D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC,求證：AD=AE.

【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生，分析例3.關(guān)鍵是尋找到和已知條件有關(guān)的4ACD和aABE,再證

它們?nèi)?，從而得出AD=AE.

證明：在AACD與4ABE中,

NA=NA（公共角）

<AC^AB

NC=N8

.,.△ACD^AABE（ASA）

Z.AD=AE

【學(xué)生活動】參與教師分析，領(lǐng)會推理方法.

【媒體使用】投影顯示例3.

【教學(xué)形式】師生互動.

【教師提問】三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？

【學(xué)生活動】與同伴交流，得到有三角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定會全等，拿出三角板

進行說明，如圖3,下面這塊三角形的內(nèi)外邊形成的aABC和4A'B'C'中，NA=NA',Z

B=NB',NC=NC，,但是它們不全等.（形狀相同，大小不等）.

/4/、3'\

AB

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P13練習(xí)第1,2題.

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.證明兩個三角形全等有幾種方法？如何正確選擇和應(yīng)用這些方法？

2.全等三角形性質(zhì)可以用來證明哪些問題？舉例說明.

3.你在本節(jié)課的探究過程中，有什么感想？

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第5,6,9,10題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成三部分，左邊部分板書“角邊角”、“角角邊”判定法，中間部分板書例題、畫

圖，右邊部分板書練習(xí).

11.2.4三角形全等的判定（綜合探究）

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是三角形全等的判定的綜合運用.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

理解三角形全等的判定，并會運用它們解決實際問題.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索三角形全等的四種判定方法的過程，能進行合情推理.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的幾何思維，體會幾何學(xué)的應(yīng)用價值.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：運用四個判定三角形全等的方法.

2.難點：正確選擇判定三角形全等的方法，充分應(yīng)用“綜合法”進行表達.

3.關(guān)鍵：把握問題的因果關(guān)系，從中尋找思路.

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“講.練”結(jié)合的教學(xué)法，讓學(xué)生充分體會到幾何的分析思想.

教學(xué)過程

一、分層練習(xí)，回顧反思

【課堂演練】

1.已知△ABCgAA'B'C',且NA=48°,NB=33°,A'B'=5cm,求NC'的度數(shù)與

AB的長.

【教師活動】操作投影儀，組織學(xué)生練習(xí)，請一位學(xué)生上臺演示.

【學(xué)生活動】先獨立完成演練1,然后再與同伴交流，踴躍上臺演示.

解：在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°

/.ZC=180°-（ZA+ZB）=99°

VAABC^AA/B'C,ZC=ZC,

AZC=99°,

.,.AB=A/B'=5cm.

【評析】表示兩個全等三角形時，要把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這時解題就很方

2.已知：如圖1,在AB、AC上各取一點E、D,使AE=AD,連接BD、CE相

交于點0,連接AO,Z1=Z2.

求證：ZB=ZC.

【思路點撥】要證兩個角相等，我們通常用的辦法有：（1）兩直線平行，同位角或內(nèi)錯角

相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等；（3）等腰三角形兩底角相等（待學(xué)）.

根據(jù)本題的圖形，應(yīng)考慮去證明三角形全等，由已知條件，可知AD=AE,Nl=Z2,A0是

公共邊，叫△ADO之△AE0,則可得到OD=OE,ZAE0=ZAD0,ZE0A=ZD0A,而要證NB=NC可

以進一步考查△OBE^^OCD,而由上可知OE=OD,NB0E=NC0D（對頂角），NBEONCDO（等角

的補角相等），則可證得aOBF且ZSOCD,事實上，得到NAEONAOD之后，又有NB0E=NC0D,

由外角的關(guān)系，可得出NB=NC,這樣更進一步簡化了思路.

【教師活動】操作投影儀，巡視、啟發(fā)引導(dǎo)，關(guān)注“學(xué)困生”，請學(xué)生上臺演示，然后評點.

