華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

:'敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

i.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式

axz+bx+c=O(aWO).

2.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元

二次方程)的過程中，使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加

對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).

【過程與方法】

通過解決實(shí)際問題，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，引入一元二次方程的概

念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一元二次方程及其相關(guān)概念，提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際

問題的能力.

【情感態(tài)度】

通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

【教學(xué)重點(diǎn)】

判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根.

【教學(xué)難點(diǎn)】

由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些根是否確定是實(shí)

際問題的根.

:'教學(xué)國(guó)而呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開辟面積為900平

方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？

【分析】設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，不難列出方程x(x+10)=900,整

理可得X2+10X-900=0.(1)

問題2學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2

萬(wàn)冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬(wàn)

冊(cè)，則今年年底的圖書數(shù)是5(1+x)萬(wàn)冊(cè)，同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年

年底的(1+x)倍，即5(1+x)?(1+x)=5(1+x)2萬(wàn)冊(cè).可列得方程5(1+x)

2=7.2,整理可得5x2+10x-2.2=0(2)

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生列出方程，解決問題.

二、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個(gè)方程都不是

一元二次方程.那么這兩個(gè)方程與一元二次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同

特點(diǎn)呢？

共同特點(diǎn)：

(1)都是整式方程

(2)只含有一個(gè)未知數(shù)

(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2

【歸納總結(jié)】上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的

最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一元二次方程.通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问?

ax2+bx+c=O(a、b、c是已知數(shù)，aWO).其中ax'叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系

數(shù)，bx叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng).

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

1)1-x2=0(2)2(x1-1)=3,

③2￥-3x-1=0(3)—r——=0

XX

⑤(X+3)2=(X-3)2@9X2=5-4.v

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學(xué)說明】(1)一元二次方程為整式方程；(2)類似⑤這樣的方程要

化簡(jiǎn)后才能判斷.

例2將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出

其中的二次項(xiàng)系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

jW：2x2-13x+ll=0；2,-13,11.

【教學(xué)說明】將一元二次方程化成一般形式時(shí)，通常要將首項(xiàng)化負(fù)為正，

化分為整.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

(1)5X2-1=4X

(2)4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解:(1)5x-4x-l=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0；4,0,-81

(3)4x+8x-25=0；4,8,-25

(4)3x-7x+l=0；3,-7,1.

2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形

式.

(1)4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形的邊長(zhǎng)x；

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2,面積是100,求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x；

(3)把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)與全長(zhǎng)的積，等于較長(zhǎng)一

段的長(zhǎng)的平方，求較短一段的長(zhǎng)x.

解:(1)4X2=25；4X2-25=0；

(2)x(x-2)=100；x-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程axJ+4x-5=0的一個(gè)根，求a的值.

解：Vx=2是方程ax2+4x-5=0的一個(gè)根.

4a+8-5=0解得：a-——.

4

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元

二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax%bx+c=0(aWO),一元二次方程的項(xiàng)及

系數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致

的.

3.在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元

二次方程的必要性和重要性.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.1”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

'瓠與反思

22.2一元二次方程的解法

1.直接開平方法和因式分解法

y教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.會(huì)用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(aWO,abNO)的方程.

2.靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程.

3.使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用.

【過程與方法】

創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題情境，綜合運(yùn)用探究式、啟發(fā)式、活動(dòng)式等幾種方法

進(jìn)行教學(xué).

【情感態(tài)度】

鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)的參與“教”與“學(xué)”的整個(gè)過程，激發(fā)求知的欲望,

體驗(yàn)求知的成功，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心.

【教學(xué)重點(diǎn)】

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程.

教學(xué)國(guó)睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問：怎樣解方程(X+1)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是x,=15.X2=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)2-256=0,方程左邊分解因式,得(x+1+16)(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或xT5=0

原方程的解xi=15,X2=-17

【教學(xué)說明】讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書.

