大一各科課件

§5.2矩陣的相似對角化5.2.1相似矩陣5.2.2矩陣的相似對角化5.2.1相似矩陣

定義5.2.1設(shè)A、B為兩個n階矩陣，若存在n階可逆陣P使

稱矩陣A與B相似，記為A∽B。

用可逆矩陣P對A作運算P-1AP，稱為對矩陣A進(jìn)行一次相似變換.

相似是矩陣之間的一種關(guān)系.這種關(guān)系滿足下面三個性質(zhì):(1)

反身性:對任意n階方陣A，有A∽A;

矩陣的相似還具有以下運算性質(zhì):(3)

傳遞性:若A∽B，且B∽C，則A∽C.(2)

對稱性:若A∽B，則B∽A; (1)

若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2，則P-1(A1+A2)P=B1+B2; (2)

若A∽B，則kA∽kB，k為常數(shù)，k∈P成立; (3)若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2，則P-1A1A2P=P-1A1PP-1A2P=B1B2.特別，若A∽B，則Ak∽Bk，k為正整數(shù);

(4)若A∽B，f(x)是一個多項式，則f(A)∽f(B).

以上運算性質(zhì)可以用來簡化矩陣的計算.

相似矩陣的下述性質(zhì)，稱為相似不變性。定理5.2.1

設(shè)A∽B，則有 (1)R(A)=R(B)，此處R(A)，R(B)分別是A、B的秩; (3)A可逆時B也可逆，反之亦然.當(dāng)A可逆時還有A-1∽B-1.

(2)

;證(1)和(2)是顯然的，只證(3).

由于|A|=|B|,故|A|≠0時|B|≠0，即A可逆時B也可逆,反之亦然.且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1P，即A-1∽B-1.證畢。

定理5.2.2

相似的矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.

證設(shè)A∽B，則有可逆陣P使P-1AP=B，從而

這樣，A與B有相同特征多項式.從而有相同的特征值.證畢.

應(yīng)該指出，定理5.2.2的逆是不成立的.特征多項式相同的矩陣未必是相似的.如的，因為A是單位陣，而與單位陣相似的矩陣只能是其本身.

，但A與B不是相似

由定理5.2.2可知，相似的矩陣有相同特征值.如果能找到與A相似的較簡單的矩陣，則可簡化許多問題的處理.在n階矩陣中，對角矩陣是比較簡單的矩陣.那么一個矩陣什么情況下能相似于對角矩陣呢?下面討論這一問題.

5.2.2矩陣的相似對角化

給定n階方陣A，怎樣在A相似的所有方陣中找出一個最簡單的方陣?換言之，如何尋找可逆方程陣P使P-1AP=B成為對角陣呢?這就是下面要討論的問題.

定義5.2.2設(shè)A是數(shù)域P上的n階方陣.如果存在P上可逆陣P，使得

則稱A是可相似對角化的方陣，簡稱為A為可對角化.下面的例子說明，并非所有方陣都能對角化.

例5.2.1取復(fù)數(shù)域C上的二階矩陣:則A在復(fù)數(shù)域上不能對角化.

證設(shè)若不然,則存在可逆矩陣，λ1，λ2∈P.

于是

使

即比較兩邊元素有

由于P可逆，c，d不能同時為0，不妨設(shè)c≠0，則有λ1=1，再由第一式有c=0，這導(dǎo)致矛盾.此矛盾說明不可能存在可逆陣P使P-1AP成對角形.即A在復(fù)數(shù)域C上不能對角化。

那么，什么樣的矩陣是可以對角化的呢?

如果A可相似對角化，則存在可逆陣P使從而有

記α1,α2，…，αn為P的列向量，則有即從而(5.2.1)

由于P可逆，則α1，…，αn線性無關(guān).因此，要使A可對角化，A必須有n個線性無關(guān)的特征向量，而與A相似的對角形矩陣中的λi(i=1,…,n)則是A的特征值.

以上分析說明，矩陣A是否可對角化，與A的特征值、特征向量的狀況有密切關(guān)系.

定理5.2.3n階矩陣A可相似對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.

證必要性上面已經(jīng)證明.下面證充分性.設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量α1α2，…，αn，分別屬于特征值λ1，λ2，…，λn，則有

以α1，α2，…，αn為列向量作矩陣P，則P可逆，且即

從而A可相似對角化.證畢.

推論

若n階矩陣A在數(shù)域P中有n個不同的特征值，則A可對角化.

證

設(shè)

λ1，λ2，…，λn∈P是A的n個不同的特征值.α1，α2，…，αn是分別屬于它們的特征向量，由定理5.1.4可知α1，α2，…，αn線性無關(guān)，從而由定理5.2.3，A可相似對角化.

由例5.2.1可以看到，并非任何矩陣都可相似對角化，這個推論給出的只是方陣相似于對角形矩陣的一個充分條件，但不是必要條件.定理5.23說明，一個n階方陣是否可以相似對角化，在于它是否有n個線性無關(guān)的特征向量。如果A的特征值都是單根，因為屬于不同特征值的特征向量是彼此線性無關(guān)的，這時A有n個線性無關(guān)的特征向量，從而A可以對角化。如果A有重根，注意到屬于A的不同特征值的線性無關(guān)的特征向量組成的向

向量組是線性無關(guān)的，那么只有屬于它的每個重根的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)和該特征值的重數(shù)相等時，它才有n個線性無關(guān)的特征向量，這時A才可對角化。將數(shù)域P上n階矩陣A相似對角化的步驟歸納如下。第一步:求特征多項式

，若在數(shù)域P上不能分解為一次因式之積，則A不能對角化;第二步:若

在數(shù)域P上可分解為一P，則就是A的全部特次因式之積…

，征值;

第三步:對每個特征值λi，求方程組(λiE-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得到屬于λi的所有線性無關(guān)特征向量.如果這些特征向量的總個數(shù)等于n，則A可對角化，否則不能對角化;

第四步:若方陣A的線性無關(guān)特征向量全體有n個，設(shè)為α1,α2,…,αn,令P=(α1，α2，…，αn),則P-1AP為對角陣，且主對角線上元素等于αi(i=1,2,…,n)對應(yīng)的特征值.

注意，前面所說的對角化總是對數(shù)域P上而言的，矩陣是否可對角化是與所在數(shù)域有關(guān)的.對于沒有明確指出所在數(shù)域的矩陣A，一般認(rèn)為是在復(fù)數(shù)域上討論的.例5.2.2設(shè)

為實數(shù)域R上的三階方陣，問A是否可對角化?若可對角化，求出可逆陣P使P-1AP為對角形.解首先求出A的特征值為1（二重特征根）和3。分別把λ1

=1，λ1

=3代入線性方程組(λE-A)X=0,解之，得到屬于特征值1的線性無關(guān)特征向量為

屬于特征值3的特征向量為

由定理5.1.6可知，α1,α2,α3線性無關(guān)。A為三階矩陣，它有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可對角化。令

則

例5.2.3已知三階矩陣A在實數(shù)域R上有3個不同特征值-1,1,2，矩陣B=A3+2A+E，問B在實數(shù)域上是否可對角化?并求｜B｜.

解已知A有3個互異特征值，由定理5.2.3的推論可知，A可對角化,即有可逆陣P使由于則故B可對角化,且B的特征值為-2,