【學(xué)生活動】小組合作交流，共同探討，然后解答.

【媒體使用】投影顯示演練題2.

【教學(xué)形式】分組合作，互相交流.

【教師點評】在分析一道題目的條件時，盡量把條件分析透，如上題當(dāng)證明△ADOgZ\AEO

之后，可以得到OD=OE,ZAE0=ZAD0,ZE0A=ZD0A,這些結(jié)論雖然在進一步證明中并不一定

都用到，但在分析時對圖形中的等量及大小關(guān)系有了正確認識，有利于進一步思考.

證明在AAEO與AADO中，

AE=AD,Z2=Z1,AO=AO,

.".△AEO^AADO(SAS),NAEONADO.

又?.?NAEO=NEOB+NB,ZAOD=ZDOC+ZC.

又?../EOB=NDOC(對應(yīng)角)，/.ZB=ZC.

3.如圖2,已知NBAC=NDAE,ZABD=ZACE,BD=CE.求證：AD=AE.

【思路點撥】欲證相等的兩條線段AD、AE分別在AABD和AACE中，由于BD=CE,ZABD=

ZACE,因此要證明AABD絲AACE,則需證明NBAD=ZCAE,這由已知條件NBAC=NDAE容易

得至U.

【教師活動】操作投影儀：引導(dǎo)學(xué)生思考問題.，

【學(xué)生活動】分析、尋找證題思路，獨立完成演練題3.

證明：???NBAC=NDAE

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC即ZBAD=NCAE8C

圖2

在AABD和AACE中，

VBD=CE,ZABD=ZACE,ZBAD=ZCAE,

/.△ABD^AACE(AAS),

/.AD=AE.

【媒體使用】投影顯示演練題3.

【教學(xué)形式】講練結(jié)合.

二、隨堂練習(xí)，繼續(xù)鞏固

1.如圖3,點E在AB上，AC=AD,ZCAB=ZDAB,aACE與aADE全等嗎？Z\ACB與aADB

呢？請說明理由.

[答案：△ACEgAADE,AACB^AADB,根據(jù)“SAS”.]

2.如圖4,儀器ABCD可以用來平分一個角，其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點A與NPRQ

的頂點R重合，調(diào)整AB和AD,使它們落在角的兩邊上，沿AC畫一條射線AE,AE就是NPRQ

的平分線，你能說明其中道理嗎？

小明的思考過程如下：

AB=AD

BC=DCfAABC之△ADCfNQRE=ZPRE

AC=AC

你能說出每一步的理由嗎？圖4

3.如圖5,斜拉橋的拉桿AB,BC的兩端分別是A,C,它們到0的距離相等，將條件標(biāo)注

在圖中，你能說明兩條拉桿的長度相等嗎？

答案：相等，因為△ABO之△CBO(SAS),從而AB=CB.圖5

三、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P16習(xí)題11.2第11,12題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成兩份，左邊板書概念、例題，右邊板書練習(xí).

11.2.5直角三角形全等判定(HL)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探究直角三角形的判定方法.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

在操作、比較中理解直角三角形全等的過程，并能用于解決實際問題.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索直角三角形全等判定的過程，掌握數(shù)學(xué)方法，提高合情推理的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)幾何推理意識，激發(fā)學(xué)生求知欲，感悟幾何思維的內(nèi)涵.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：理解利用“斜邊、直角邊”來判定直角三角形全等的方法.

2.難點：培養(yǎng)有條理的思考能力，正確使用“綜合法”表達.

3.關(guān)鍵：判定兩個三角形全等時，要注意這兩個三角形中已經(jīng)具有一對角相等的條件，

只需找到另外兩個條件即可.

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“問題探究”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在互動交流中領(lǐng)會知識.

教學(xué)過程

一、回顧交流，遷移拓展

【問題探究】

圖1是兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形才

能全等？

【教師活動】操作投影儀，提出“問題探究”，組織學(xué)生討論.