二、思考探究，獲取新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)J7;(2)y2+2y+l=24;(3)9n-24n+16=l1.

解：(i)二［土

(2)-1±26；

(3)4±3'"

【教學(xué)說明】運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程時(shí)，最容易

出現(xiàn)的錯(cuò)誤是漏掉負(fù)根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)=3x+15

-4

解：(1)陽(yáng)=0,X2=y

⑵町=.聲2="y

(3)%|=-5,x2=-2

【教學(xué)說明】解這里的(2)(3)題時(shí)，注意整體劃歸的思想.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)-6=0

(2)X2-4X+4=5

(3)(x+5)=25

(4)X2+2X+1=4

解：(1)町=1+J2,x2=1-J2

(2)町=2+5/2=2-5

(3)町=0,%2=-10

(4)陽(yáng)=1,久2=-3

2.用因式分解法解下列方程：

(1)X2+%=0(2)欠2—28、=0

(3)3.x2-6x=-3(4)4.x2-121=0

(5)(久一4)2=(5-2%)2

解：(1)0=0,%2=T

(2)町=0,x2=2B

(3)x,=x2=1

/.、1111

(4)陽(yáng)=了，久2=-V

(5)陽(yáng)=3,x2=1

3.把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，求

小圓形場(chǎng)地的半徑.

解：設(shè)小圓形場(chǎng)地的半徑為xm.

則可列方程2“犬=”(x+5)：

解得修=5+5后，Xz=5-5血(舍去).

答：小圓形場(chǎng)地的半徑為(5+572)m.

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成例題，分小組展示結(jié)果，教師點(diǎn)評(píng).

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.引導(dǎo)學(xué)生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步驟.

2.對(duì)于形如a(x-k)(aW0,b20)的方程，只要把(x-k)看作一個(gè)整

體，就可轉(zhuǎn)化為x2=n(n20)的形式用直接開平方法解.

3.當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）時(shí)，切不可約去相同因式，而

應(yīng)用因式分解法解.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

2.配方法

教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程.

2.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能.

【過程與方法】

通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

【情感態(tài)度】

學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增加

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

使學(xué)生掌握用配方法解一元二次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法.

教學(xué)亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m,并且面積為16m之，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分

別是多少？

設(shè)場(chǎng)地的寬為xm,則長(zhǎng)為(x+6)m,根據(jù)矩形面積為16m；得到方程工

(x+6)=16,整理得到X2+6XT6=0.

【教學(xué)說明】創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)

學(xué)生的主動(dòng)性和求知欲.

二、思考探究，獲取新知

探究如何解方程X2+6X-16=0?

問題1通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在會(huì)解什么樣的一元二次方程？舉例

說明.

【教學(xué)說明】用問題喚起學(xué)生的回憶，明確我們現(xiàn)在會(huì)解的一元二次方程

的特點(diǎn)：等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，即(x+m)之』(n

20),運(yùn)用直接開平方法可求解.

問題2你會(huì)用直接開平方法解下列方程嗎？

(1)(x+3)2=25

(2)X2+6X+9=25

(3)X2+6X=16

(4)X2+6X-16=0

【教學(xué)說明】教師啟發(fā)學(xué)生逆向思考問題的思維方式，將x?+6x-16=0轉(zhuǎn)化

為(x+3)J25的形式，從而求得方程的解.

解：移項(xiàng)得：x2+6x=16,

兩邊都加上2即(：)；使左邊配成x?+bx+(b2)2的形式，得：

x2+6x+9=16+9,

左邊寫成完全平方形式，得：

(x+3)J25,開平方，得：x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：x1=2,X2=-8.

【歸納總結(jié)】將方程左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)

非負(fù)常數(shù)，從而可以直接開平方求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

例1填空：

(1)X2+8X+16=(X+4)2

(2)x2-x+—=(x-—)'

42

(3)4X2+4X+1=(2X+1)2

例2列方程：

(1)X2+6X+5=0(2)2X2+6X+2=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

解：（1）町=一1,%2=-5

C5353

（2）.V,=T-T，A2=-T-T

（3）町=5-2,32=-5-2

【教學(xué)說明】教師可讓學(xué)生自主完成例題，小組展示，教師點(diǎn)評(píng)歸納.

