《實(shí)變函數(shù)論》課程教學(xué)大綱

“實(shí)變函數(shù)論”課程教學(xué)大綱課程編號(hào)：08032040課程名稱：實(shí)變函數(shù)論/TheoryofRealFunctions學(xué)時(shí)：72學(xué)時(shí)學(xué)分：4學(xué)分適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課學(xué)期：第5學(xué)期開課部門：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院先修課程：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，空間解析幾何考核要求：閉卷考試使用教材及主要參考書：程其襄等主編,《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（第三版）》高等教育出版社2010江澤堅(jiān)等主編，《實(shí)變函數(shù)論》，高等教育出版社，2001周民強(qiáng)主編，《實(shí)變函數(shù)》，北京大學(xué)出版社，1985一、課程的性質(zhì)和任務(wù)《實(shí)變函數(shù)論》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程。其內(nèi)容以實(shí)分析為重點(diǎn)，是數(shù)學(xué)分析后續(xù)課程，但在思想方法上卻有大的飛躍。同時(shí)，它也是現(xiàn)代概率論、數(shù)理方程、泛函分析的前續(xù)課程。在計(jì)算數(shù)學(xué)和近代物理學(xué)中有很重要的作用。教學(xué)中要求學(xué)生能掌握其基本理論及應(yīng)用。對(duì)某些較難的定理的證明，小字排印部分及附錄，可作為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)參考之用。二、教學(xué)目的與要求通過教學(xué)，使學(xué)生掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念和基本分析問題的方法，并能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決一些基本問題。三、學(xué)時(shí)分配章節(jié)課程內(nèi)容學(xué)時(shí)1集合及基數(shù)102n維空間中的點(diǎn)集143測(cè)度論144可測(cè)函數(shù)145積分理論20四、教學(xué)中應(yīng)注意的問題教學(xué)中應(yīng)注意思想方法的傳授，解題思路的培養(yǎng)。五、教學(xué)內(nèi)容第一章集合及基數(shù)1．基本內(nèi)容集合及其運(yùn)算，集合的基數(shù)，可數(shù)集合，不可數(shù)無(wú)窮集合。2．教學(xué)基本要求掌握集合的運(yùn)算及集合關(guān)系的證明，并要求學(xué)生能利用證明集合關(guān)系的方法，解決集合理論中的問題。掌握基數(shù)的概念，并能進(jìn)行基數(shù)大小比較，要求學(xué)生能對(duì)一些集合建立對(duì)等關(guān)系。掌握可數(shù)基的概念及集合可數(shù)關(guān)系的證明，并能運(yùn)用可數(shù)集的性質(zhì)解決一些問題。掌握集合不可數(shù)的意義及集合不可數(shù)關(guān)系的證明，并能運(yùn)用不可數(shù)集的性質(zhì)解決一些問題。3．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)基數(shù)的定義、可數(shù)集、不可數(shù)集。伯恩斯坦定理的證明及建立集合之間的對(duì)等關(guān)系式。4．教學(xué)建議重點(diǎn)掌握可數(shù)基和連續(xù)基的定義和性質(zhì)，并能應(yīng)用伯恩斯坦定理證明集合間的對(duì)等關(guān)系。第二章幾維空間中的點(diǎn)集1．基本內(nèi)容聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、Bolzano-Weierstrass定理、開集、閉集及完備集，P進(jìn)位表數(shù)法，一維開集、閉集及完備集的構(gòu)造、點(diǎn)集間的距離。2．教學(xué)基本要求了解距離概念的抽象法，掌握鄰域概念，掌握有界集、內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)、導(dǎo)集、閉包的概念及這些集合的性質(zhì)及證明，掌握Bolzano-Weierstrass定理及其證明，了解集合孤立點(diǎn)的概念。掌握開集、閉集及完備集的概念，并掌握開集、閉集及完備集的證明，掌握Cantor集為完備集的證明。了解P進(jìn)位表數(shù)法及運(yùn)用2進(jìn)位表數(shù)的應(yīng)用。掌握一維開集的構(gòu)造及其證明，理解閉集、完備集的構(gòu)造及其證明。掌握點(diǎn)集間距離的概念、性質(zhì)及證明。掌握點(diǎn)集間隔離性定理及其證明。3．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)開集、閉集的構(gòu)造。完備集的構(gòu)造，隔離性定理的證明。4．教學(xué)建議重點(diǎn)講授開集、閉集的構(gòu)造。第三章測(cè)度論1．基本內(nèi)容外測(cè)度，可測(cè)集合，開集的可測(cè)性，乘積空間。2．教學(xué)基本要求掌握外測(cè)度理論建立的歷史背景，外測(cè)度的概念，性質(zhì)及其證明。掌握集合可測(cè)的幾個(gè)定義、掌握點(diǎn)集可測(cè)的充要條件、性質(zhì)及證明。掌握開集、閉集、型集及F6開集、Borel集可測(cè)的有關(guān)證明及應(yīng)用。掌握乘積空間的定義、性質(zhì)及其證明.3．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)測(cè)度的概念，可測(cè)集判別方法。乘積空間、Borel集可測(cè)。4．教學(xué)建議重點(diǎn)講授外測(cè)度，可測(cè)集合，開集的可測(cè)性，乘積空間，測(cè)度的概念，可測(cè)集判別方法。第四章可測(cè)函數(shù)1．基本內(nèi)容可測(cè)函數(shù)的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)、Egoroff定理，可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)Lusin定理，依測(cè)度收斂。2．教學(xué)基本要求掌握可測(cè)函數(shù)的定義、函數(shù)可測(cè)的條件及可測(cè)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。了解Egoroff定理的歷史背景及意義，掌握Egoroff定理及其證明。掌握函數(shù)于點(diǎn)相對(duì)于E連續(xù)的條件，掌握處處連續(xù)的意義，Lusin定理的證明。掌握依測(cè)度收斂的意義，依測(cè)度收斂的性質(zhì)，Lebesgue定理及其證明，Lusin定理及其證明。3．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)可測(cè)函數(shù)的定義及性質(zhì)，Egoroff定理，可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)。Egoroff定理，Lusin定理的證明。4．教學(xué)建議Egoroff定理，可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)Lusin定理，依測(cè)度收斂的證明方法只作了了解。第五章積分理論1．基本內(nèi)容非負(fù)函數(shù)的積分、可積函數(shù)、Fubini定理，微分與不定積分。 2．教學(xué)基本要求掌握非負(fù)可測(cè)函數(shù)可積的概念，性制裁及積分的性質(zhì)。掌握可積函數(shù)的定義，可積、有積分的意義，積分絕對(duì)連續(xù)的意義，Levi定理，Vitali定理的證明及其應(yīng)用。掌握Fubini定理的證明及應(yīng)用。掌握有界變差函數(shù)的定義及其a.e.可微性，絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念及其a.e.可微性與其導(dǎo)函數(shù)的不定積分。不定積分是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)a.e.可微的性質(zhì)，不定積分的微商a.e.等于被積函數(shù)的