【學(xué)生活動】小組討論，發(fā)表意見：“由三角形全等條件可知，對于兩個直角三角形，滿足

一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形就全等了

【媒體使用】投影顯示“問題探究”.

【教學(xué)形式】分四人小組，合作、討論.

【情境導(dǎo)入】如圖2所示.

舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個

三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.

（1）你能幫他想個辦法嗎？

（2）如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他

就肯定“兩個直角三角形是全等的“，你相信他的結(jié)論嗎？

【思路點撥】（1）學(xué)生可以回答去量斜邊和一個銳角，或直角邊和一個銳角，但對問題（2）

學(xué)生難以回答.此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對工作人員提出的辦法及結(jié)論進行思考，并驗證它們

的方法，從而展開對直角三角形特殊條件的探索.

【教師活動】操作投影儀，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、驗證.

【學(xué)生活動】思考問題，探究原理.

做一做如課本圖11.2—11：任意畫出一個RtZ\ABC,使NC=90°,再畫一個RtAAZB'

C',使B'C'=BC,A'B'=AB,把畫好的RtZiA'B，C剪下，放到RtaABC上，它們?nèi)?/p>

嗎？

【學(xué)生活動】畫圖分析，尋找規(guī)律.如下：

規(guī)律：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

二、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)

【例4】如課本圖11.2—12,AC±BC,BD±AD,AC=BD,求證BC=AD.

【思路點撥】欲證BC=AD,首先應(yīng)尋找和這兩條線段有關(guān)的三角形，這里有aABD和4

BAC,△ADO和△BCO,0為DB、AC的交點，經(jīng)過條件的分析，4ABD和ABAC具備全等的條件.

【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生共同參與分析例4.

證明：VAC±BC,BD±BD,

/.NC與ND都是直角.

在Rtz^ABC和RtABAD中，

AB=BA,

AC=BD,

ARtAABC^RtABAD(HL).

/.BC=AD.

【學(xué)生活動】參與教師分析，提出自己的見解.

【評析】在證明兩個直角三角形全等時，要防止學(xué)生使用“SSA”來證明.

【媒體使用】投影顯示例4.

三、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P14第練習(xí)1、2題.

【探研時空】

如圖3,有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方面的長度DF相等,

兩個滑梯的傾斜角NABC和NDEF的大小有什么關(guān)系？

BC=EF,AC=DF

-?A△ABC^ADEF-ZABC-*ZDEF-ZABC+ZDEF=90°.

NCAB=NFDE=90°

有一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等，所以4ABC與aDEF全等.這樣NABC=NDEF,也就是NABC+

ZDEF=90°.

在RtZ^ABC和RtZ\DEF中，BC=EF,AC=DF,因此這兩個三角形是全等的，這樣NABC=NDEF,

所以NABC與NDEF是互余的.

【教學(xué)形式】這個問題涉及的推理比較復(fù)雜，可以通過全班討論，共同解決這個問題，但

不需要每個學(xué)生自己獨立說明理由，只要求學(xué)生能看懂三位同學(xué)的思考過程就可以了.

四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

本節(jié)課通過動手操作，在合作交流、比較中共同發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)直觀發(fā)現(xiàn)問題的能力，在

反思中發(fā)現(xiàn)新知，體會解決問題的方法.通過今天的學(xué)習(xí)和對前面三角形全等條件的探求，可

知判定直角三角形全等有五種方法.（教師讓學(xué)生討論歸納）

五、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P16習(xí)題11.2第7,8題，P18閱讀與思考.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成三份，重復(fù)使用，左邊部分板書直角三角形判定定理等有關(guān)概念，中間部分板

書“探究”，右邊部分板書例題.

11.3角的平分線的性質(zhì)⑴

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課首先介紹作一個角的平分線的方法，然后用三角形全等證明角平分線的性質(zhì)定理.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

通過作圖直觀地理解角平分線的兩個互逆定理.