【歸納總結(jié)】利用配方法解方程應(yīng)該遵循的步驟：

（1）把方程化為一般形式ax、bx+c=O；

（2）把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

（3）方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)a；

（4）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

（5）此時(shí)方程的左邊是一個(gè)完全平方形式，然后利用直接開平方法來(lái)解.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

（1）2X2-4X-8=0

（2）x-4x+2=0

(3)x2-—x-l=O

2

2.如果x'-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)z的值.

【答案】1.(1)町=i+5,.叼=1一5

(2)町=2+晨2=2-2

1V171

(3)x,~--------+-----------------ZZ----------------------------

44'244

2」=2,y=.3C>.

【教學(xué)說明】學(xué)生獨(dú)立解答，小組內(nèi)交流，上臺(tái)展示并講解思路.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項(xiàng).

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

3.公式法

教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念.

2.會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

【過程與方法】

通過復(fù)習(xí)配方法解一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出求根公式，使學(xué)生進(jìn)一

步認(rèn)識(shí)特殊與一般的關(guān)系.

【情感態(tài)度】

經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，滲透辯證唯物主義觀

點(diǎn).

【教學(xué)重點(diǎn)】

求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

:'教學(xué)國(guó)ili呈

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

用配方法解方程：(1)X2+3X+2=0(2)2x-3x+5=0

解：(1)Xi=-1,X2=-2(2)無(wú)解

二、思考探究，獲取新知

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax?+bx+c=O(aWO),你能否用上面配

方法的步驟求出它們的兩根？

問題己知ax?+bx+c=O(aWO),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根

—I)+-4"c-I)——4"c

x，x=

\-52a225,(i,

【分析】因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字的題目已做得很多，現(xiàn)在不妨把a(bǔ),b,c也當(dāng)成

具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以推導(dǎo)下去.

探究一元二次方程ax'+bx+cR(aWO)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，

因此:

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax?+bx+c=O,當(dāng)b?-

4ac20時(shí)，將a,b,c代入式子》=必主逝二皿就得到方程的根，當(dāng)b?-4acV

2a

0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.

(2)%=二^—b—4。,叫做一元二次方程ax?+bx+c=O(a#0)的求根公

2a

式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教學(xué)說明】教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用配方法推出求根公式，體驗(yàn)獲取知識(shí)

的過程，體會(huì)成功的喜悅，可讓學(xué)生小組展示.

例1用公式法解下列方程：

①2X2-4XT=0②5X+2=3X?

③(x-2)(3x-5)=0@4x2-3x+l=0

解：0Xi=l+—,x=l--

222

②K=2,x2=-j

(3)X)=2,X2=y

④無(wú)解

【教學(xué)說明】(1)對(duì)②、③要先化成一般形式；(2)強(qiáng)調(diào)確定a,b,c的

值，注意它們的符號(hào)；(3)先計(jì)算b"4ac的值，再代入公式.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

(1)X2+X-12=0

(2)x2-V2x--=0

4

(3)X2+4X+8=2X+11

(4)x(x-4)=2-8x

(5)x2+2x=0

(6)x2+2V5x+10=0

解:(1)x,=3,X2=-4;

Z9\_V2+5/3_V2—V3

(2)XF------,x=-------；

222

-

(3)Xi=l,X2=3;

=_

(4)x,=-2+-\/6，X22-y/6；

(5)x,=0,X2=-2;

(6)無(wú)解.

【教學(xué)說明】用公式法解方程關(guān)鍵是要先將方程化為一般形式.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.求根公式的概念及其推導(dǎo)過程.

2.公式法的概念.

3.應(yīng)用公式法解一元二次方程.

，'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教與反思

4.一元二次方程根的判別式

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

i.能運(yùn)用根的判別式，判斷方程根的情況和進(jìn)行有關(guān)的推理論證;

2.會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷一元二次方程根的判別式的產(chǎn)生過程；

2.向?qū)W生滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想；

3.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力.

【情感態(tài)度】

L體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美；

2.培養(yǎng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神和協(xié)作精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】

根的判別式的正確理解與運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

含字母系數(shù)的一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.

了教孚國(guó)土

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

用公式法解下列一元二次方程

（1）X2+5X+6=0

（2）9x-6x+l=0

（3）X2-2X+3=0

解：（1）Xi=-2,X2=-3

（2）x1=x=-

23

（3）無(wú)解

【教學(xué)說明】讓學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識(shí).

二、思考探究，獲取新知

觀察解題過程，可以發(fā)現(xiàn):在把系數(shù)代入求根公式之前，需先確定a,b,c的

值，然后求出b?-4ac的值，它能決定方程是否有解，我們把b〈4ac叫做一元二

次方程根的判別式，通常用符號(hào)“△”來(lái)表示，即A=b2-4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程發(fā)現(xiàn)：

,I），2//—4ac

（“亢）

【歸納結(jié)論】（1）當(dāng)△＞（）時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

-b+ylh2-4ac—h-ylh2-4ac

x\=Z，X2=Z；

2a2a

（2）當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,XI=X2=3；

2a

（3）當(dāng)△VO時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況：

（l）2x2-3.v-y=O；

（2）16.r2-24工+9=0；

（3）.x2-4]2+9=0；

（4）3x2+lO.v=2.v2+8x.

解：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）無(wú)實(shí)數(shù)根；

（4）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

例2當(dāng)m為何值時(shí)，方程（m+1）x2-（2m-3）x+m+l=0,

（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

（3）沒有實(shí)數(shù)根？

解：（1）且mWT;

4

（2）m=—;

4

⑶m>-.

4

【教學(xué)說明】注意（1）中的m+lWO這一條件.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.方程x?-4x+4=0的根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.沒有實(shí)數(shù)根

2.已知x2+2x=mT沒有實(shí)數(shù)根，求證：x2+mx=l-2m必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根.

【答案】LB

2.證明：???x2+2x-m+l=0沒有實(shí)數(shù)根，...4-4(1-m)VO,VO.對(duì)于方程

x~+mx=l-2m,即x2+mx+2m-l=0,A=m'-8m+4,/.A>0,.,.x2+mx=l-2m

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí).

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.用判別式判定一元二次方程根的情況

(1)△>()時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)△=()時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(3)AV0時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

2.運(yùn)用根的判別式解決具體問題時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一隱含條

件.

【教學(xué)說明】可讓學(xué)生分組討論，回憶整理，再由小組代表陳述.

，'課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教與反思

*5.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

敦與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

i.引導(dǎo)學(xué)生在已有的一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，探索出一元二次方程根

與系數(shù)的關(guān)系，及其關(guān)系的運(yùn)用.

2.通過觀察、實(shí)踐、討論等活動(dòng)，經(jīng)歷從觀察判斷到發(fā)現(xiàn)關(guān)系的過程.

【過程與方法】

通過探究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析和綜合判斷

的能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索的精神.

【情感態(tài)度】

在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的同時(shí)，初步體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)規(guī)律的態(tài)度及養(yǎng)成

質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的運(yùn)用.

教孚國(guó)土

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.完成下列表格

方程%]■?2>+工2

2

x-5匯+6=02356

A：2+3%-10=()2—5-3-10

問題你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

①用語(yǔ)言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)；兩根之

積為常數(shù)項(xiàng)）

②設(shè)方程f+px+qR的兩根為Xi,X2,用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.（xl+x2=-

p,xl?x2=q）

2.完成下列表格

方程町町+%25.%2

13

2x-3%-2=02—1

1￡1

3久?-4%+1=071T~3

問題上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？（不成立）

請(qǐng)完善規(guī)律:

①用語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（兩根之和為一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的

相反數(shù)，兩根之積為常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比）

②設(shè)方程ax'+bx+cR的兩根為由,如用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.(Xi+X2=-

二、思考探究，獲取新知

通過以上活動(dòng)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？對(duì)一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW

0)這一規(guī)律是否成立？試通過求根公式加以說明.