2.過程與方法

經(jīng)歷探究角的平分線的性質(zhì)的過程，領(lǐng)會其應(yīng)用方法.

3.情感、態(tài)度與價值觀

激發(fā)學(xué)生的幾何思維，啟迪他們的靈感，使學(xué)生體會到幾何的真正魅力.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：領(lǐng)會角的平分線的兩個互逆定理.

2.難點：兩個互逆定理的實際應(yīng)用.

3.關(guān)鍵：可通過學(xué)生折紙活動得到角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的結(jié)論.利用

全等來證明它的逆定理.

教具準(zhǔn)備

投影儀、制作如課本圖11.3—1的教具.

教學(xué)方法

采用“問題解決”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在實踐探究中領(lǐng)會定d理.

教學(xué)過程D/\B

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

【問題探究】（投影顯示）E

如課本圖11.3—1,是一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC,將點A放在角的頂點，AB

和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎？

【教師活動】首先將“問題提出”，然后運用教具（如課本圖11.3-1）直觀地進行講述，

提出探究的問題.

【學(xué)生活動】小組討論后得出：根據(jù)三角形全等條件“邊邊邊”課本圖11.3-1判定法，

可以說明這個儀器的制作原理.

【教師活動】

請同學(xué)們和老師一起完成下面的作圖問題.

操作觀察：

已知：ZAOB.

求法：NAOB的平分線.

作法：（1）以0為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交0A于M,交0B于N.（2）分別以M、N為

圓心，大于‘MN的長為半徑作弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部交于點C.（3）作射線0C,射線0C即

2

為所求（課本圖11.3—2）.

【學(xué)生活動】動手制圖（尺規(guī)），邊畫圖邊領(lǐng)會，認識角平分線的定義；同時在實踐操作中

感知./

【媒體使用】投影顯示學(xué)生的“畫圖”.

【教學(xué)形式】小組合作交流.4一B

二、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P19練習(xí).

【學(xué)生活動】動手畫圖，從中得到：直線CD與直線AB是互相垂直的.

【探研時空】（投影顯示）

如課本圖11.3—3,將NA0B對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后

【教師活動】操作投影儀，提出問題，提問學(xué)生.

【學(xué)生活動】實踐感知，互動交流，得出結(jié)論，“從實踐中可以看出，第一條折痕是NA0B

的平分線03第二次折疊形成的兩條折痕PD、PE是角的平分線上一點到NA0B兩邊的距離，這

兩個距離相等."

論證如下：

已知：0C是NA0B的平分線，點P在0C上，PD±OA,PE±OB,垂足分別是D、E（課本圖

11.3—4)

求證：PD=PE.

證明：?.?PD_LOA,PE10B,

EB

/.ZPD0=ZPE0=90°

在△PDO和△PEO中,

NPDO=NPEO,

-ZAOC=ZBOC,

OP=OP,

.,.△PDO^APEO(AAS)

.*.PD=PE

【歸納如下】

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

【教學(xué)形式】師生互動，生生互動，合作交流.

三、情境合一，優(yōu)化思維

【問題思索】(投影顯示)

如課本圖11.3—5,要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與

鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處(在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000)?

【學(xué)生活動】四人小組合作學(xué)習(xí)，動手操作探究，獲得問題結(jié)論.從實踐中可知：角平分

線上的點到角的兩邊距離相等，將條件和結(jié)論互換：到角的兩邊的距離相等的點也在角的平分

線.

證明如下：

已知：PD_LOA,PE±OB,垂足分別是D、E,PD=PE.

求證：點P在NA0B的平分線上.

證明：經(jīng)過點P作射線0C.

VPD1OA,PE10B

/.ZPD0=ZPE0=90o

在Rt^PDO和RtAPEO中，

OP=OP,

PD=PE,

ARtAPDO^RtAPEO(HL)

/.ZA0C=ZB0C,

.?.0C是NAOB的平分線.