2

ax+bx+c=0的兩根％=+々=-b-'b-,xl+x2="-,

2a2aa

c

Xi?x=-.

2a

【教學(xué)說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求根公式推導(dǎo)出根與系數(shù)之間的關(guān)系，

體會(huì)知識(shí)形成的過程，加深對(duì)知識(shí)的理解.

例1不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(1)X2-6X-15=0;

(2)3X2+7X-9=0;

(3)5x-l=4x2.

解：(1)xl+x2=6,xl-x2=-15;

、7

(2)xl+x2=~—,xl?x2=-3；

3

(3)xl+x2=—,xl?x2=—.

44

【教學(xué)說明】先將方程化為一般形式，找出對(duì)應(yīng)的系數(shù).

例2已知方程2x2+kx-9=0的一個(gè)根是-3,求另一根及k的值.

解：另一根為:，k=3.

2

【教學(xué)說明】本題有兩種解法，一種是根據(jù)根的定義，將x=-3代入方程先

求k,再求另一個(gè)根；一種是利用根與系數(shù)的關(guān)系解答.

例3已知a,B是方程x2-3x-5=0的兩根，不解方程，求下列代數(shù)式的值.

(1)-+^(2)a2+(32(3)a

ap

-B

解:⑴-春;(2)19；⑶回或-質(zhì).

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(1)x-3x=15

(2)5x-l=4x2

(3)x-3x+2=10

(4)4x2-144=0

(5)3x(x-1)=2(x-1)

(6)(2x-l)=(3-x)2

2.兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是()

A.7x-12x+5=0

B.6x2-13x-5=0

C.4X2+21X+5=0

D.X2+15X-8=0

［教學(xué)說明］兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足兩根之和

為負(fù)數(shù)，兩根之積為正數(shù).

【答案】1.(1)XI+X2=3,XIX2=-15

(2)x1+x2=0,X]X2=-1

(3)XI+X2=3,XIX2=-8

-

(4)Xi+x2=0,XIX2=36

/匚、,_5_2

(5)X1+X2—,X1X2—

33

xt+x=-|8

(6)2，X1X=-

323

2.C

【教學(xué)說明】可由學(xué)生自主完成搶答，教師點(diǎn)評(píng).

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系成立的前提條件.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和''習(xí)題22.2”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教學(xué)反思

22.3實(shí)踐與探索

了教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生利用一元二次方程的知識(shí)解決實(shí)際問題，學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)模型來(lái)建立一元二次方程.

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想，體會(huì)

如何尋找實(shí)際問題中的等量關(guān)系.

【情感態(tài)度】

通過合作交流進(jìn)一步感知方程的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能

力，通過交流互動(dòng)，逐步培養(yǎng)合作的意識(shí)及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神.

【教學(xué)重點(diǎn)】

列一元二次方程解決實(shí)際問題.

【教學(xué)難點(diǎn)】

尋找實(shí)際問題中的等量關(guān)系.

教學(xué)國(guó)程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

問題1學(xué)校生物小組有一塊長(zhǎng)32m,寬20m的矩形試驗(yàn)田，為了管理方便,

準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540m2,

小道的寬應(yīng)是多少？

問題2某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由56元降為31.5元，已知兩

次降價(jià)的百分率相同，求每次降價(jià)的百分率.

二、思考探究，獲取新知

問題1【分析】問題中的等量關(guān)系很明顯，即抓住種植面積為540m②來(lái)列

方程，設(shè)小道的寬為xm,如何來(lái)表示種植面積？

方法一：如圖，由題意得，32X20-32X-20X+X2=540

方法二：如圖，采用平移的方法更簡(jiǎn)便.