【教師活動】啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生；組織小組之間的交流、討論；幫助“學(xué)困生

【歸納】到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

【教學(xué)形式】自主、合作、交流，在教師的引導(dǎo)下，比較上述兩個結(jié)論，弄清其條件和結(jié)

論，加深認識.

四、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)

【例】如課本圖11.3—6,ZSABC的角平分線BM,CN相交于點P,求證：點P到三邊AB,

BC,CA的距離相等.

【思路點撥】因為已知、求證中都沒有具體說明哪些線段是距離，而證明它們相等必須標(biāo)

出它們.所以這一段話要在證明中寫出，同輔助線一樣處理.如果已知中寫明點P到三邊的距

離是哪些線段，那么圖中畫實線，在證明中就可以不寫.

【教師活動】操作投影儀，顯示例子，分析例子，引導(dǎo)學(xué)生參與.

證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足為D、E、F.

BM是△ABC的角平分線，點P在BM上.

；.PD=PE

同理PE=PF

.*.PD=PE=PF

即點P到邊AB、BC、CA的距離相等.

【評析】在幾何里，如果證明的過程完全一樣，只是字母不同，可以用“同理”二字概括,

省略詳細證明過程.

【學(xué)生活動】參與教師分析，主動探究學(xué)習(xí).

五、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P22練習(xí).

六、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.學(xué)生自行小結(jié)角平分線性質(zhì)及其逆定理，和它們的區(qū)別.

2.說明本節(jié)例子實際上是證明三角形三條角平分線相交于一點的問題，說明這一點是三

角形的內(nèi)切圓的圓心（為以后學(xué)習(xí)設(shè)伏）.

七、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P22習(xí)題11.3第1、2、3題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

板書設(shè)計

把黑板分成三部分，左邊部分板書概念、定理等，中間部分板書探究，右邊部分板書例題,

重復(fù)使用時，中間部分和右邊部分板書練習(xí)題.

第十二章軸對稱

12.1軸對稱（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.在生活實例中認識軸對稱圖.

2.分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念.

教學(xué)重點：軸對稱圖形的概念.

教學(xué)難點：能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作往往也

從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中些也具有對稱性……

對稱給我們帶來多少美的感受！初步掌握對稱的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些圖形的特征,

還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對稱是對稱中重要的一種，從這節(jié)課開始，我們來學(xué)習(xí)第十二章：軸對稱.今天我們來

研究第一節(jié)，認識什么是軸對稱圖形，什么是對稱軸.

n.導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，觀察它們都有些什么共同特征.

這些圖形都是對稱的.這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

小結(jié)：對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，?甚至日常生活

用品，人們都可以找到對稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有對稱

特征的例子.

我們的黑板、課桌、椅子等.

我們的身體，還有飛機、汽車、楓葉等都是對稱的.

如課本的圖12.1.2,把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），?再打開這

張對折的紙，就剪出了美麗的窗花.觀察得到的窗花和圖12.1.1中的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有

什么共同的特點嗎？

窗花可以沿折痕對折，使折痕兩旁的部分完全重合.不僅窗花可以沿一條直線對折，使直

線兩旁重合，上面圖12.1.1中的圖形也可以沿一條直線對折，使直線兩旁的部分重合.

結(jié)論：如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對

稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)?對稱.

了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后，我們來做一做.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，?將紙打開后鋪

平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進行交流.

結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的，它們可以互相重合.

由此可以得到軸對稱圖形的特征：一個圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)的圖形完全重合.

接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條，但有的軸

對稱圖形的對稱軸卻不止一條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條。

下列各圖，你能找出它們的對稱軸嗎？

十。。①O

(1)(2)(3)(4)(5)

結(jié)果：圖(1)有四條對稱軸；圖(2)有四條對稱軸;圖(3)有無數(shù)條對稱軸；圖(4)

有兩條對稱軸；圖(5)有七條對稱軸.

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