--xl--

20

I-----------32

由題意可得：(20-x)(32-x)=540

解得x,=50,X2=2

由題意可得xV20,；.x=2

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解，同時(shí)要注意檢驗(yàn)所解得的結(jié)果是否符

合實(shí)際意義.

問題2【分析】這是增長(zhǎng)率問題，問題中的數(shù)量關(guān)系很明了，即原價(jià)56

元經(jīng)過兩次降價(jià)降為31.5元，設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,由題意得

56(1-x)2=31.5

解得x,=0.25,X2=1.75(舍去)

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.青山村種的水稻2011年平均每公頃產(chǎn)量為7200kg,2013年平均每公頃產(chǎn)

量為8450kg,求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.

2.用一根長(zhǎng)40cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)方形的面積為75cm2.

(1)求此長(zhǎng)方形的寬.

(2)能圍成一個(gè)面積為101cm?的長(zhǎng)方形嗎？如能，說明圍法.

(3)若設(shè)圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為S(cm2)，長(zhǎng)方形的寬為x(cm),求S

與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，S的值最大，最大面積為多少.

【答案】1.解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為X,

則有7200(1+x)2=8450,

解得小=-!-仁0.08,

12

94

x=-—^-2.08(舍去).

212

即年平均增長(zhǎng)率為8%.

答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為8%.

2.解：(1)設(shè)此長(zhǎng)方形的寬為xcm,則長(zhǎng)為(20-x)cm.

根據(jù)題意，得x(20-x)=75

解得：xl=5,x2=15(舍去).

答：此長(zhǎng)方形的寬是5cm.

(2)不能.由x(20-x)=101,即x-20x+101=0,,知△=20"4X101=-4V0,

方程無(wú)解，故不能圍成一個(gè)面積為101cm2的長(zhǎng)方形.

(3)S=x(20-x)=-X2+20X.

由S=-/+20x=-(xTO)2+100可知，當(dāng)x=10時(shí)，S的值最大，最大面積為

100cm".

【教學(xué)說明】注意一元二次方程根的判別式和配方法在第2題第(2)、

(3)問中的應(yīng)用.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹k解、答.最后要檢驗(yàn)

根是否符合實(shí)際意義.

2.用一元二次方程解決特殊圖形問題時(shí)，通常要先畫出圖形，利用圖形的

面積找相等關(guān)系列方程.

3.若平均增長(zhǎng)(降低)率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的基數(shù)是a,增長(zhǎng)(或降

低)n次后的量是b,則有：a(l±x)n=b(常見n=2).

課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題22.3”中選取.

2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.

教與反思

本章復(fù)習(xí)

:'敢與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

掌握一元二次方程的基本概念及其解法；靈活運(yùn)用一元二次方程知識(shí)解決

一些實(shí)際問題.

【過程與方法】

通過梳理本章知識(shí)，回顧解決問題中所涉及到的化歸思想、建模思想的過

程，加深對(duì)本章知識(shí)的理解.

【情感態(tài)度】

在運(yùn)用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)解決具體問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)

來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程的解法及應(yīng)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

一元二次方程的應(yīng)用.

?教與國(guó)睚

一、知識(shí)框圖，整體把握

法

平方

接開

一「直

法

分解

-因式

i

實(shí)元1MH

方法

-配

陶圻

際二解法

式法

問次」公

題方

式

判別

「根的

程

關(guān)系

系數(shù)的

-根與

理解

加深

惑,

釋疑解

二、

法

的解

方程

二次

1.一元

稱

方法名

式

程的形

適用方

根據(jù)

理論

2

mx+

或（

x=p

平

直接開

義

根的定

平方

方法

，0）

二P（P

次

元二

的一

所有

方公式

完全平

法

配方

方程

次

元二

的一